ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Abu l'Rayhan Biruni
(Al-Biruni), persan,
973-1052?
»
Calcul du rayon terrestre |
Né
près de Khwarezm (ou Khwarizm, Khorezm), aujourd'hui en l'actuel Ouzbekistan, capitale de la
contrée du même nom,
Al-Biruni (prononcer birouni),
plus précisément dénommé
Abu l'Rayhan
Muhammad,
ibn Ahmad al-Biruni,
fut un philosophe,
astronome et mathématicien renommé qui entreprit de nombreux voyages, en
Inde notamment, où il fut impressionné par les
connaissances des savants indiens en matière d'astronomie et de calcul qu'il
exposa dans son Tariqh al-Hind (Histoire de l'Inde). Il parlait de nombreuses langues (persan,
arabe, grec, sanscrit) et fut un historien
des civilisations; sa Chronologie des
anciens peuples nous est également parvenue.
Al-biruni étudia puis enseigna les sciences transmises par les grecs. Il perfectionna la cartographie de ses illustres prédécesseurs, comme Ptolémée et Al-Khwarizmi, en usant de la projection stéréographique initiée par Hipparque de Nicée et s'intéressa aussi à l'astrologie tout en la critiquant cependant vertement. Savant universel, il étudia également la botanique, la minéralogie, la médecine, la pharmacopée, les sciences physiques (» réf.6).
Diplomate et conseiller auprès du prince du Kharezm, Al-Mamoun II, qui résidait à Kath (nord-ouest d'Ourguentch, Ouzbekistan). Lors de l'arrivée des turcs (999) dans le Khorasan (au nord-est de l'actuel Iran), Al-Biruni fut un conseiller des sultans et connut le jeune médecin et philosophe, Ibn Abdallah ibn Sina, dit Avicenne en Occident, avec lequel il échangea de manière critique (» réf.5 : pages 27 du pdf) sur de nombreux sujets hérités des philosophes et savants grecs (Aristote, Démocrite).
» Depuis 1957, l'ancienne ville de Kath devint Biruni en l'honneur de ce savant. Selon Mohamed Souissi (La langue des mathématiques en arabe, Tunis, 1968), biruni signifie étymologiquement celui qui habite en dehors du périmètre de la ville; en termes modernes : "le banlieusard", d'où le nom Al-Biruni. De cette même région, le Khwarezm, est également originaire le bien nommé algébriste et astronome Al-Khwarizmi Muhammad ibn Moussa.
En 1017, le Kharezm est conquis par le sultan Mahmoud de Ghaznî contraignant Al-Biruni à le suivre dans cette ville de l'actuel Afghanistan, qui deviendra, pendant près de 200 ans, un des pôles culturels et scientifiques parmi les plus importants d'Orient. Ce grand savant y résidera jusqu'à sa mort, probablement à l'âge de 79 ans.
|
Contribution arithmétique, système décimal : |
♦ Appliquant les principes d'Archimède, Al-Biruni calcula avec précision les densités et poids spécifiques de minéraux et corps usuels.
➔ la densité est le rapport de la masse d'une substance à celui du même volume d'eau. La masse volumique (ou spécifique) est le quotient de la masse par le volume. Autrefois, et à l'époque, on parlait de poids : aujourd'hui, on on a P = M.g, ou g désigne l'intensité de la gravitation au lieu considéré.
C'est principalement par Al-Biruni que fut introduit dans le monde arabe le système décimal indien dont tout particulièrement le zéro, avant d'être transmis en Occident.
» Gerbert d'Aurillac , Galilée , Copernic , Kepler Mathématiques arabes : »
♦ En arithmétique, Al-Biruni écrivit un traité sur la règle de trois qui est en fait un traité sur le calcul des proportions, à l'instar d'Eudoxe, qui le conduit à affirmer que le rapport de la circonférence à son diamètre (futur nombre π) est irrationnel (non rationnel, qui dépasse la raison) : déjà, à cet époque, dans les mathématiques arabes, reposant au départ sur les mathématiques grecques et indiennes, les nombres irrationnels ont un véritable statut de nombre au même titre que les entiers et les fractions, au détriment de la notion d'incommensurabilité d'Aristote.
