ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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 Symétries et somme des angles
du triangle #2
Outils :
symétrie centrale et axialeTD niveau 5ème/4ème » #1 |
Dans cet exercice, (d) est une droite quelconque et E est un point de (d).
A est un point quelconque; A' est son symétrique par rapport à E : symétrie centrale.
B est le symétrique de A' par rapport à la droite (d) : symétrie axiale.
On demande de prouver que pour toute position E, la droite (AB) reste parallèle à (d)
➔ Si votre navigateur le permet, voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :
)
:
Que peux-tu conjecturer ?
Prouve cette conjecture en n'utilisant que des propriétés élémentaires des symétries, des triangles quelconques ou isocèles et, si tu les connais, les angles alternes-internes...
Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
1. Conjecture : la droite (AB) reste parallèle à (d).
2. Notons (xy) la droite (d), â la mesure en degrés de l'angle ^EAB et ê celle de ^xEA. Nous allons montrer que ces angles ont même mesure.
Par symétrie centrale, E est le milieu de [AA'], nous avons donc EA = EA' et, par symétrie axiale, (d) est la médiatrice de [A'B], on a donc EA' = EB. En particulier, le triangle EAB est isocèle en E et, dans ce triangle, ^AEB = 180° - 2â.
Par ailleurs :
ê = ^xEA = ^yEA' (angles opposés par le sommet);
^yEA' = ^yEB (par symétrie axiale).
Par conséquent ^AEB = 180° - 2ê. Finalement 180° - 2â = 180° - 2ê. Ce qui prouve que â = ê : tous les angles codés de la figure ont même mesure â.
Conclusion :
Si tu connais les angles alternes-internes : la sécante (EA) détermine sur (d) et (AB) des angles alternes-internes ^xEA et ^EAB de même mesure, (d) est donc parallèle à (AB). La conjecture est prouvée.
Si tu ne connais pas encore les angles alternes-internes : par raison de symétrie axiale, on sait que (A'B) est perpendiculaire à (d); par conséquent ^EBy a pour complément ^yEB = â = ^EBA : c'est dire que ^yBA est droit. (AB) et (d) sont donc parallèles puisque toutes deux perpendiculaires à (A'B). La conjecture est prouvée.
» Rappel : deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures égale 90°
➔ Prolongement : triangle dont un côté est un diamètre de son cercle circonscrit.