ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BHASKARA (Bhaskaracharya), indien,
1114-1185 |
!
On
ne confondra pas ce mathématicien indien avec un autre
Bhaskara ayant vécu auparavant à la charnière entre 6è et 7è
siècle, astronome ayant établi des formules d'approximation pour
le sinus d'un angle et dont Brahmagupta
se serait inspiré. On parle parfois de
Bhaskara I
pour évoquer
ce mathématicien homonyme, Bhaskara II
désignant celui qui nous
intéresse ici.
De père astronome, astronome lui-même, il dirigea l'observatoire d'Ujjayani (Ujjain), une des sept villes sacrées de l'Inde, berceau de l'astronomie indienne, là-même où vécut Brahamagupta. Son œuvre, essentiellement algébrique marque l'apogée des mathématiques indiennes et inspirera nombre de mathématiciens arabes et occidentaux. Tout comme dans le cas de Brahmagupta, son œuvre nous est connue depuis 1817 grâce aux traductions de l'anglais Henri Thomas Colebrooke (1765-1837), féru de civilisation indienne.
| Trois œuvres principales de Bhaskara nous sont parvenues : |
Le Siddhanta-çiromani (couronnement du système), traité d'astronomie;
Le Lilavati, traité d'arithmétique (portant le nom de sa fille), d'extractions de racines, de problèmes du 1er degré, fausse position en particulier, où il reprend et complète des résultats de Brahamagupta; il y étudie également les problèmes de combinaisons et de permutations, la géométrie du triangle, les relations métriques et trigonométriques exactes ou approchées, en lien avec l'astronomie comme : si x ≃ y, alors sin(x) - sin(y) ≃ (x - y) × cos(x).
Dans ce traité, Bhaskara cherche également à résoudre des équations diophantiennes, en particulier la difficile équation du second degré à deux inconnues, qui fut également étudiée par son illustre prédécesseur Brahamagupta :
x2 = ny2 + 1 où n est un entier naturel non carré, aujourd'hui appelées équations de Pell, utilisant une méthode de résolution raffinée digne des grands arithméticiens du 17è siècle en étudiant les cas n = 8, 11, 32, 61 et 67 (» réf.2, page 62). Bhaskara résolut aussi des équations trinômes plus élémentaires du second degré ax2 + bx = c, à la manière d'Al-Khwarizmi en cherchant à les ramener à la forme carrée (Ax ± B)2 = C, méthode utilisée encore aujourd'hui si l'on veut éviter la trop fameuse expression-élève "je fais le discriminant"... :
Exemple :
Soit à résoudre l'équation x2 - 8x = 9. x2 - 8x est le "début" du carré de x - 4. Ajoutons alors 16 aux deux membres :
x2 - 8x + 16 = 9 + 16; c'est dire que (x - 4)2 = 25, donc x - 4 = ± 5.
Les solutions sont donc : x = 9 et x = -1Résolution complète de l'équation du second degré : »
Le Vija Ganita (calcul des inconnues) important traité d'algèbre traitant des nombres négatifs, de la règle des signes, des puissances, des radicaux et nombres irrationnels, des équations du second degré, des polynômes. On y trouve aussi une élégante preuve du théorème de Pythagore.
Bhaskara et le théorème de Pythagore : » » Oresme
L'algèbre d'Al-Khwarizmi et les méthodes indienne et grecque
Vija Ganita, pages 21-24, Léon Rodet, 1878Comme chez Brahamagupta, un "bien", dhanam, au sens d'un profit, désigne un nombre positif. Une équation comme x2 = a, où a mesure un bien (nombre positif), possède deux solutions : l'une est un "bien" : la racine carrée de a, l'autre est une "perte" (son opposé, une dette, nombre négatif).
∗∗∗ Des problèmes posés par Bhaskara :
Quel
est le plus petit entier qui dans la division par 6 donne un reste égal
à 5, dans la division par 5 donne un reste égal à 4,
dans la division par 4 donne un reste égal à 3, et dans la division
par 3 donne un reste égal à 2 ?
Rép :
59 (le plus simple est de
constater que le nombre cherché est congru à - 1
pour chaque cas donné).
Un
roseau qui a pris racine au fond d'un bassin, émerge à 40 cm
de la surface. Lorsqu'il est poussé par grand vent, il s'incline et
finit par affleurer tout juste à la surface à 1 mètre
de sa position initiale, en restant bien droit jusqu'à sa racine. Quelle
est la profondeur du bassin ?
Rép :
1,05 m
(appliquer le
théorème de Pythagore).
Dis-moi, jeune fille au regard vif, quel est le nombre qui :
en multipliant par trois
en ajoutant les trois quarts (du résultat)
en divisant par 7
en enlevant le tiers (du résultat)
en prenant le carré du nombre obtenu
en soustrayant ensuite 52
en prenant la racine carré (du résultat)
en ajoutant 8 à cette racine
en divisant enfin (ce dernier résultat) par 10, fournit 2.
Rép : 28 (procéder par inversion de la chaîne de calcul plutôt que de résoudre une équation).
» On retrouvera ce petit problème dans le livre de Raymond Smullyan : Les énigmes de Shéhérazade,
Ed. Flammarion, Paris - 1997
➔ Pour en savoir plus :
As-Samaw'al 