ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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ARYABHATA (Arjabahr), indien, 476-550

Célèbre astronome, Aryabhata est aussi le premier grand mathématicien indien. Il vécut à Kusumpura (l'actuelle Patna) au nord-est de l'Inde et nous fut connu par un important traité, traduit en Europe au 19è siècle, appelé l'Aryabhatiya, écrit en sanscrit (la langue sacrée des brahmanes) en 499 et relatif à l'astronomie et aux mathématiques.

Contrairement à la doctrine géocentrique de Ptolémée alors répandue et héritée d'Aristote, selon laquelle la Terre est immobile au centre de l'univers, Aryabhata affirma la rotation de la Terre.

Dans son Aryabhatiya, Aryabhata décrit les algorithmes d'extraction des racines carrée et cubique, résout de difficiles équations diophantiennes par l'usage de fractions continues et fait usage d'un système décimal positionnel dont le graphisme est proche du notre et où l'usage du zéro apparaît implicitement. Le grand artisan de l'introduction de ce célèbre et fondamental symbole sera Brahmagupta, un siècle plus tard.

 ➔   Le premier mathématicien à avoir exhibé un algorithme d'extraction de la racine carrée fut Héron d'Alexandrie, 4 siècles auparavant. L'usage du système décimal, conforté par Brahmagupta un siècle et demi plus tard, sera un des vecteurs du développement des mathématiques arabes en matière d'arithmétique et d'algèbre.

Considérant un cercle de diamètre 20 000 unités, Aryabhata évalue sa circonférence à :

ce qui fournit la bonne approximation 62832/20000 = 3,1416 du rapport de la circonférence à son diamètre, c'est à dire notre actuel nombre π, notation due à l'anglais Oughtred en 1657, donc relativement récemment, et adoptée à partir de 1706 suite aux travaux de son compatriote Jones.

Ci-contre, la corde de l'angle â est AB. Si nous notons d'une façon générale, cord(^x) la corde d'un angle ^x d'un cercle de rayon R, la corde interceptée par l'angle au centre de mesure 2â sera :

cord(2â) = 2R × sin(â)

Lorsque le rayon du cercle est choisi comme unité (R = 1, de nos jours cercle trigonométrique), notre sinus actuel est alors la demi-corde de l'angle double.

En trigonométrie, dans son Aryabhatiya, il semble être le premier à faire usage de la demi-corde pour la mesure des angles et à en établir une table précise de 0 à 90°, par pas de 3°45' (soit 24 valeurs) en utilisant une circonférence de 21600 = 60 × 360 (pour un usage pratique de la base 60) pour un rayon de 3438 équivalent à π = 3,14136. D'autres valeurs de demi-cordes pouvant être approchées par interpolation linéaire.

Ptolémée caractérisait les angles par la corde AB. On voit que BH est la demi-corde associée à l'angle de mesure 2â. Ce terme de demi-corde fut utilisé avant l'adoption du terme sinus des traductions latines.

La trigonométrie des cordes chez Ptolémée : »

Depuis Al-Khwarizmi et Al-Battani (9è siècle), la demi-corde remplace définitivement la corde dans les calculs astronomiques. Le choix du rayon 1 sera initié par Abu al-Wafa.

Ci-dessous, un extrait d'une table des sinus "moderne", comme celle de J. Laborde édité par Dunod, en usage dans le bon vieux temps des années 1960/70 avant l'apparition des calculatrices de poche à bon marché...

 ➔  Pour en savoir plus :

1. L'algèbre d'Al-Khwarizmi et les méthodes indienne et grecque (dont Aryabhata), Léon Rodet, 1878
   sur le site Gallica : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995262

2. Leçons de calcul d'Aryabhata par Léon Rodet (1878) : https://www.hist-math.fr/textes/Aryabhata499_LeconsCalcul.pd

3. Extraction "à la main" de la racine carrée d'un nombre par Pierre Leyssenne (1827-1916, pages 110 et suvantes) :
    https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1417480/f109.item

4. L'algèbre arabe : Genèse d'un art, par Ahmed Djebbar, Éd. Vuibert/Adapt, Paris - 2005
5. Les mathématiques arabes du 8e au 15e siècle, Adolf P. Youschkevitch, Ed. Vrin - CNRS - Paris -1976

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Proclus  Eutocius d'Ascalon

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