ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La logique d'Aristote

Outre la notion de syllogisme, on doit à Aristote les acceptions actuelles du vocabulaire (cadre jaune) lié au raisonnement déductif (on parle aussi de raisonnement hypothético-déductif), exposées dans les Topiques et dans ses traités sur la logique, Les Analytiques, La métaphysique :

  • hypothèse
  • définition
  • axiome
  • postulat
  • déduction
  • induction
  • démonstration    
  • ...

Topiques Livre I,1 : Un raisonnement déductif est une formule d'argumentation dans laquelle, certaines choses étant posées, une chose distincte de celles qui ont été posées s'ensuit nécessairement, par la vertu même de ce qui a été posé. C'est une démonstration lorsque les points de départ de la déduction sont des affirmations vraies et premières, ou du moins des affirmations telles que la connaissance qu'on en a  prend naissance par l'intermédiaire de certaines affirmations premières et vraies; c'est au contraire une déduction dialectique lorsqu'elle prend pour points de départ des idées admises. Sont vraies et premières les affirmations qui emportent la conviction, non pour une raison extérieure à elles, mais par elles-mêmes (...). Sont des idées admises en revanche, les opinions partagées par tous les hommes, ou par presque tous, ou par ceux qui représentent l'opinion éclairée, et pour ces derniers par tous ou par presque tous, ou par les plus connus et les mieux admis comme autorités (...)

Aristote, Topiques Tome 1, Livre I-IV, texte traduit par J. Brunschwig, Ed. « Les Belles Lettres », Paris - 1967

C'est chez Aristote que l'on trouve pour la première fois un langage propositionnel du type :

si P alors Q

et des lettres utilisées pour exprimer des propositions non explicitées.

Une proposition est une affirmation (énonciation) du type « A est B » : A est le sujet (ce dont on parle) et B le prédicat (du latin praedicare = proclamer, qui a donné prêcher), attribut qui peut être affirmé ou nié. « Tout homme est mortel », « Cet enfant a les yeux bleus », « 124 n'est pas multiple de 3 » sont des propositions.

La seconde peut cependant porter à controverse sur l'appréciation de la couleur. On parle parfois à tort de prédicat pour désigner une proposition.

Autre sens, plus récent, de prédicat (fonction propositionnelle) :

La logique propositionnelle d'Aristote est le premier exposé de logique formelle, c'est à dire susceptible d'établir les lois universelles qui régissent notre pensée indépendamment de son contenu, mais qui s'avéra un socle insuffisant face à l'évolution des mathématiques.

Cette logique basée sur le VRAI et le FAUX connut, dans les années 1930, quelques soucis avec l'apparition de propositions indécidables et la vague intuitionniste de Brouwer. Le raisonnement déductif use essentiellement des conjonctions et adverbes ET, OU, SI, ALORS auxquels s'ajoute la négation (NON). Pour la rigueur du raisonnement de l'esprit humain, il s'agit d'en donner un sens précis, ce que fit en particulier de Morgan au 19è siècle. On peut énoncer les trois lois logiques fondamentales suivantes :

1. Connecteur (binaire) de conjonction (ET) :

P et Q étant deux propositions, on appelle conjonction de P et de Q, l'énoncé « P et Q » souvent noté P Q.

2. Connecteur (binaire) de disjonction (OU) : 

P et Q étant deux propositions, on appelle disjonction de P et de Q, l'énoncé « P ou Q » souvent noté P Q (notation de Russel). Ce ou est inclusif, en ce sens qu'il n'est pas... exclusif... : ce n'est pas un ou bien., P et Q peuvent coexister.

3. Connecteur (unaire) de négation (NON) :

Énoncer la négation d'une proposition P, notée ici nonP (mais on rencontre très souvent ¬P ou P ou, anciennement ~P à l'instar de Peano et Russel) consiste à prendre le contre-pied de P :  on énonce le contraire. Si P est vraie, nonP est fausse et vice versa.

