ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

FRENET Jean-Frédéric, français, 1816-1900

à sa sortie de l'ENS, Frenet poursuit ses études à Toulouse où il soutient sa thèse de doctorat portant sur la géométrie différentielle (Sur les courbes à double courbure, 1847). Double courbure pour exprimer que l'on se place dans l'espace : la seconde courbure est la torsion come on le verra ci-après.

Frenet enseigna à Toulouse puis à la faculté des Sciences de Lyon. Ses travaux sur les courbes gauches, courbes de l'espace non situées dans un même plan, rénovent ceux de Lancret et seront complétés par Serret. On lui doit un Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal (1856) qui eut grande audience.

Un exemple simple de courbe gauche est l'hélice circulaire pouvant être ainsi définie : considérons un cercle (c) dans le plan horizontal des (x,y). A tout point M(x,y) parcourant (c) on associe le point S de cote z = λt , λ réel donné.

C'est la courbe décrite par un point situé sur la vrille d'un tire-bouchon, dont une autre application concrète est la vis d'Archimède ou l'escalier hélicoïdal (comme dans les tours).

Considérons une courbe gauche de l'espace définie paramétriquement par :

La difficulté de l'étude d'une courbe gauche résulte du fait que le point M qui la parcourt change généralement de plan lorsque t varie. On peut concevoir ce fait sur le schéma ci-contre où le début de la courbe, arc AB dessiné en rouge reste dans un même plan. A partir de B la courbe "s'élève" (partie bleue) : elle se "tord".

L'idée de Frenet fut d'étudier la courbe dans un repère mobile orthonormé d'origine M(s) où s désigne l'abscisse curviligne du point M, fonction de t, s'interprétant comme la longueur de l'arc de courbe AM, A étant pris comme origine sur la courbe.

Le trièdre de Frenet constitue une base orthonormale de ce repère mobile : dans l'espace euclidien orienté, c'est le triplet (τ, n, b) défini en tout point M par :

• le vecteur tangent (normé) τ au point M (on utilise la lettre grecque "tau" pour éviter la confusion avec le paramètre t);
• la normale principale (normée) n située dans le plan osculateur au point M;
• b = τ ^ n , binormale, produit vectoriel de τ par n.

Énoncées par Frenet, ces formules furent complétées par Joseph Serret. Les trois plus importantes décrivent les relations différentielles existant, en chaque point M(s) de la courbe, entre τ, n, b, la courbure K, et la torsion T, ou seconde courbure, mesurant comment la courbe se "tord" en changeant de plan, comme à partir du point B ci-dessus :

Notion de courbe gauche, courbure, torsion : »

On remarque que la matrice ci-dessus est antisymétrique : a_ji = -a_ij.

Établissement des formules & exemple de l'hélice :»           Trièdre de Darboux-Ribaucour : »

---

Delaunay  Briot

---

© Serge Mehl - www.chronomath.com