ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intégrales elliptiques,  courbes et fonctions elliptiques
        fonction elliptique , courbe elliptique

Les intégrales et fonctions appelées elliptiques (qualificatif dû à Legendre), sont nées de la volonté de calculer la longueur d'un arc d'ellipse (rectification de l'ellipse), dont le précurseur, dans ces travaux, fut Fagnano. Étudiées par Lagrange et tout particulièrement par Legendre (1825), ces intégrales firent l'objet d'une nouvelle approche par Abel avec la définition des fonctions elliptiques (Recherches sur les fonctions elliptiques, 1826).

Considérons une ellipse d'équation cartésienne réduite (a > b) : et passons en coordonnées coordonnées paramétriques

On pose en général x = a.cost et y = b.sint, mais préférons ici, afin de "coller" plus bas aux formules de Legendre, la paramétrisation équivalente :

x = a.sint et y = b.cost

En t = 0, on sera en B(0,b) et en t = π/2, en A(-a,0).

On différencie : dx = a.cost et dy = -b.sint et on reporte dans la formule calculant la longueur d'un arc infinitésimal ds2 = (dx)2 + (dy)2 en remarquant que cos2t = 1 - sin2t :

ds2 = a2 + (b2 - a 2)sin2t = a2 - (a2 - b2)sin2t = a2(1 - e2sin2t)

où e2 = 1 - b2/a2 désigne le carré de l'excentricité e de l'ellipse. Pour tout t compris entre 0 et π/2 (arc du second quadrant) on aura :

 En posant z = sin u, on est conduit au calcul d'une intégrale de la forme

C'est un cas particulier d'intégrale elliptique de deuxième espèce.   

Classification actuelle des intégrales elliptiques :

Plus généralement, on démontre que toute intégrale elliptique, c'est à dire, selon Lagrange, une intégrale de la forme :

avec F fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) et p un polynôme du 4è degré sans zéro multiple, se ramène à trois types fondamentaux, exhibés par Legendre (0 < e < 1), et dont Liouville prouva qu'aucun ne peut s'exprimer par quadrature au moyen de fonctions élémentaires :

  1. , dite de 1ère espèce (ou du 1er ordre)
  2. , dite de 2ème espèce (ou du second ordre)
  3. , dite de 3ème espèce (ou du 3ème ordre)

Le nombre e, souvent noté k dans les tables, est appelé module et n est le paramètre. Noter que si n = -1, w peut s'exprimer en fonction de u et v. De même si n = -k2.

Lorsque le polynôme p est de degré supérieur à 4, une intégrale dont l'intégrande est de la forme P/Q avec d°Q >4, on parle d'intégrales hyperelliptiques. Elles furent étudiées en particulier par Goursat dont on pourra lire un mémoire (1885) en cliquant sur le lien ci-dessous :

Sur la réduction des intégrales hyperelliptiques :                    Intégrales abéliennes :

En posant x = sin φ (φ est l'amplitude; pour l'ellipse, φ représente l'anomalie excentrique), on obtient alors les formes équivalentes (0 < k < 1) :

1. 1ère espèce :    

  

Cette intégrale intervient dans le calcul de la longueur d'un arc d'hyperbole : afin d'obtenir le même radical en u (qu'il nomme Δ) dans les 3 espèces, Legendre, ramène l'équation à la forme x2/a2 - y2/b2 = 1 et a2 + b2 = 1 , on paramètre en posant y = btan t. On pourra lire les calculs page 16 de cette référence (texte de Legendre, Google livres) dont un extrait est donné ci-dessous. 

2. 2ème espèce :      

Comme on l'a vu ci-dessus, ce type intégrale est censé fournir la longueur de l'ellipse (ou d'un arc de cette courbe fermée) lorsque k = e < 1 excentricité de l'ellipse. Vu que e2sin2u est alors strictement inférieur à 1, on peut développer en série, ce qui conduit à :

que l'on intègre terme à terme en linéarisant au préalable les puissances de sin u (linéarisation très prisée des élèves de Terminale S...) si on ne pousse pas trop le développement... ou en utilisant l'intégrale de Wallis :

Calcul approché de la circonférence de l'ellipse par développement en série :

Ce type d'intégrale se retrouve dans le calcul de la longueur d'un arc de sinusoïde, d'équation y = sin x en appliquant la formule relative aux équations cartésiennes, l'intégrande est alors :

Vous êtes ainsi amené à calculer une intégrale du type v ci-dessus avec un coefficient multiplicateur 2 et k = 2/2.

