ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Progressions & suites arithmétiques et géométriques       ∗∗∗ exercices
    » Suites arithmétiques | Suites et séries géométriques | Suites (généralités, convergence) | Séries (généralités, convergence)

♦  Progression arithmétique et suite arithmétique :    

On dit que des nombres a, b, c, d, ... sont en progression arithmétique, dans cet ordre, si les différences successives sont constantes (constance de la "distance" qui les sépare) :

b - a = c - b = d - c = ...

Autrement dit, on passe d'un nombre au suivant en ajoutant toujours le même nombre appelé raison de la progression.

Si trois nombres a, b et c, pris dans cet ordre, sont en progression arithmétique, alors 2b = a + c : b est donc la moyenne arithmétique de a et c.

Suite arithmétique :    

Une suite (un) de nombres (n ≥ 0) est dite arithmétique si la différence un+1 - un est constante : les éléments de la suite sont en progression arithmétique. Pour chaque rang n, un est la moyenne arithmétique de un-1 et un+1. Notons r la raison; on a :

un+1 = un + r  |  2un = un-1 + un+1  (n ≥ 1)  |  un= uo+ n×r

 ➔  Si la suite commence au rang 1, on aura un= u1+ (n - 1)×r.

♦  Somme des termes d'une progression arithmétique :    

La somme Sn de n termes consécutifs d'une progression ou suite arithmétique de 1er terme α, de dernier terme β, est égale à :

Sn = n(α + β)/2

On s'en convaincra à la manière de Gauss en écrivant (en notant r la raison) :

Sn = α +     (α + r)      +     (α + 2r)     + ...  + [α + (n - 1)r]     + β
 Sn = β + [α + (n - 1)r] + [α + (n - 2)r] + ...  +     (α + r)          + α

En sommant membre à membre, on rencontre les sommes du type (α + kr) + [α + (n - k)r] = 2α + nr = α + α + nr = α + β. Finalement, 2Sn = n(α + β), d'où la formule annoncée.

 ➔  On pourrait considérer une série numérique dont les termes sont en progression arithmétique mais le sujet n'aurait guère d'intérêt : Vu que les sommes partielles sont proportionnelles à n, une telle série serait divergente à moins que tous ses termes ne soient nuls : 1er terme nul et raison nulle.

∗∗∗ 
1. Justifier que si trois nombres a, b et c sont en progression arithmétique de raison r, on a : a + b + c = 3(a + r)
2. On donne a = 2 et b = 5, calculer c afin que a2, b2, c2 soient en progression arithmétique. Rép : c = √46.

♦  Progression géométrique et suite géométrique :    

On dit que des nombres non nuls a, b, c, d, ... sont en progression géométrique, dans cet ordre, si les quotients successifs sont constants :

Autrement dit, on passe d'un nombre au suivant en multipliant toujours par le même nombre appelé, comme dans le cas arithmétique, raison de la progression.

Si trois nombres a, b et c, pris dans cet ordre, sont en progression géométrique, alors b2 = a×c : b est donc la moyenne géométrique de a et c.

Suite géométrique : 

Une suite (un) de nombres non nuls (n ≥ 0) est dite géométrique si la quotient un+1 / un est constant : les éléments de la suite sont en progression géométrique. Pour chaque rang n, un est la moyenne géométrique de un-1 et un+1 :

∀n ≥ 1, un2 = un-1 × un+1

Autrement dit :

Notons q raison de la progression, on a :

un+1 = q×un  et  un= uo × qn

 ➔  Si la suite commence au rang 1, on aura un= u1 × qn-1.

∗∗∗
Vérifier que les célèbres identités remarquables apprises au collège : (a - b)2, a2 - b2, (a + b)2
sont en progression géométrique.

♦  Somme des termes d'une progression géométrique :    

la somme S de n termes consécutifs d'une progression géométrique, de raison q distincte de 1, de 1er terme α, est :

α + αq + αq2 + ... + αqn-1 = α(1 + q + q2 + ... + qn-1)

On connaît l'identité élémentaire (1 - x)(1 + x + x2 + ... + xn-1) = 1 - xn facilement vérifiable en développant le second membre. On en déduit la somme cherchée :

  • Exemple : 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/64 : 6 termes, 1er terme 1/2, raison q = 1/2. S = ½[(1 - (½)6)/(1 - ½)] = 63/64.

Série géométrique, convergence :    

Si |q| < 1, alors la série de terme général αqn , à savoir : α + αq + αq2 + ... + αqn + ... , qualifiée de série géométrique est convergente et sa somme est α/(1 - q).

En effet, lorsque n devient infini, si |q| < 1, ln(|q|)n = n×ln(|q|) → - ∞ puisque ln(|q|) < 0. Par suite |q| et  qn tendent vers 0.

♦ En particulier, pour tout x de l'intervalle ]-1,+1[, on peut écrire :

1. Trois nombres a, b et c sont en progression géométrique de raison q, montrer que : abc = (aq)3
 2. Trois nombres a, b et c sont en progression géométrique croissante: a < b < c; leur somme vaut 1,9 et leur produit 0,216. Quels sont ces nombres ?
 Rép. : c'est un petit problème du second degré; a = 0,4 , b = 0,6 et c = 0,9; la raison est 1,5.
3. Vérifier que si (un) est une suite géométrique positive (non nulle), alors la suite de terme général log un  est une suite arithmétique

  4.  Soit q réel, | q | < 1. On pose Sn =  1 + 2q + 3q2 + ... + nqn-1.
 Montrer en calculant Sn - qSn et en passant à la limite que 1 + 2q + 3q2 + ... + nqn-1 converge vers 1/(1 - q)2.

5. Selon une légende (parmi d'autres), l'inventeur du jeu d'échecs aurait demandé comme récompense à son souverain, enchanté par ce jeu, de lui offrir autant de grains de blé que l'on compte sur un échiquier en en mettant 1 sur la première case, 2 sur la seconde, 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième et ainsi de suite en doublant. Tous les greniers du royaume furent vidés sans pour autant satisfaire notre inventeur.
Combien de tonnes de blé seraient nécessaires en admettant un PMG (Poids de Mille Grains) de 45 g ?  ☼

 

6. Une balle lâchée à 2,40 m de hauteur rebondit plusieurs fois avant de rouler sur le sol. Si hn est la hauteur atteinte au n-ème rebond (avec ho = 2,4), on constate que hn égale sensiblement les 3/4 de hn-1. La balle cesse de rebondir lorsque la hauteur de rebond est inférieure à 2 mm. A combien peut-on estimer le nombre de rebonds ? Rép : On a hn = 2,4 × (3/4)n. Il nous faut résoudre hn ≥ 0,002 : n × log(0,75) ≥ - log(1200), d'où n ≤ 24,6. La réponse est donc 24 rebonds.

7.  On pose an+1 = √(anbn) , bn+1 = (an + bn)/2, ao = a > 0 , bo = b > 0.  a) Vérifier que l'on a an ≤ bn pour tout n ≥ 1.
b) Montrer maintenant que l'on a pour tout n ≥ 1 : an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn. En déduire la convergence de ces suites.
c) En procédant par récurrence et utilisant la croissance de la fonction racine carrée, montrer que pour tout n ≥ 1, on a l'inégalité :

bn - an  ≤ | b - a |/2n

En déduire que les suites (an) et (bn) ont même limite. 

» Voir aussi : Suites adjacentes | variante de cet exercice

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Autres sujets :
Triangle rectangle, hauteur et moyenne géométrique | Trapèze et moyenne harmonique
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Contrat de location  (suite arithmétique & géométrique, tableur

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