ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cube inscrit  dans la sphère     niveau 3ème

La figure ci-dessous représente un cube inscrit dans une sphère de rayon R : ses sommets sont des points de la sphère.

C'est le plus grand cube que l'on peut placer dans la sphère. Le centre de ce cube, point de concours des diagonales intérieures, coïncide avec le centre de la sphère qui est le centre de symétrie de l'ensemble. Les trois perspectives de cercles (ellipses) ne sont là que pour mieux donner (je l'espère) une impression 3D.

Quelle est la mesure du côté de ce cube inscrit ?

Fastoche !
Notons O le centre de la sphère, centre du cube, H le projeté orthogonal de O sur la face supérieure du cube, M un sommet de cette face et c la mesure du côté cherché.

• Le triangle OHM est rectangle en H;

• OH = c/2;

• HM = c√2/2 (moitié de la diagonale d'un carré de côté c);

• OM = R;

Selon le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHM, nous avons :

OM² = OH² + HM²

D'où c²/4 + c²/2 = R² et, en conclusion, on devra trouver :

 ➔   soit environ 1,15 x R