Dans l'exemple ci-dessus, l'introduction de l'entier 6 non divisible par 4 s'appelle un contre-exemple : en exhibant cet entier, on montre de façon très simple la fausseté de P. Dans l'art de la démonstration, un bon contre-exemple vaut souvent mieux qu'un long discours... Voici deux contre-exemples célèbres de l'histoire des mathématiques :

Contre-exemple d'Abel :                       Contre-exemple de Weierstrass :

4. Connecteur d'implication logique (SI ... ALORS) également dit d'inférence :

S'exprimant par si P alors Q, notée P Q, l'implication logique n'est pas simple à définir formellement car il faut accepter que si P s'avère fausse l'implication P Q, en tant que proposition composée, est vraie : on dit parfois, à tort, que le faux implique le vrai. A tort, car d'une hypothèse fausse, on ne peut rien déduire.

non(P Q) est la proposition (P nonQ)

non(P Q) n'est vraie que si P est vraie et Q fausse. On en déduira que (P Q) n'est fausse que si P est fausse ou Q vraie :

(P Q) est la proposition (nonP Q)

On voit donc que l'implication se construit à partir de deux des trois connecteurs fondamentaux.

Si nous écrivons P : « ... est un homme », Q : « ... est mortel » Le syllogisme aristotélicien peut s'écrire comme une tautologie (vraie quelle que soient la véracité ou la fausseté de P et Q) au moyen de deux connecteurs :

[(P Q) P ] Q

La notation utilisée ici pour l'implication est celle de Bourbaki, dès 1948. On utilisa aussi la flèche simple (comme Hilbert) ainsi que le signe signifiant la contenance dans le langage des ensembles)

ET, OU et lois de Morgan :             Logique des prédicats de Frege basé sur les connecteurs et ¬ :

5. Règle de transitivité : [(P Q) Q R] (P R). Cette propriété fondamentale de l'implication se retrouve dans la structure d'ordre. tout comme celle de réflexivité P P, équivalente au principe de tiers exclu. On peut aussi parler, avec l'équivalence logique ci-dessous, d'une quasi antisymétrie.

6. Connecteur d'équivalence,  locutions "si et seulement si" et "Il faut et il suffit"

On dira que deux propositions P et Q sont équivalentes et on notera P Q, la proposition

(P Q) (Q P)

Soit P : « n est un entier divisible par 10 » et Q : « n est un entier dont le chiffre des unités est 0 ». On a P Q.

  Le si et seulement si est souvent synonyme d'erreur... Que dire des énoncés :

  1. « si un nombre n est divisible par 10 alors n se termine par 0 »;

  2. « un nombre entier n est divisible par 10 si n se termine par 0 »;

  3. « un nombre n est divisible par 10 si et seulement si n se termine par 0 » ?

Soit P : « n est divisible par 10 » et Q : « n se termine par 0  ».

Dans ChronoMath, afin d'abréger ou de simplifier des énoncés, le si et seulement si est souvent remplacé par l'abréviation soulignée ssi

Axiomes et raisonnement chez Euclide :           Pascal et le raisonnement par récurrence :

Le principe de non contradiction, le principe du tiers exclu et le raisonnement par l'absurde :   

Explicité dans les Topiques, le raisonnement par l'absurde ou réduction à l'absurde, basé sur le principe du tiers exclu, axiome fondamental de la logique aristotélicienne, voit sa consécration dans la preuve (Premiers Analytiques, Livre II) de l'irrationalité de la racine carrée de 2 (ci-après), résultat déjà prouvé, aux dires même d'Aristote, par les Pythagoriciens. Mais antérieurement à Aristote et à son maître, Platon, on n'a pas de trace écrite de démonstrations. Ce très important résultat est aussi présent chez Euclide dans son livre IX des Éléments.