3. 3ème espèce :    

Legendre donna une formulation plus simple de ces intégrales en posant :

Ultérieurement, Gudermann posa, par analogie avec le cercle :

sn u = sin φ , cn u = cos φ et dn u = Δφ

Les fonctions θ (thêta) de Jacobi :

Fonctions circulaires et fonctions elliptiques :

La difficulté de l'étude des intégrales elliptiques amena Abel à étudier le problème "inverse". Si une intégrale elliptique est de la forme :

v est une fonction de u. En posant u = ψ(v), on définit (dans des conditions de validité à préciser) par inversion, une fonction elliptique, fonction réciproque v. En élargissant l'étude de ces fonctions au cas d'une variable complexe, Abel constate une propriété surprenante : l'existence de deux périodes incommensurables T1 et T2 ! Plus précisément, une telle fonction f est doublement périodique :

le quotient T1/T2 n'es pas un nombre réel et f(z + T1) = f(z) et f(z + T2) = f(z)


Vérifiez que le nombre aT1 + bT2 , lorsque a et b sont entiers, est encore une période de f.

  Bouquet , Briot

Gauss et Jacobi seront les premiers à poursuivre les travaux d'Abel, mort prématurément à l'âge de 27 ans et Weierstrass semble être le premier à avoir construit un exemple de telles fonctions (fonction ).

De nos jours, indépendamment de leur genèse, on peut définir une fonction elliptique en tant que fonction méromorphe doublement périodique.

Fonction holomorphe, fonction méromorphe :

En quelque sorte (et en bien plus compliqué), les fonctions elliptiques sont à l'ellipse ce que les fonctions trigonométriques usuelles, dites circulaires, sont au cercle : en effet, considérons le cercle unité d'équation x2 + y 2 = 1. Pour x élément de [o,1], on vérifie facilement que l'on a pour la longueur d'un arc du premier quadrant :

On pourrait qualifier s(x) "d'intégrale circulaire". On remarque que l'intégrande (fonction sous le signe d'intégration) est la fonction dérivée de la fonction Arcsin et s apparaît ainsi comme réciproque de la fonction circulaire sinus.  

Notion de courbe elliptique :

Une courbe elliptique est une courbe algébrique que l'on peut paramétrer au moyen de fonctions elliptiques. Elles jouent aujourd'hui un rôle important en théorie des nombres (équations diophantiennes) en se ramenant à rechercher des points à coordonnées entières ou rationnelles sur de telles courbes ( réf. 6).

De façon élémentaire, on peut définir les courbes elliptiques en tant que courbes algébriques du troisième degré (cubiques) dont l'équation peut se ramener à la forme :

y2 = x3 + ax + b   (a et b entiers relatifs)

où le second membre, polynôme du 3ème degré en x, n'a pas de solution double. Vues ainsi, ces courbes n'ont pas de rapport avec une forme elliptique : elles se rattachent historiquement au problème et à la théorie évoqués ci-dessus.

On ne s'étonnera pas de l'absence des x2 dans le membre de droite : on vérifiera qu'une équation du type y2 = x3 + ax2 + bx + c se ramène à la forme donnée par changement d'origine en posant X = x - a/3 et Y = y. On a représenté ci-dessous la courbe d'équation y2 = x3 + x + 1 :

               Mordell , Bhargava , Wiles
 

Montrer que la condition x3 + ax + b n'a pas de solution double se résume à 4a3 + 27b2 ≠ 0

 Pour en savoir plus :

  1. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, Jean Dieudonné
    Ch 7, Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes par Ch. Houzel, Ed. Hermann, Paris - 1992

  2. Dictionnaire des mathematiques : Algèbre, Analyse, Géométrie - Encyclopaedia Universalis, Ed. Albin Michel, Paris, 1997

  3. Les courbes elliptiques racontées à mes enfants, vidéo conférence de Marc  Hindry (univ. Paris-Diderot), dont la construction
    du groupe de points à coordonnées rationnelles :
    http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/les_courbes_elliptiques_racontees_a_mes_enfants/
  4. Les courbes elliptiques pour les nuls, par Guillaume Lafon, professeur (PTSI) au lycée Eiffel de Bordeaux : http://www.normalesup.org/~glafon/maths/courbes_elliptiques.pdf
  5. Les fonctions elliptiques sur le site  promenadesmaths.free.fr de Frédéric Laroche :
    http://promenadesmaths.free.fr/elliptiques/Fonctions_Elliptiques.pdf

  6. Le rang des courbes elliptiques (CNRS, Images des mathématiques) et l'étude du groupe des points à coordonnées rationnelles :
    http://images.math.cnrs.fr/Le-rang-des-courbes-elliptiques.html

  7. Les courbes elliptiques pour les nuls, page de Guillaume Lafon :
     http://www.normalesup.org/~glafon/maths/courbes_elliptiques.pdf

  8. Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, Adrien Legendre sur Google Livres :
    http://books.google.fr/books?id=vaAKAAAAYAAJ&printsec=frontcover&dq=legendre+fonctions+elliptiques...

  9. Intégrales abéliennes, elliptiques et hyperelliptiques :
    Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (Appell - Goursat), édition de 1929 (BnF) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k92705z.image.f2   


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