ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PTOLÉMÉE Claudius, grec, 90-168

Né à Ptolémaïs (Haute-Égypte), d'où son nom, cet illustre astronome et géographe vécut à Alexandrie. Son œuvre magistrale, la Composition Mathématique (vers 150), treize livres, rebaptisé Megiste Syntaxis (le très grand traité), et l'Almageste par les Arabes (de al = le et megistos = très grand), est une vaste compilation des hypothèses et résultats obtenus à l'époque sur le mouvement des objets célestes que complète un traité de trigonométrie plane et sphérique basé sur la théorie des cordes.

   Portrait de Ptolémée issu du site spécialisé Iconographie du portrait de Ptolémée

Inspiré des travaux d'Hipparque, l'Almageste décrit un géocentrisme harmonieux cher à Aristote : la Terre, immobile, est le centre du monde autour de laquelle tournent circulairement et à des vitesses uniformes.

La théorie des équants :

   Le système de Ptolémée (Bibliothèque Nationale) - Cliquer pour agrandir 
On savait, depuis Hipparque qu'un système céleste circulaire, concentrique et uniforme ne rend pas compte des observations astronomiques. Afin de pouvoir corriger les anomalies constatées tout en préservant le principe d'uniformité, Ptolémée envisagea un modèle épicycloïdal selon Hipparque augmenté d'une double excentricité :

Une planète P décrit uniformément un petit cercle, son épicycle, autour d'un centre O décrivant lui-même autour de la Terre T, un autre cercle (d) de centre D, dit déférent et de plus grand rayon R (orbite principale de la planète) de sorte que si T' est le symétrique de T par rapport à D, point équant, et (e) le cercle de centre T' de rayon R, alors le point E décrit (e) uniformément. Dans ces conditions, c'est le mouvement de O autour de D et de T qui n'est plus uniforme.

 

Ci-dessus, à droite : Le système géocentrique d'Eudoxe et de Ptolémée dans une représentation datant du 18è siècle (Bibliothèque Nationale). On y trouve, selon Ptolémée et par ordre de distance croissante par rapport à la Terre : La Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter et Saturne.


Équants & animation :

Ce système complexe permet d'expliquer, vues de la Terre, les variations de vitesse et d'éloignement des planètes. Mais le modèle excentré, plus simple, reste à l'époque très satisfaisant : Kepler le remplacera d'ailleurs par des trajectoires elliptiques de très faible excentricité, donc équivalentes à des orbites circulaires excentrées.

Dans ce système, on rencontre tout d'abord la Lune, puis Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter et Saturne.

Rappelons que c'est à Copernic que l'on devra le retour (définitif) à un système héliocentrique que Pythagore avait pressenti.

Uranus, Neptune et Le Verrier, Pluton         

La planète Uranus fut découverte (1781) par l'astronome anglais William Herschel (1738-1822). Une nouvelle planète fut pressentie par l'astronome français Urbain Le Verrier (1811-1877) et l'anglais J. C. Adams (1819-1892) eu égard à des perturbations repérées dans les orbites des autres planètes (dont Uranus). Le Verrier se lança alors dans de puissants calculs qui durèrent deux ans et la planète, baptisée Neptune, fut effectivement découverte (observée) en 1846 par l'astronome allemand Johann G. Galle là ou Verrier l'avait prédite. Ce fut là une preuve magnifique de la cohérence des théories de la gravitation et des perturbations des orbites planétaires. Élu à l'Académie des sciences la même année, la Sorbonne créa à son intention une chaire de mécanique céleste qu'il occupa jusqu'à sa mort.

La découverte de Pluton est très récente : son existence fut décelée dans les mêmes conditions que Neptune par l'astronome américain Percival Lowell (1855-1916) et découverte par son assistant Clyde Tombaugh en 1930. Il n'y fait pas très chaud : -200° en moyenne...

Ossian Bonnet , Nasir ad-Din at-Tusi

Ce n'est qu'au 16e siècle que l'héliocentrisme de Copernic, pressenti deux millénaires auparavant par Pythagore, simplifiera le modèle et conduira Kepler à découvrir, après quelques errances géocentriques, les orbites elliptiques des planètes autour du Soleil dans un mouvement finalement non uniforme.

