ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le triangle infernal       niveau : dès la 4è...       Passer en mode « Plein écran » en tapant sur F11
 Source de ce "petit" exo... : Redécouvrons la géométrie par H.S.M. Coxeter et S.L. Greitzer, Ed. Dunod 1971, ou encore : Géométrie classique et mathématiques modernes par Brigitte Sénéchal, Ed. Hermann, Paris - 1979.

On considère un triangle isocèle ABC de sommet principal A.

  • L'angle ^A mesure 20°.
  • On trace [BF] et [CE] comme indiqué ci-contre de sorte que ^CBF = 60° et ^BCE = 50°.

  • Ces segments se coupent en G.

On demande de calculer les mesures des angles du triangle EFG.

Bon courage...

Si vous séchez après avoir bien cherché, ne déprimez pas... :

 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Un triangle isocèle admet un axe de symétrie. La symétrie est ici cassée. Rétablissons-la : pour ce faire, traçons l'axe de symétrie du triangle ABC, médiatrice de [BC].

Ainsi BC = BD et BE = BC, donc BE = BD.

On en déduit les égalités suivantes :

^BED = ^EDB = 80°  puis : ^EHD = 40° et EDH = 40°

Par conséquent :  EH = ED.

Mais HFD est équilatéral : donc FH = FD.

C'est dire que (EF) est la médiatrice de [HD].

Il suit que ^EFD = EFG = 30°.

^EGF = 180° - 60° - 50° = 70°  et par suite ^FEG = 80°.

Les angles du triangle EFG mesurent 70°, 80° et 30°.

Pas vraiment évident, voire infaisable, si nous n'avions pas pensé à rétablir la symétrie...

 


© Serge Mehl - www.chronomath.com