ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Moyennes pythagoriciennes             exercices tout au long de la page
    Progressions arithmétiques
et géométriques

Il existe de nombreuses manières de calculer une moyenne de quantités numériques : la pertinence du choix dépendra du problème mathématique ou physique rencontré :

Moyenne arithmétique de deux ou plusieurs nombres :  

Il s'agit tout simplement pour deux nombres a et b de et plus généralement, pour n nombres a1, a2, ..., an de :

 

b - a = c - b = d - c = ...

  Lien : pour trois nombres, c'est dire que 2b = a + c : b est la moyenne arithmétique de a et c.

Moyenne arithmétique pondérée :  

A la manière des problèmes barycentriques, la moyenne de n nombres a1, a2, ..., an pondérés par les coefficients (poids) p1, p2, ..., pn est le nombre :

Lorsque les poids sont égaux, on retrouve la moyenne arithmétique, équivalente à des pi tous égaux à 1.


1.  Étienne est très doué : Jusqu'ici, il a eu 4,5/5 à chaque interrogation écrite de maths. Mais au dernier test, il s'est complètement planté : il a eu 2/5. En travaillant dur, il espère obtenir prochainement que des 5/5.
Combien en faudra-t-il pour retrouver sa moyenne de 4,5 ?  

2. Papy a fait une balade en vélo d'appartement : il a roulé 10 minutes à 25 km/h et 20 minutes à 16 km/h.
Quelle est sa vitesse moyenne ? 

Suite arithmétique :

 Une suite (un) de nombres est dite arithmétique si la différence un+1 - un est constante : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

C'est aussi dire que, pour chaque rang n, un est la moyenne arithmétique de un-1 et un+1 :

n 1, 2un = un-1 + un+1

uo = -1/3 et pour tout n > 0 : un+1 = un + 2/3

S = n(α + β)/2               Exemple : 1 + 2 + 3 + ... n = n(n + 1)/2

 
1. Justifier que si trois nombres a, b et c sont en progression arithmétique de raison r, on a : a + b + c = 3(a + r)
2. On donne a = 2 et b = 5, calculer c afin que a2, b2, c2 soient en progression arithmétique.
Rép : c = 46.

Moyenne géométrique de deux ou plusieurs nombres :

Il s'agit de = (ab)1/2  et plus généralement de (a1 a2 ... an)1/n.

Cette appellation provient du fait que si c désigne ce nombre, alors c2 = ab (c est moyenne proportionnelle de a et b) : le nombre c apparaît géométriquement comme le côté du carré qui a la même aire que le rectangle de mesures a et b : c'est une valeur "moyenne" entre a et b car on montre facilement que si a < b alors a < c < b.

Les Pythagoriciens, et la mathématique grecque en général, ont toujours ramené le calcul (qui devint l'algèbre avec Al Khwarizmi) à des considérations géométriques. En écrivant c x c = a x b,  Pythagore effectue là une "quadrature du rectangle". La quadrature du cercle fut d'une autre difficulté...

   Casse-tête "moyen"

 b/a = c/b = d/c = ...
  Pour trois nombres, c'est dire que b2 = ac : b est la moyenne géométrique de a et c.


Vérifier que les célèbres identités remarquables apprises au collège : (a - b)2, a2 - b2, (a + b)2
sont en progression géométrique.

Suite géométrique, série géométrique :

Une suite (un) de nombres est dite géométrique si le quotient un+1/un est constant : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. C'est aussi dire que, pour chaque rang n, un est la moyenne géométrique de un-1 et un+1 :

n 1, un2 = un-1 un+1

Exemple : 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...            

Dans l'exemple ci-dessus, la raison est 2, le 1er terme est uo = 1,  u1 = 2 = 2 x uo, u2 = 4 = 2 x u1, ... , u5 = 25.