Proportionnalité directe, inverse, double, règle de trois : »
|
Contribution en astronomie et trigonométrie : |
Avant d'adopter, sans conviction, le système planétaire géocentrique de Ptolémée, Al-Biruni avança la thèse d'une Terre sphérique en rotation sur elle-même et expliquera qu'une Terre en mouvement autour du Soleil (héliocentrisme), comme l'affirma sans succès Aristarque de Samos 1300 ans plus tôt, est tout à fait possible mais que les outils de l'époque ne permettent pas de le prouver.
Étude des phases de la Lune extraite du traité
d'astronomie d'Al-Biruni, copie datant de 1257 (an 635 de l'Hégire)
présenté à l'Institut du Monde Arabe lors de l'exposition Les Andalousies, de
Damas à Cordoue (Paris, novembre 2000).
Propriété de la
Staatsbibliothek de
Berlin.
La précision de la trigonométrie des astronomes indiens dont il prit connaissance lors de ses voyages incita Al-Biruni à améliorer les tables trigonométriques de ses prédécesseurs. C'est ainsi que son principal apport à la trigonométrie réside dans un traité de onze livres consacré à ce sujet, le Qanun al-Mashudi, achevé en 1036 et dédié au nouveau maître de Ghazni, Mashud, fils de Mahmud où, reprenant et corrigeant des résultats de Ptolémée, il établit des tables très précises, indépendamment semble-t-il de son contemporain et ami Abu l'Wafa.
Un exemple montrant la précision des calculs d'Al-Biruni : il évalua la demi-corde d'un arc de 2° sur un cercle de rayon unité, équivalent à sin 1° à :1/60 + 2/602 + 49/603 + 43/604, soit : 0,01745239...
Une calculette fournit aujourd'hui : sin 1° = 0,01745240... On voit là, la qualité des calculs de cet éminent savant du 10ème siècle.
i En assimilant un arc de 1° sur le cercle trigonométrique à son sinus (si x "petit", sin x ≈ x), on obtient π ≈ 3,14 (π correspondant à 180°).
Prodigieux calculateur, il évalua des demi-cordes (ancêtres de notre sinus) par pas de 15 minutes d'angle, et des tangentes (notion initiée par Abu l'Wafa, par pas de 30 minutes, avec une précision de 4 sexagésimales ("décimales" de la base 60...) qu'il applique à l'astronomie et à des méthodes de triangulation géodésiques : calculs de distances et d'aires, coordonnées géographiques (latitude et longitude) de centaines de villes afin, en particulier, de préciser la direction de La Mecque. On lui doit la mesure du rayon terrestre par une habile méthode géométrique.
Calcul du rayon terrestre par Al-Biruni (en fin de page) : »
Pour établir ses tables, Al-Biruni eut recours aux polygones réguliers inscrits et apparait comme le premier mathématicien et astronome à utiliser un cercle de rayon unité (futur cercle trigonométrique). Il calcula les angles au centre et les côtés en usant d'approximations linéaires et quadratiques établies sur des formules basées sur la trigonométrie des cordes de Ptolémée et d'Hipparque. Elles correspondent de nos jours à :
sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa , sin2a = 2sina.cosa , 2sin2(a/2) = 1 - cos2a
Il démontra cette belle relation liant les côtés d'un triangle aux sinus de ses angles et au rayon du cercle circonscrit, souvent appelée formule des sinus , attribuée à tort à Al-Kashi qui la reformula 400 ans plus tard :
➔
En notations actuelles,
si f est une fonction à approcher en un point x + Δx
connaissant f(x) et Δx petit, une approximation est dite
linéaire (ou du 1er
ordre) si la valeur approchée
est du type f(x + Δx)
= f(x) + h.Δx;
elle est quadratique
(ou du second ordre) si la valeur
approchée est du type f(x + Δx)
= f(x) + h.Δx +
k.Δx2.
