ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 APOLLONIUS de
Perge, grec, -262/-180 |
Disciple
d'Euclide et d'Archimède, également
connu sous le nom de Apollonios de
Perga, Apollonius fut mathématicien, physicien et
astronome.
On lui doit un traité complet et de très beaux résultats sur les sections coniques (ainsi dénommées par lui), intersections d'un plan et d'un cône, lors de travaux probablement liés à la recherche d'une courbe auxiliaire dans la résolution du célèbre problème de la duplication du cube, autrefois (déjà...) étudié par Ménechme.
Les quatre premiers livres qui nous sont parvenus furent réédités par Gregory et Halley (Oxford, 1710). Le reste de l'ouvrage nous fut transmis par les mathématiciens arabes. Les autres résultats d'Apollonius sont, en majorité, perdus. Certains purent être reconstitués grâce à l'historien des sciences que fut Pappus d'Alexandrie.
Les coniques, en tant que courbes algébriques (l'appellation est de Leibniz), ne furent introduites qu'au 17è siècle avec Descartes puis Wallis.
Sections spiriques :
| Sections coniques & théorème d'Apollonius : |
Considérons
un cône de révolution et soit (p) le
plan passant par le sommet du cône, parallèle au plan de
section (q).
Théorème : Selon que (p) contient 0, 1 ou 2 génératrices, on obtient une ellipse (E) ou un cercle, une parabole (P) ou une hyperbole (H).
Ci-contre, (p) qui est parallèle à (q) ne contient aucune génératrice comme (Sx) ou (Sy) : on obtient une ellipse E (en jaune). Si (p) , donc (q), s'avère orthogonal à l'axe du cône, on a un cercle.
Si (p) contient une seule génératrice, comme (Sx), il est tangent au cône et on obtient dans le plan (q) une parabole P.
Si (p) contient deux génératrices, par exemple quand il passe par l'axe du cône, on obtient dans le plan (q) une hyperbole H.
En dehors du cercle, déjà bien connu et nommé cyclos, c'est à Apollonius que l'on doit ces appellations :
Parabole
: parabolê, para =
à côté et ballein
= lancer, jeter. La
parabole correspond à la trajectoire d'un projectile
lancé et retombant à terre.
Étude de la parabole :
Hyperbole
: hyperbolê, hyper =
au-delà et ballein
= lancer, soit : jeter
au-delà de toute limite. Elle correspond à une
position limite du plan (q) : parallèle à l'axe du
cône, donc à une trajectoire parabolique limite non
observée en tant que trajectoire d'un projectile lancé.
De plus,
hyperballein signifie
aussi excéder, dépasser. Ainsi hyperbole
apparaît antinomique à ellipse.
Étude de l'hyperbole :
Ellipse
: du grec ellipsis =
déficient, défectueux. Pour Apollonius,
cela correspond dans ses travaux, basés sur des
considérations d'aires, à une caractéristique
fondamentale : ce qu'on appelle depuis Kepler,
l'excentricité.
Elle est inférieure à 1 pour l'ellipse
(déficiente) et supérieure à 1 pour
l'hyperbole (excédente).
Étude de l'ellipse & cas du cercle :
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Définition bifocale de l'ellipse et de l'hyperbole : |
C'est encore à Apollonius, que l'on doit les premières définitions bifocales pour signifier au moyen de deux foyers, le terme est dû à Kepler au 17è siècle.
L'ellipse est l'ensemble des point M tels que MF + MF' = k;
L'hyperbole est l' =ensemble des point M tels que MF - MF' = k.
Le
cas de la parabole est particulier : son
excentricité
(
Pappus) est 1. Elle ne possède qu'un
seul foyer. Apollonius ne dit rien à son propos, à moins, pour certains
historiens, que ses écrits ne nous soient pas parvenus. Pour la caractériser,
outre son foyer, il
faut connaître aussi sa directrice ou son paramètre, coefficient p dans l'équation
réduite
y2 = 2px,
Ménechme , Pappus
d'Alexandrie
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| Un autre théorème d'Apollonius, dit "de la médiane", et ses variantes : |
Dans un triangle ABC,
si I est le pied de la médiane issue de
A, on a :
AB2 +
AC2 =
2AI2 + 2IB2 ou encore :
(2)
Preuve : On calcule les carrés scalaires AB2 et AC2 en introduisant le point I au moyen de la formule de Chasles, on ajoute membre à membre et on remarque que : AI.IB + AI.IC = AI.(IB + IC) = 0.
La formulation (2) permet d'énoncer : l'ensemble des points M du plan dont la somme des carrés des distances à deux points donnés B et C est constante est généralement un cercle de centre I, milieu de [BC].
En posant
MB2 +
MC2 = k > 0 et BC = a, on a 2MI2 + a2/2 = k,
le
rayon R est MI, soit :
Si k = a2/2, l'ensemble se réduit au point I et si k = a2, on retrouve le cercle de diamètre BC : logique !
on
obtient aujourd'hui aisément ce théorème grâce à l'usage du produit scalaire.
Une application de ce théorème :
Sur l'hypoténuse d'un triangle ABC rectangle en B, on place les points D et E
tels que AE = ED = DC et on note alors x la mesure commune des segment [AE],
[ED] et [DC] .
On suppose que BE = 6 et BD = 5. Calculer x puis AB et AC.
Indications :
appliquer le théorème de la médiane dans les triangles ABD et EBC.
Rép. : on trouvera
sans grande difficultés que x2 = 12,2, AB2 = 71,4 et BC2
= 38,4.
Le calcul de AB2 et BC2
s'obtiendra en remarquant que, connaissant x2, on peut évaluer
AB2 + BC2 et AB2 - BC2.
Variante 1 du théorème :
Si H est le pied de la hauteur issue de A, en décomposant AI en IH - IA on a :
AB2 - AC2 = 2IH x BC
ou encore :
| AB2 - AC2 | = 2IH x BC
Preuve : On reprend les carrés scalaires AB2 et AC2 précédents en soustrayant cette fois membre à membre et en remarquant que : IB - IC = CB.
Variante 2 du théorème :
En appelant J le milieu de BC et K celui de AC et en écrivant trois fois la formule (2) par permutation de A, B et C, on obtient ce joli résultat :
4 x (AI2 + BJ2 + CK2) = 3 x (AB2 + BC2 + CA2)
| Cercle d'Apollonius : |
On doit aussi à Apollonius ce théorème autrefois au programme de la classe de Première :
L'ensemble des points du plan dont le rapport des distances à deux points fixes A et B est constant et distinct de 1 est un cercle de diamètre [IJ] où I et J sont les points de la droite (AB) divisant le segment [AB] dans le rapport k :
Ici MA/MB = 2. Pour arrêter/relancer M, cliquez dans la
figure
Ainsi la division [A,B,I,J] est harmonique (concept qui sera étudié plus particulièrement par Pappus d'Alexandrie) et (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle ^AMB.
Dioclès
Une intéressante concrétisation des sections coniques
par le travail d'un artisan espagnol, tourneur sur bois et