Le principe du tiers exclu (qui sera contesté au 20è siècle par Brouwer pour les domaines infinis, dans le cadre de l'intuitionnisme) exprime que si deux propositions sont contradictoires, l'une est vraie et l'autre fausse. Selon le grand philosophe, la négation d'une proposition A est définie comme ne pouvant coexister avec A (c'est à dire vraies simultanément) et si l'une est (vraie) alors l'autre ne l'est pas. Avant le et c'est le principe de non contradiction, après le et c'est le principe du tiers exclu. Comme l'écrit Ferdinand Gonseth dans ses fondements des mathématiques (1926) : "ces deux principes n'en forment au fond qu'un seul. Le parfait contradictoire ne prend sa véritable signification que par le principe du tiers exclu".

7. non(nonA) est A :

Prenons ces principes pour axiomes : A et nonA sont ainsi contradictoires, il en est donc de même de nonA et non(nonA) et par tiers exclu, il vient que non(nonA) exprime A : non(nonA) A : cette tautologie (au sens logique : vraie que A soit valide ou non) est donc un théorème issu des deux axiomes, conséquence de l'acceptation du principe de tiers exclu.

8. Le principe du tiers exclu :

En logique propositionnelle, nous dirions :

Si P est une proposition et nonP sa négation , alors : P ou nonP

Ce principe, qui n'admet donc pas l'indécidabilité, est alors logiquement équivalent à celui-ci :

9. Le principe de non contradiction :

Si P est une proposition, alors : non(P et nonP)

La preuve est évidente en appliquant les lois de de Morgan : non(A et B) = (nonA) ou (nonB).


Vérifier que le principe du tiers exclu peut aussi s'écrire P P.

Le raisonnement par l'absurde (réduction à l'absurde) :

Donc, par loi de Morgan, on a : nonH ou C. Or H est valide, nous avons donc C, c'est à dire la validité de notre conclusion.

Irrationalité de la racine carrée de 2 :    

Appliquons ce raisonnement à la non rationalité de la racine carrée de 2, c'est à dire 2 n'est pas une fraction, résultat qui avait gravement troublé la belle harmonie des nombres des pythagoriciens...

On dira que le côté d'un carré et sa diagonale sont incommensurables ou que la diagonale d'un carré est incommensurable à son côté : voir alinéa suivant. Voir aussi ci-après un raisonnement par anthyphérèse.

Irrationalité de √2 par descente infinie :

Le raisonnement par l'absurde, comme le raisonnement par récurrence a ses limites : en effet, par manque d'information ou d'intuition, on n'est pas toujours en mesure de formuler le résultat escompté... D'autre part ce type de raisonnement s'avère invalide pour les intuitionnistes car ils réfutent l'équivalence logique, non(nonA) A, évoquée ci-dessus par rejet du principe du tiers exclu.

Calcul approché de √2 :

On montrerait de même que 3 est irrationnel et plus généralement que toute racine carré d'un entier naturel premier p est irrationnel en remarquant que tout nombre non multiple de p est de la forme np + k où n et k sont entiers naturels, 0 < k < p.

Grandeurs commensurables, incommensurables :

Tout chose (objet, concept ou phénomène, inerte ou vivant) possède des caractéristiques qualitatives et quantitatives. Par qualitatives, on entend par exemple sa forme, sa couleur, sa nature (solide, liquide, gazeux), sa constitution (bois, métal, alliage). à certaines de ces qualités, on peut associer un caractère quantitatif exprimant leur quantité dans l'objet en question. Depuis l'Antiquité, c'est ce caractère quantitatif, à savoir un nombre, que l'on appelle grandeur, quoique aujourd'hui suranné. Il correspond de nos jours à ce qu'on désigne par mesurable, quantifiable.

Il s'agit alors de définir, pour une grandeur donnée, son unité (unité de mesure) à savoir la grandeur d'un objet de même nature pris comme référence. Les exemples fourmillent. Les grandeurs les plus connues, étudiées dès l'école primaire, sont :

1cm2 est l'aire c2 d'un carré de côté c = 1 cm = 0,01 m. Donc 1cm2 = 0,0001 m2, soit un dix-millième de m2 et non pas un centième comme pourrait le laisser penser l'appellation "centimètre carré". Erreur usuelle des jeunes élèves...