Vocabulaire à distinguer des
méthodes générales d'interpolation d'une
fonction sur un intervalle.
♦ Noter que le cosinus ne fut introduit qu'au 17è siècle par Gunter. Connaissant la demi-corde de l'angle â, on utilisait alors la demi-corde de l'angle 90° - â/2.
Tangente et approximation locale : » Trigonométrie des cordes chez Ptolémée : » » Regiomontanus
Ces travaux amènent Al-Biruni à étudier les polygones réguliers (Livre III du Qanun). Concernant l'ennéagone régulier (9 côtés), dont la construction au sens d'Euclide -règle et compas- n'est pas possible : elle est équivalente au problème de la trisection d'un angle de 120°, il ramène le calcul du côté à la résolution d'une équation du 3ème degré.
Ennéagone et l'équation x3
= 3x - 1 :
»
Le problème général de la trisection fait l'objet du Livre IV. Au chapitre suivant, il étudie le rapport de la circonférence à son diamètre, reprenant les méthodes initiées par Archimède. Les chapitres VI àVIII sont consacrées aux tables trigonométriques de sinus et tangentes, exprimées en base 60, comme évoquées plus haut et présentant des formules d'interpolation pour les valeurs intermédiaires, s'apparentant à des développements limités d'ordre 1 et 2.
Selon
Mohamed Souissi, lorsque les écrits d'Al-Biruni parviennent en Occident, ils
apparaissent comme ardus, voire ésotériques. On se serait alors moqué de son
contenu et, en dérision, Al-Biruni fut affublé du sobriquet de Maître
Aliboron, que l'on retrouve plus tard dans les fables
de La Fontaine, pour signifier une personne ignare et, par là, un âne. Pas vraiment sympa les gens de l'époque, qui ne savaient pas que
l'âne... c'était eux.
Les voleurs et l'âne (fable XIII)
Pour un âne enlevé, deux
voleurs se battaient :
L'un voulait le garder; l'autre voulait le vendre.
Tandis que coups de poing trottaient,
Et que nos champions songeaient à se défendre,
Arrive un troisième larron
qui saisit maître Aliboron.
|
Calcul du rayon terrestre : |
Le premier calcul de ce rayon avait été entrepris par Ératosthène 1000 ans auparavant. Sous le règne éclairé du calife Al-Mamoun de Bagdad qui régna de 813 à 833, de nombreuses missions furent ordonnées, en particulier celle de mesurer le rayon terrestre. Outre l'aspect purement scientifique (astronomie, géographie), un des objectifs fut, grâce à une cartographie précise, de pouvoir s'orienter vers la Quibla, la direction de La Mecque, à l'heure de la prière (» réf.1b : pages 8-32 du pdf ou réf.1c : pages 173-195 et suivantes du livre en français).
La méthode employée fut le calcul de la longueur d'un degré de méridien décrite brièvement par A. P. Youschkevitch (» réf.1a) et E. S. Kennedy (» réf.1b) : une équipe de géographes, sous la direction de l'astronome Al-Farghani, avait été constituée et s'était rendu en Syrie dans les grandes plaines au nord de Palmyre en direction de Raqqa, en terrain plat. Grâce aux instruments de mesures, comme l'astrolabe et le quadrant astronomique, il était aisé de mesurer la latitude d'un lieu en se déplaçant les uns plein nord, les autres plein sud : le soleil de midi est plein sud et repérable par un gnomon (cadran solaire ou simple bâton) lorsque l'ombre de celui-ci est la plus courte. On peut ainsi longer un même méridien en mesurant la distance parcourue. Lorsque la différence de latitude est de 1°, si la distance parcourue est d, nous avons :
2πR = d × 360, soit R = d × 180/π
Et, plus généralement si δ° désigne la différence de latitude exprimée en degrés : R = d/δ° × 180/π. Selon les sources référencées, exprimée en milles arabes de l'époque, les distances parcourues pour δ = 1° furent de 56 et 56 + 2/3; il fut décider de conserver la seconde, ce qui équivaut, selon Youschkevitch, à environ 113 km, soit 1 mille ≈ 1994 m (*) et on obtient pour le rayon terrestre R ≈ 6474 km. Un très bon résultat puisque le rayon moyen de notre planète assimilée à une sphère est de 6371 km. En fait la Terre s'apparente plutôt à un ellipsoïde de révolution dont le rayon polaire est estimé de nos jours à 6357 km. Le calife ordonnera une seconde expédition qui confirma le résultat.
