ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Décagone, pentagone et pentadécagone réguliers       
    
polygones (généralités) , polygones réguliers

Considérons tout d'abord le décagone régulier de côté AB = c10 inscrit dans le cercle de centre O de rayon r :

L'angle â = ^AOB mesure donc 36° = 360°/10 (π/5 en radians) et le triangle OAB étant isocèle, on a :

^OAB = ^OBA = 72° = 2â

Rappelons préalablement et plus généralement que si cn désigne la mesure du côté du polygone régulier inscrit, on a, en traçant la médiatrice de [AB] :

cn/2 = r.sin(â/2)

En l'occurrence :

c10 = 2r.sin18° = 2r.cos(90° - 18°) = 2r.cos72°

Traçons la bissectrice de ^OAB : elle coupe [OB] en J. OAJ est isocèle de sommet principal J. Par suite :

^OJA = 180° - 2â  et  ^AJB = 2â

On en déduit que AJ = AB = OJ = c10.

Les triangles OAB et AJB sont semblables. On peut donc écrire les rapports égaux :

OA/AJ = OB/AB = AB/JB

dont on déduit :

(*)   

On retrouve là une proportion bien connue : c10 réalise la section dorée du rayon r du cercle.
Sachant que
c10 = 2r.cos72°, la résolution de l'équation c102 + rc10 - r2 = 0 conduit à :

  Un petit calcul basé sur cos2x + sin2x = 1 permet de connaître les valeurs exactes de sin72° et tan72° (en radians 2π/5) :

18° (π/10) et 72° (2π/5) sont complémentaires. On en déduit donc les valeurs exactes de sin(π/10), cos(π/10) et tan(π/10). Le cas de 36° (π/5) peut alors se traite facilement : on le rencontrera plus avant.

On sait construire la section dorée présente dans les Éléments d'Euclide. D'où la construction de c10 :

1. Tracer un cercle de centre O;
2. Tracer un diamètre [AB];
3. Tracer le rayon [OL] perpendiculaire à [AB];
4. Placer le milieu K de [AO];
5. Le cercle de centre K passant par L coupe [OB] en M : c'est c10.

Il suffit alors de reporter 10 fois, au moyen du compas le côté c10 depuis L pour obtenir les sommets du décagone régulier. En prenant un point sur deux, on obtiendra le pentagone régulier.

   Autre approche, décagone étoilé :  

Pentagone régulier et nombre d'or :

Le rapport AC/AD de la diagonale au côté du pentagone régulier est égal au célèbre nombre d'or. En effet, AC/AD = 2cos 36° car AC/2 = ADcos36°. Or, cos72° = 2cos236° - 1, et sachant que cos72° =  (5 - 1)/4 comme calculé plus haut, on a :

 

Mais (5 + 1)2 = 25 + 6 = 2(5 + 3), donc AC/AD = (5 + 1)/2. C'est bien le nombre d'or et on note au passage que :

Le côté du pentagone régulier se calcule dans le triangle isocèle OAD : 

^AOD = 72° et c5/2 = rsin(^AOD/2) = rsin36°, d'où :

La construction du pentagone régulier était donc sans doute connue par les Pythagoriciens puisqu'ils l'utilisèrent dans leur emblème au moyen du pentagone étoilé (en orange à gauche ci-dessous), on l'appelait le pentacle. A droite, une rondelle de tomate...

         Une tranche de tomate : une belle approximation d'un pentagone régulier inscrit !

   Un petit exo sur le pentagramme

Pentadécagone (ou pentédécagone) régulier :

Le côté du pentadécagone (15 côtés) est

Noter aussi que la construction du pentadécagone est simple dès lors que l'on sait construire le pentagone régulier :

Cette construction fait l'objet du livre IV, proposition XVI, des Éléments d'Euclide : il s'agit de partager l'arc de cercle ABC, correspondant au côté du triangle équilatéral inscrit, en 5 arcs de même mesure. Mais l'arc AB, côté du pentagone régulier inscrit, doit contenir 3 tels arcs. Par suite l'arc BC, en contient 2 : il suffit de tracer la bissectrice de l'angle au centre interceptant cet arc.

Construction de Dürer (pentagone régulier) :

                          

 Pour en savoir plus (constructions diverses et célèbres) :


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