ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Décagone, pentagone et pentadécagone réguliers             » polygones (généralités) | Pentagone régulier et nombre d'or | Cas du pentadécagone

Si l'on sait construire le décagone régulier, on obtiendra le pentagone en choisissant un point sur deux. Considérons donc tout d'abord le décagone régulier de côté AB = c₁₀ inscrit dans le cercle de centre O de rayon r :

L'angle au centre â = ^AOB mesure 36° = 360°/10 (2π/10 = π/5 en radians) et le triangle AOB étant isocèle, on a :

En traçant la médiatrice de [AB], on ferait apparaître c₁₀/2 =  r × sin(â/2), d'où :

c₁₀ = 2r × sin18° = 2r × cos(90° - 18°) = 2rcos72°

Traçons la bissectrice de ^OAB : elle coupe [OB] en J. OAJ est isocèle de sommet principal J. Par suite :

Les triangles AOB et JAB sont semblables. On peut donc écrire les rapports égaux : AJ/OA = JB/AB, dont on déduit :

c₁₀/r = (r - c₁₀)/c₁₀       (*)

On retrouve là une proportion bien connue : c₁₀ réalise la section dorée du rayon r du cercle. Sachant que c₁₀ = 2r × cos72°, la résolution de l'équation c₁₀² + rc₁₀ - r² = 0, d'inconnue c₁₀ conduit à :

 ➔   Un petit calcul basé sur cos²x + sin²x = 1 permet de connaître les valeurs exactes de sin72° et tan72° (en radians 2π/5) :

On remarquera que les mesures 18° (π/10) et 72° (2π/5) sont complémentaires. On en déduit donc les valeurs exactes de sin(π/10), cos(π/10) et tan(π/10). Le cas de 36° (π/5) peut alors se traiter facilement : on le rencontrera plus avant.

Algorithme de construction du décagone et du pentagone réguliers :    

L'algorithme est analogue à celui de la construction de la section dorée présente dans les Éléments d'Euclide. D'où la construction de c₁₀ = r(√5 - 1)/2 = r√5/2 - r/2 :

1. Tracer un cercle de centre O  // de rayon r quelconque;
2. Tracer un diamètre [AB];
3. Tracer le rayon [OL] perpendiculaire à [AB];
4. Placer le milieu K de [AO]  // OK = r/2;
5. Le cercle de centre K passant par L coupe [OB] en M : OM = c₁₀  // car OM = KM - OK et KL = KM = r√5/2;

Il suffit alors de reporter 10 fois, au moyen du compas le côté c₁₀ depuis L pour obtenir les sommets du décagone régulier.

 ➔  En prenant un point sur deux, on obtiendra le pentagone régulier.

∗∗∗
Autres approches : décagone étoilé | Calcul algébrique des cosinus et sinus de 2π/5 et π/5 
 

Pentagone régulier et nombre d'or :

Le rapport AC/AD de la diagonale au côté du pentagone régulier est égal au célèbre nombre d'or. En effet, AC/AD = 2cos36° car AC/2 = ADcos36°. Or, cos72° = 2cos²36° - 1, et sachant que cos72° =  (√5 - 1)/4 comme calculé plus haut, on a :

Mais (√5 + 1)² = 2√5 + 6 = 2(√5 + 3), donc AC/AD = (√5 + 1)/2. C'est bien le nombre d'or et on note au passage que :

Le côté du pentagone régulier se calcule dans le triangle isocèle OAD : 

^AOD = 72° et c₅/2 = r × sin(^AOD/2) = r × sin36°, d'où :

La construction du pentagone régulier était donc sans doute connue par les Pythagoriciens puisqu'ils l'utilisèrent dans leur emblème au moyen du pentagone étoilé (en orange à gauche ci-dessous), on l'appelait le pentacle. A droite, une rondelle de tomate...

Albrecht Dürer et le pentagone régulier : »

Le côté du pentadécagone (15 côtés) est :

La construction purement géométrique du pentadécagone est simple dès lors que l'on sait construire le pentagone régulier. Cette construction fait l'objet du livre IV, proposition XVI, des Éléments d'Euclide :

Utilisant la construction du pentagone décrite ci-dessus, Il s'agit de partager l'arc de cercle ABC, correspondant au côté c₃ du triangle équilatéral inscrit, en 5 arcs de même mesure. Mais l'arc AB, côté c₅ du pentagone régulier inscrit, doit contenir 3 tels arcs (3×5 = 15). Par suite l'arc BC, en contient 2.

C'est dire que l'arc CD correspond au pentadécagone : CD = c₁₅. On peut aussi tracer la bissectrice de l'angle au centre interceptant cet arc, ou la médiatrice de [BC], pour obtenir c₁₅. Zoom de la situation :