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Diagonales du parallélépipède rectangle et du cube     niveau 4ème

Voici un parallélépipède rectangle (grosse boîte d'allumettes...), plus simplement appelé pavé droit. Ses six faces sont des rectangles. Les faces opposées sont identiques.

Sa base OBCA est un rectangle de longueur OA = a, de largeur OB = b. Sa hauteur est OD = c.

Lorsque a = b, OBCA devient un carré. Si, de plus c = a, alors a = b = c et toutes les faces sont des carrés identiques : c'est un cube.

On demande de calculer la diagonale d = OM du parallélépipède en fonction de a, b et c et d'en déduire celle du cube.

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Solution :

  • En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OAC rectangle en A.
    On obtient OC2 = OA2 + AC2. D'où OC2 = a2 + b2.

  • En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OCM rectangle en C, on obtient OM2 = OC2 + CM2. D'où d2 = (a2 + b2) + c2.

Dans le cas du cube, a = b = c, la formule devient d2 = 3a2 = (3a)2 donc :

d = a3


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