ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Petit rappel : un secteur circulaire est une portion de disque délimitée par deux rayons et l'un des deux arcs de cercles que ces rayons déterminent (l'un est saillant : en orange, l'autre est rentrant: en jaune). L'angle â est l'angle d'ouverture du secteur.

L'aire d'un secteur circulaire est proportionnelle à son angle d'ouverture â. L'aire du disque de rayon R est πR² et correspond à un "angle" de 360°. Avec a exprimé en degrés décimaux, on a donc la formule :

 A = πR² × â/360             »  En savoir un peu plus

 ➔    On peut noter ici que le périmètre d'un secteur circulaire est 2R augmenté de la longueur de l'arc AB qui le concerne :

p = 2R + 2πR × â/360 = 2R(1 + πâ/360)

Application :   

Les 4 cercles ci-dessous sont tangents extérieurement et ont même rayon R = 2,5 cm :

On demande de calculer l'aire coloriée en magenta (rose foncé).

Indications :    

Justifier que le quadrilatère tracé ci-contre, dont les sommets sont les centres des cercles, est un losange. Calculer les diagonales et en déduire l'aire du losange. Procéder ensuite par soustraction, raison du rappel sur l'aire d'un secteur circulaire...

 ➔   On fera les calculs au 1/1000 près; on arrondira le résultat au 1/100è.

♦  La distance des centres de deux cercles tangents extérieurement est égale à la somme de leurs rayons. Le quadrilatère ABCD reliant les centres est donc ici un losange de côté 2R = 5 cm. Ses diagonales se coupent en I, milieu de [BD]. On a BD = 2R = 5 cm. Le triangle ABD est équilatéral. AI est la hauteur issue de A. On peut écrire :

• AI² = AB² - BI² = 5² - (5/2)² = 18,75. D'où AI ≅ 4,330 cm et BC ≅ 8,660 cm
  » on peut aussi utiliser la trigonométrie en remarquant que ^BAI = 60°/2 = 30°, d'où AI = ABcos 30° ≅ 4,330.

L'aire A du losange ABCD est la moitié du produit AC × BD, soit A ≅ 21,650 cm².

♦  L'aire S d'un secteur orange dont l'angle d'ouverture est 60° est le 1/6 de l'aire d'un disque puisque 6 × 60° = 360°. L'aire d'un secteur bleu est le double de celle d'un secteur orange, soit 2S. 

♦  L'aire cherchée est A - 6S, soit A privé de l'aire d'un disque. L'aire cherchée est donc :

21,650 - πR² ≅ 2,02 cm² (arrondi de 2,015... à 0,01 près)

 ➔   On a ici utilisé la touche π de la calculatrice (précision au milliardième : 10^-9); l'usage de la valeur approchée 3,14 aurait conduit à 2,025 : soit à 2,03 à 0,01 près. Dans un calcul conduit au millième, la valeur approchée de π doit être au moins prise au dix-millième ! L'objectif étant ici un résultat exact à 0,01 près, on doit utiliser au moins trois décimales pour π. Le choix de π = 3,141 conduit à 2,01875, soit à 2,02 cm².