Autre erreur souvent rencontrée : c'est quoi 100 m2 ? Il s'agit de l'aire d'un carré qui, exprimée en m2, est 100. L'aire d'un carré de côté c est c2. Or, 100 = 10 10 : 100 est donc l'aire d'un carré de côté 10 et surtout pas un carré de côté 100 !

comme précédemment, attention : 1mm3 est le volume c3 d'un cube de côté 1 mm = 0,001 m. Donc 1mm3 = 0,000000001 m3, soit un milliardième de m3 et non pas un millième !

De nouvelles grandeurs ont vu le jour avec le progrès scientifique et l'apparition de technologies récentes. Par exemple :

Deux grandeurs sont dites commensurables (mot à mot : mesurables ensemble) pour signifier qu'elles possèdent une mesure commune tout comme au sens moderne de la théorie de la mesure. Cette notion, théorisée par Euclide dans le livre X de ses Éléments remonte à Pythagore. Plus précisément :

Deux grandeurs a et b sont commensurables s'il existe une unité de mesure u et des entiers m et n
tels que a = n
x
et  b = m x u

En d'autres termes, a et b sont commensurables dès que l'une des trois assertions ci-dessous est vérifiée :

  1. a et b sont des multiples d'une même unité.

  2. il existe des entiers m et n tels que ma = nb.

  3. le rapport a/b peut s'exprimer sous la forme d'une fraction n/m. L'unité est alors u = a/n = b/m.

Sinon, les grandeurs sont dites incommensurables (non mesurables ensemble). On pourra dire également que a est incommensurable avec b (et vice versa).

Dans le cas de la diagonale d d'un carré de côté c, d et c seront commensurables s'il existe des entiers m et n tels que mc = nd avec, eu égard à la propriété de Pythagore : c2 + c2 = 2c2 = d2. Par suite m2 = 2n2, ce qui est impossible comme prouvé ci-dessus, ci-dessous (géométriquement) par anthyphérèse et encore ici (arithmétiquement) par descente infinie à la manière de Fermat, méthode à rapprocher de l'anthyphérèse, basée sur le fait que toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Remarque :   

Il est dit ci-dessus des entiers : on aurait pu dire des fractions (nombres rationnels), nombres acceptés par les grecs de l'Antiquité. En effet, une unité u étant choisie, si a/b (c'est à dire a/b × u) mesure le côté du carré et si p/q peut mesurer sa diagonale, choisissons l'unité u' telle que u = u' × bq. Avec cette unité le côté est entier : a × q et la diagonale également : p × b.

Anthyphérèse et commensurabilité :

On peut montrer que la diagonale et le côté d'un carré ne sont pas commensurables en procédant par anthyphérèse (du grec anthy = à son tour, tour à tour et aphairesis = action d'enlever, supprimer), raisonnement souvent employé par Euclide, proposition 1 de son livre X développant la notion de grandeur évoquée ci-dessus, également appelé axiome d'Archimède :

Deux grandeurs inégales étant données, retranchons de la plus grande une partie plus grande que sa moitié et retranchons du reste une partie plus grande que sa moitié; en faisant ainsi de suite, il restera une grandeur plus petite que la plus petite des deux grandeurs initiales.

Considérons un carré ABCD de côté AB, une de ses diagonales est AC.

Supposons AB et AC commensurables : il existe une unité u tel que AB = c × u et AC = d × u, avec c et d entiers. On a alors d2 = c2 + c2 = 2c2. Par suite, mesurés par u, d et c sont pairs. Si deux nombres sont commensurables, leurs moitiés le sont aussi. Enlevons au carré la moitié de son côté. La propriété s'applique alors au carré A'B'C'D de côté A'B' = c' = c/2 de diagonale A'C' = d' = d/2 :  c' et d' entiers et pairs. Au bout d'un certain nombre d'itérations, on finira par obtenir un côté entier inférieur à u, ce qui n'est pas possible : l'unité serait plus grande que la longueur (multiple de u) mesurée !

Pythagore et la "découverte" des nombres irrationnels :


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