Hipparque avait, trois siècles auparavant, observé et classé un grand nombre de constellations (groupement d'étoiles, du latin cum = avec, et stella = étoile). Ptolémée compléta ses observations et la nomenclature des constellations de l'hémisphère nord (boréal) : il en répertoria 48. Raison pour laquelle, les constellations de l'hémisphère nord portent des noms relevant de la mythologie grecque. Celles de l'hémisphère sud furent observés bien plus tard (17è siècle), en particulier au cap de Bonne Espérance, par l'astronome français La Caille.

Un très beau théorème de Ptolémée (Almageste, Livre I, ch.9) :

Théorème :  

Dans un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés :

ACBD = ABDC + ADBC

          Preuve :

Ce résultat lui servit à établir des tables (longueurs de cordes de cercle en base 60) et des formules trigonométriques et permet en particulier d'obtenir la formule sin(a + b) = sin acos b + cos asin b :

Preuve  de cette formule : lorsque [AC] est un diamètre du cercle, notons E le symétrique de D par rapport au centre, a = ^DAC et b = ^BAC. Dans ces conditions : ^DEB = 180° - (a+b), les angles ^DAC, ^BAC et ^BED sont droits et on a : sin^DEB = sin[180° - (a+b)] = sin(a + b). Or, sin^DEB = DB/DE = DB/AC. On utilise alors la formule de Ptolémée au quadrilatère ABCD et on divise les deux membres de l'égalité par ACAC :

DB/AC = AB/ACDC/AC + AD/ACBC/AC

Avec les notations de la figure ci-contre, on obtient : sin(a + b) = cos bsin a + sin dcos c. Il 'agit bien de la formule recherchée car dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.

Points cocycliques :                       quadrilatère d'aire maximale
Ptolémée et l'usage du système sexagésimal (base 60) :

Ptolémée calcula, en base 60 (système de numération hérité des Babyloniens), au moyen de la mesure de cordes de cercles, ancêtres du sinus, et dont l'usage remonte à Hipparque, l'excellente approximation du rapport de la circonférence à son diamètre :

3 + 8/60 + 30/602

fournissant l'approximation 3,1416 pour le nombre π.

Le calcul de Ptolémée :              Calculs de π dans ChronoMath  :

L'usage de la base 60 (système sexagésimal) nous est resté aujourd'hui tant dans la mesure des angles que dans celle du temps :

   Hypsicles d'Alexandrie              Heures précises de coïncidence des aiguilles d'une montre :
 Ptolémée et la trigonométrie des cordes :

La trigonométrie d'Hipparque et de Ptolémée est très proche de la notre : sur le dessin de gauche, la corde de l'angle â est AB. Si nous notons d'une façon générale, cord(^x) la corde d'un angle ^x d'un cercle de rayon R, la corde interceptée par l'angle au centre de mesure 2â sera :

cord(2â) = 2R x sin(â)

Lorsque R = 1, notre sinus actuel est donc la demi-corde de l'angle double

Cette demi-corde fut introduite par l'indien Aryabhata au 5è siècle et adoptée par Al-Khwarizmi au 9è siècle. Le cosinus ne fut défini et utilisé que beaucoup plus tard par l'anglais Edmond Günter. On a :

cord(180 - â) = 2R x cos(â/2)

Prenons désormais R = 1, figure de droite, comme le firent ultérieurement les mathématiciens arabes comme Abu l'Wafa et Al-biruni; si â = ^AOA'; on a ^AOC = â/2 et BC = 2.

 

Connaissant la corde de l'angle â, on pouvait facilement calculer les cordes des angles correspondant à â/2 et 180° - â/2 en utilisant les simples propriétés des triangles semblables et des triangles rectangles. Par exemple, sur la figure de droite, la corde de â est AA', celle de â/2 est AC. 

Al Battani et les demi-cordes :


Ptolémée, fragment de la fresque de Raphaël : École d'Athènes, chambre de la signature - Vatican
 
Web Gallery of Art : http://www.wga.hu/frames-e.html?/html/r/raphael

Pour en savoir plus (théorie des cordes, tables de Ptolémée) :


Ménélaüs  Théon de Smyrne
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