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Symétries et somme des angles du triangle #2      Outils : symétrie centrale et axiale
   
TD niveau 5ème/4ème     #1

Dans cet exercice, (d) est une droite quelconque et E est un point de (d).

On demande de prouver que pour toute position E, la droite (AB) reste parallèle à (d)

Si votre navigateur le permet, voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer A, E ou (d); observe la droite (AB).
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

  1.  Que peux-tu conjecturer ?

  2. Prouve cette conjecture en n'utilisant que des propriétés élémentaires des symétries, des triangles quelconques ou isocèles et, si tu les connais, les angles alternes-internes...

Si tu sèches après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1. Conjecture : la droite (AB) reste parallèle à (d).

2. Notons (xy) la droite (d), â la mesure en degrés de l'angle ^EAB et ê celle de ^xEA. Nous allons montrer que ces angles ont même mesure.

Par symétrie centrale, E est le milieu de [AA'], nous avons donc  EA = EA' et, par symétrie axiale, (d) est la médiatrice de [A'B], on a donc EA' = EB. En particulier, le triangle EAB est isocèle en E et, dans ce triangle, ^AEB = 180° - 2â.

Par ailleurs :

Par conséquent ^AEB = 180° - 2ê. Finalement  180° - 2â = 180° - 2ê. Ce qui prouve que â = ê : tous les angles codés de la figure ont même mesure â.

Conclusion :    

Rappel : deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures égale 90°

Prolongement : triangle dont un côté est un diamètre de son cercle circonscrit.


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