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Périmètre du cercle selon Archimède
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Périmètre du cercle (TP CM2/6ème) | Aire d'un disque ("aire du cercle") | Périmètre ou circonférence ?...

En langage et notations d'aujourd'hui, considérons les cercles (C) et (U) de rayons respectifs R et 1, de circonférences respectives (périmètres) P et p.

Par translation, amenons ces cercles à être concentriques : soit O leur centre commun. L'image de (U) par l'homothétie h de centre O de rapport R est :

h(U) = {M / OM = R × 1}, soit h(U) = (C)

Notons au moyen de la lettre π (pi, première lettre du mot grec periferia = périphérie, pourtour, circonférence), la demi-mesure de p. On a alors p = 2π.

Considérons maintenant les polygones (Pn) et (pn) réguliers de n côtés cn et un respectivement inscrits dans (C) et (U). En admettant que si n augmente indéfiniment, alors les périmètres n.cn et n.un tendent respectivement vers P et p. On peut alors écrire :

lim n.cn = lim n.(R.un) = R.lim(n.un)

Donc : P = 2πR

   π est donc le rapport de la circonférence au diamètre : c'est une constante, parfois appelée constante d'Archimède ou, à tort, nombre d'Archimède : π n'a pas encore le statut de nombre.

Méthode des périmètres pour le calcul de π : »             Calculs de π dans ChronoMath : »


Approche polygonale et radiale du cercle : la toile d'araignée !


Périmètre du cercle & circonférence :   

On parle parfois de mesure de la circonférence mais, à ce sujet, il y a diverses disputes au niveau des termes !

Tout d'abord qu'est-ce qu'une circonférence ? Étymologiquement, selon Le Robert, Dictionnaire Étymologique de la langue française, ce terme provient du latin circumferre = faire le tour et circumferentia = cercle, simplifié en circulus et circus au 11è siècle.

C'est ainsi qu'une circonférence peut désigner non seulement un cercle mais plus généralement toute ligne fermée, courbe ou polygonale délimitant un objet, circulaire ou non, dont elle est le pourtour : ligne fermée qui en fait le tour.

A ce titre, on peut, par exemple, parler de la circonférence :

Par abus de langage, circonférence est devenu de nos jours synonyme de périmètre (mot construit sur le grec péri = autour et métron = mesure). Il est donc impropre de parler de la mesure de la circonférence. On ne mesure pas un périmètre : on le calcule.

Certains diront que tout cela n'est que pinaillage. Au 18è siècle, dans son Encyclopédie, d'Alembert ne s'encombre pas à distinguer les diverses acceptions évoquées ci-dessus lorsqu'il explique la notion de limite, et tout nous paraît clair... :

Supposons deux polygones, l'un inscrit et l'autre circonscrit à un cercle, il est évident que l'on peut en multiplier les côtés autant que l'on voudra ; et dans ce cas, chaque polygone approchera toujours de plus en plus de la circonférence du cercle, le contour du polygone inscrit augmentera, et celui du circonscrit diminuera ; mais le périmètre ou le contour du premier ne surpassera jamais la longueur de la circonférence, et celui du second ne sera jamais plus petit que cette même circonférence ; la circonférence du cercle est donc la limite de l'augmentation du premier polygone, et de la diminution du second.

Et, un peu plus loin :

(...) Ces deux propositions, que l'on trouvera démontrées exactement dans les institutions de Géométrie, servent de principes pour démontrer rigoureusement que l'on a l'aire d'un cercle, en multipliant sa demi-circonférence par son rayon.

Et, pour semer plus encore le trouble, on peut ajouter que le mot latin orbis était aussi utilisé par les Romains pour désigner un cercle, un anneau, un rond, voire un globe et, par là, le monde, l'univers...
On peut penser à la bénédiction du Pape le jour de Noël, baptisée urbi et orbi : sur la ville (urbs) et sur le monde (orbi).
Les Romains utilisaient aussi orbita pour désigner une ligne circulaire, d'où orbite pour désigner les trajectoires planétaires.

Vocabulaire, ergotage et pédagogie : »


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