S = α(qn - 1)/(q - 1)               Exemple : 1/2 + 1/4 + ... 1/64 = ½(½6 - 1)/(½ - 1) = 63/64

Noter que si | q | < 1, qn tend vers 0 lorsque n devient infini (puisque ln | qn | - ) et S =  α/(1 - q) :

Série géométrique :   

Si | q | < 1, alors la série de terme général αqn , à savoir :

α + αq + αq2 + ... + αqn + ...

dite série géométrique est convergente et sa somme est α/(1 - q). En particulier, pour tout x de l'intervalle ]-1,+1[, on peut écrire :

On retrouve ces résultats fondamentaux en utilisant l'identité élémentaire :

(1 - x)(1 + x + x2 + ... + xn-1) = 1 - xn

 
1.
Justifier que si trois nombres a, b et c sont en progression géométrique de raison q, on a : abc = (aq)3

2. Vérifier que si (un) est une suite géométrique positive (non nulle), alors la suite de terme général log un  est une suite arithmétique
(log = logarithme de base quelconque)

3.  On pose an+1 = (anbn) , bn+1 = (an + bn)/2, ao = a > 0 , bo = b > 0.  a) Vérifier que l'on a an bn pour tout n 1.
b) Montrer maintenant que l'on a pour tout n 1 : an an+1 bn+1 bn. En déduire la convergence de ces suites.
c) En procédant par récurrence et utilisant la croissance de la fonction racine carrée, montrer que pour tout n 1, on a l'inégalité : bn - an  | b - a |/2n.
En déduire que les suites (an) et (bn) ont même limite. 

  Suites adjacentes , variante de cet exercice

3. Selon une légende (parmi d'autres), l'inventeur du jeu d'échecs aurait demandé comme récompense à son souverain, enchanté par ce jeu, de lui offrir autant de grains de blé que l'on compte sur un échiquier en en mettant 1 sur la première case, 2 sur la seconde, 4 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant. Tous les greniers du royaume furent vidés sans pour autant satisfaire notre inventeur.

Combien de tonnes de blé seraient nécessaires en admettant un PMG (Poids de Mille Grains) de 45 g ?    


Moyenne harmonique de deux ou plusieurs nombres :

Il s'agit tout simplement pour deux nombres a et b de  et plus généralement, pour n nombres a1, a2, ..., an de :

Cette moyenne harmonique, moyenne arithmétique des inverses, fut ainsi dénommée car utilisée en musique afin d'obtenir des longueurs de cordes vibrantes produisant des accords harmonieux : Il s'agit de la moyenne arithmétique des inverses, c'est à dire musicalement de la moyenne arithmétique des fréquences, inverses de la période. Rappelons ici que la fréquence fondamentale du son émis est inversement proportionnelle à la longueur de la corde.


Prouver que si a et b sont positifs, alors :

L'étude des cordes vibrantes sera, jusqu'au 19e siècle, un des grands problèmes des physiciens et des mathématiciens (liées aux équations aux dérivées partielles) : Daniel Bernoulli, Euler, d'Alembert, Lagrange, Laplace, Poisson...

Un peu plus sur les notes de musique  :          Série harmonique :          Division harmonique :   

1.Trois nombres a, b et c sont en progression géométrique croissante: a < b < c; leur somme vaut 1,9 et leur produit 0,216. Quels sont ces nombres ?
 
Rép. : c'est un petit problème du second degré; a = 0,4 , b = 0,6 et c = 0,9; la raison est 1,5.

2. Une balle lâchée à 2,40 m de hauteur rebondit plusieurs fois avant de rouler sur le sol. si hn est la hauteur atteinte au n-ème rebond (avec ho = 2,4), on constate que hn égale sensiblement les 3/4 de hn-1. La balle cesse de rebondir lorsque la hauteur de rebond est inférieure à 2 mm. A combien peut-on estimer le nombre de rebonds ?  
Rép
: hn = 2,4 x (3/4)n. Il nous faut résoudre  hn 0,002 : n × log(0,75) - log(1200), d'où n 24,6. La réponse est donc 24 rebonds car le 25è sera strictement inférieur à 2 mm.

3.Triangle rectangle, hauteur et moyenne géométrique

4.Refroidissement d'un réacteur suite géométrique et approche de la fonction exponentielle

5.Contrat de location  suite arithmétique & géométrique, somme des termes, tableur

6.Intérêts composés  suite géométrique

7. Trapèze et moyenne harmonique


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