ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le triangle infernal       niveau : dès la 4è...     » Passer en mode « Plein écran »  touche F11

On considère un triangle isocèle ABC de sommet principal A. L'angle ^A mesure 20°. On trace [BF] et [CE] comme indiqué ci-contre de sorte que ^CBF = 60° et ^BCE = 50°. Ces segments se coupent en G. On demande de calculer les mesures des angles du triangle EFG. Bon courage... Si vous séchez après avoir bien cherché, ne déprimez pas... :  ››››    ➔    Source de ce "petit" exo... : Redécouvrons la géométrie par H.S.M. Coxeter et S.L. Greitzer, Ed. Dunod 1971, ou encore : Géométrie classique et mathématiques modernes par Brigitte Sénéchal, Ed. Hermann, Paris - 1979.

Un triangle isocèle admet un axe de symétrie. La symétrie est ici cassée. Rétablissons-la :

Pour ce faire, traçons l'axe de symétrie du triangle ABC, médiatrice de [BC].

• On note H le symétrique de F.
• Traçons [CH] , symétrique de [BF]. Ces segments se coupent en D sur l'axe.
   
• BCD et DHF sont équilatéraux.
• CBE est isocèle car ^BEC = 180°- 80°- 50° = 50°.

Ainsi BC = BD et BE = BC, donc BE = BD.

On en déduit les égalités suivantes :

Par conséquent :  EH = ED.

Mais HFD est équilatéral : donc FH = FD.

C'est dire que (EF) est la médiatrice de [HD].

Il suit que ^EFD = EFG = 30°.

^EGF = 180° - 60° - 50° = 70°  et par suite ^FEG = 80°.

Les angles du triangle EFG mesurent 70°, 80° et 30°.

 ➔   Pas vraiment évident, voire infaisable, si nous n'avions pas pensé à rétablir la symétrie...