(*) Comme adopté par les auteurs cités, et Al-Farghani à l'époque. L'erreur s'évalue à moins de 2% : 100 × (6474-6371)/6371. Mais il faut relativiser le résultat ci-dessus eu égard aux diverses sources relatives au mille arabe. Carlo Alfonso Nallino (1872-1938), historien des sciences arabes dont on pourra consulter la biographie sur Persée.fr, éditée par le Bulletin de Institut d'Égypte en 1938, évalue les 56 milles et 2/3 à 111,8 km (soit 1 mille ≈ 1972 m) conduisant R = 6406 km. Ce résultat est retenu par Ahmed Djebbar (» réf.2). C'est certes beaucoup mieux (moins de 0,6% d'erreur), mais quid de la valeur authentique du mille arabe ? Edward S. Kennedy (» réf.1b), quant à lui, ne prend pas partie. On pourra consulter deux références Wikipédia (» réf.11) montrant une grande incertitude sur les unités de mesures (mille, coudée, aune, ...).
Le calcul géométrique (trigonométrie) d'Al-Biruni :
En 1017, Al-Biruni se propose de vérifier les calculs précédents mais n'obtient pas le financement nécessaire à l'expédition. Cet éminent savant entreprit alors une ingénieuse méthode : il se rendit dans le Pendjab au nord-est du Pakistan (en Inde à l'époque) et gravit, avec ses aides et ses instruments, une petite montagne isolée dans le Salt Range au sud-ouest de Fort Nandana, entourée d'une vaste plaine. Tout d'abord, à l'aide d'un quadrant ou d'un astrolabe, on se place en terrain plat à distance de la montagne, et on vise son sommet S depuis deux points éloignés. En appliquant la méthode décrite dans cet exercice, il est aisé de calculer la hauteur h de la montagne. h étant très petit par rapport à R, rayon de la Terre T, la figure ci-dessous ne respecte en rien les distances mais cela ne met pas en cause les calculs :
à l'aide d'un grand
astrolabe monté sur pied ou un
quadrant astronomique, Al-Biruni vise le point
d'horizon B depuis le sommet A, ce qui définit l'angle ^xAy = ^ATB. En effet [AT)
définit la verticale du lieu d'observation perpendiculaire à [Ax). La
demi-droite [AB) définit une tangente en B au cercle de centre T (méridien) :
les angles ^xAy et ^ATB ont même mesure en tant qu'angles à côtés
perpendiculaires. Dans le triangle ABT, on a BT = AT × cos
α,
soit : R = (h + R) × cosα.
D'où :
Texte issu du Qanun d'Al-Biruni
The History of Cartography, Vol II, Livre I, Ch. 8,
réf. 1d, Geodesy , page 182
Traduction :
J'ai changé pour une autre voie car j'ai trouvé dans une région de l'Inde un sommet de montagne tourné vers une large plaine aussi plate que la surface de la mer. Puis à son sommet j'ai mesuré l'intersection du ciel et de la terre (ligne d'horizon). Pour ce faire, j'ai utilisé un instrument incliné autour de l'axe Est-Ouest d'un peu moins que 1/3 et 1/4 de degré et j'ai choisi de prendre 34'. J'ai déduit la hauteur de la montagne en prenant le sommet en deux endroits (depuis la plaine au sud), et j'ai trouvé que c'était 652 et 1/20è de coudées [652;3,18].
