ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HIPPARQUE de Nicée, grec, vers -150
         projection stéréographique

Hipparque, dit le Rhodien, car la plupart de ses travaux furent écrits à Rhodes, est sans doute le plus brillant astronome de l'Antiquité.

On peut le considérer comme le fondateur de la trigonométrie, nouvelle branche des mathématiques (pilier!) que Regiomontanus développera 1500 ans plus tard comme une des branches maîtresses des mathématiques.

Trigonométrie tient son nom du grec trigônos = triangle et métron = mesure : mesure des angles d'un triangle.

Par ses observations astronomiques (mouvements apparents de la Lune et du Soleil principalement), Hipparque comprend que les modèles d'orbites circulaires concentriques d'Eudoxe et de Conon de Samos ne sont pas satisfaisants, les planètes observées ne restant manifestement pas à la même distance de la Terre lors de leurs révolutions.

Hipparque nous légua la division de la circonférence en 360° (1° = 60' = 3600''). On lui doit les premières tables trigonométriques (par usage des longueurs de cordes) de raison un demi-degré et le premier catalogue d'étoiles : il en recensa 1025 !

Toutefois,  la paternité de l'usage du système sexagésimal, c'est à dire à base 60 revient aux Babyloniens. Selon certains spécialistes, Hypsiclès d'Alexandrie, mathématicien et astronome qui vécut à Alexandrie au 2è siècle avant J.-C. l'aurait également utilisé avant Hipparque.

Systèmes de numération :            La mesure du temps (base 60) héritée des babyloniens :              Ptolémée

 
 Angles et mesures (exercices niveau collège)

On doit aussi à Hipparque l'usage de parallèles et de méridiens pour les mesures sur Terre, la détermination de son inclinaison sur l'écliptique, l'invention de l'astrolabe (mesurant la hauteur des astres au-dessus de l'horizon), l'explication des éclipses, une carte du ciel décrivant près de 1000 étoiles ou constellations et tout particulièrement la découverte de la précession des équinoxes (mouvement conique décrit par l'axe de rotation de la Terre en 26000 ans).

La théorie des épicycles pour tenter d'expliquer la mécanique céleste :

Se basant sur une idée d'Apollonius de Perge, il invente un système savant rendant mieux compte des trajectoires observées : la planète (à droite, en jaune) décrit uniformément un cercle, dit épicycle, autour d'un point théorique E, ce dernier tournant uniformément autour de la Terre T.

Pour un observateur lié à T, la trajectoire résultante est une généralement une épicycloïde dont la forme dépend des vitesses angulaires de E et P (elle peut être une ellipse).

Une hypothèse plus simple, également mentionnée, fut l'excentrique : la planète P décrit un cercle non centré en T, dit cercle déférent (à droite).

Cette hypothèse explique alors les phénomènes observés d'apogée (point le plus éloigné de la Terre) et de périgée (point le plus proche de la Terre).

Ptolémée reprendra les deux modèles d'Hipparque dans sa théorie, plus complexe, des équants. Suite aux travaux de Copernic et de Galilée, la solution elliptique de Kepler résoudra définitivement le problème.


  Épicycles selon Hipparque & animation :

La projection stéréographique :

Concernant la représentation de la Terre, il conçut la notion de projection stéréographique : à tout point M de la demi-sphère (s) autre que le pôle O, on associe le point M' intersection du plan équatorial et de la demi-droite [OM). Dans le cas considéré (demi-sphère), les points de (s) se projettent à l'extérieur du cercle équatorial. Dans le cas d'une sphère "posée" sur son pôle sud, l'image serait le plan tangent.

Mathématiquement, si nous appelons (P) le plan équatorial, nous sommes en présence d'un inversion géométrique de pôle O, de rapport 2r2, r désignant le rayon de la sphère : ainsi le cercle équatorial est invariant.

 Ce résultat peut s'obtenir par des considérations trigonométriques élémentaires :

  • dans le triangle OHM, on a : OM2 = 2r2(1 - sina)
  • ^OM'H = p/4 - a/2, d'où OM' = r/sin(p/4 - a/2)
  • 2sin2(p/4 - a/2) = 1 - cos(p/2 - a) = 1 - sina
  • d'où OM2 x OM'2 = 4r4, soit : OM x OM' = 2r2.

Projection stéréographique et sphère de Riemann :

 Mais, l'usage de la puissance d'un point par rapport à un cercle conduit très simplement au résultat, eu égard à OM'2 = R2 + HM'2 car la puissance de M' par rapport au cercle (ci-contre) est : d'une part M'M x M'O et d'autre part : M'H2 - r2.

Par cette inversion la sphère est transformée en (P). Les cercles passant par le pôle (les méridiens) sont transformés en droites et les cercles parallèles à (P), les parallèles, sont transformés en cercles. Sachant que l'inversion conserve les angles : pour cette raison, la projection stéréographique est dite conforme.

 Si nous voulons obtenir une carte de l'hémisphère nord, on choisit le pôle sud S comme pôle d'inversion. Tous les points de l'hémisphère nord seront projetés à l'intérieur du cercle équatorial, ce qui fournit, en se limitant à quelques-uns de ces cercles, une projection comme ci-dessus (à gauche).

Il y aura moins "d'écrasement" pour les parties les plus au nord. En cartographie, on utilise plutôt un des points O de l'équateur comme pôle d'inversion : projection stéréographique équatoriale.

Le plan de projection passe alors par les pôles Nord et Sud et on pourra représenter l'hémisphère ne contenant pas O. Dans ce cas, méridiens et parallèles sont transformés en (arcs de) cercles (à droite).

Projection Lambert , Projection conforme de Mercator , Werner

 Pour en savoir plus en astronomie :

Dioclès  Nicomède
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