➔ 1/3 + 1/4 = 7/12. En minutes d'angle : 7/12 × 60 font 35'. Al-Biruni choisit alors 34'. 652 + 1/20 = 652,05. En base 60 : 3/60 + 18/602 = 0,055. La coudée de l'époque est estimée à 0,493 m.
Les écrits les plus fiables, comme ceux référencés ci-dessous (» réf.1a, p. 139 et 1d, p.182- en particulier) présentent des données concordantes pour le calcul du rayon terrestre selon Al-Biruni, se référant aux écrits de ce dernier (Ch. 7 du livre V du Qanun al-Mashudi. Selon Youschkevitch, la montagne s'élève à 652,05 aunes (*) au-dessus de l'horizon local. Mercier exprime ce même résultat en coudées selon le texte d'Al-Biruni (ci-dessus). En coudées (1 coudée = 0,493m), on obtient environ 321,5 m. L'angle α est évalué à 34' (34 minutes d'angle), soit 0,5667°. La formule ci-dessus exprimant le rayon terrestre fournit alors 6572,5 km.
➔ Adloph P. Youschkevitch exprime le résultat d'Al-Biruni en farsahk (farsang en Iran, devenu parasange chez les romains), une unité équivalente à 3 milles arabes, correspondant à la distance parcourue par un (bon) marcheur en 1 heure. Là encore, au cours du temps et des civilisations, la conversion de cette mesure est très incertaine (voyez ce qu'en pensent Diderot et d'Alembert, » réf.11c). Le partage d'une journée en 24 heures remonte aux babyloniens environ 3000 ans auparavant. (*) Concernant l'usage de l'aune, il est probable que la traduction (russe → français) soit erronée car le texte de Youschkevitch stipule "une aune est égale à 0,5 m environ", or cette approximation correspond à la coudée (» réf.11d).
La circonférence polaire du globe terrestre est alors 41296 km, soit 114,7 km pour 1° d'arc. Si l'on utilise le mille de l'époque d'Al-Farghani, 1 mille = 1994 m, on obtient l'équivalent de 57,5 milles pour 1° d'arc. Al-Biruni écrit que eu égard aux incertitudes des mesures, il retrouve les 56 milles et deux tiers des savants du 9è siècle et que ces derniers ont sans doute obtenu le meilleur résultat.
i Il est clair que mesurer un α de 34' avec les moyens mis en œuvre à cette époque est extrêmement périlleux... Une minute d'erreur conduit à R = 6977,7 km si α = 33' et à R = 6203 km si α = 35'. Ératosthène, 1200 ans auparavant, l'avait brillamment estimé à 6287 km... D'autres sources, à vocation pédagogique, présentent des données a priori sans lien avec les calculs d'Al-Biruni (par exemple : » réf.12).
➔ Pour en savoir plus :
, par une équipe d'enseignants
Histoire des différents méridiens origine (IGN) : https://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/Meridiens_greenwich_paris.pdf
Histoire de l'astronomie depuis ses origines jusqu'à nos
jours, par Ferdinand Hoefer (1811-1878) :
https://books.google.fr/books?id=X79KAAAAMAAJ (Astronomie arabe :
pages 253 et suivantes
de la pagination)
Ancienne unités de msesures arabes :
a) Le mille arabe :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mille_arabe
b)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Unités_de_mesure_anciennes_arabes
c) La parasange (farsahk) selon l'Encyclopédie de diderot et
d'Alembert :
http://enccre.academie-sciences.fr/encyclopedie/page/v11-p940/
d/ L'aune, mesure du moyen-âge européen :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Aune
Calcul du rayon terrestre (exercice proposé par le Musée de sismologie et
Magnétisme Terrestre) :
https://musee-sismologie.unistra.fr/fileadmin/upload/Sismologie/PedagogieSismologie/Ateliers/LYC_rayon_terre_activite.pdf
Avicenne
»