ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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FIBONACCI Leonardo, italien, 1175?-1240?

De son vrai nom Léonard de Pise, dit Fibonacci (signifiant "fils de Bonaccio"), Leonardo est le fils d'un administrateur de la ville de Pise. Commerçant et grand voyageur, il parcourut l'Europe et les pays d'orient tout en s'imprégnant des mathématiques de son époque inspirées des mondes grecs, indiens et arabes.

Dans son Liber Abaci (Livre de calcul), publié en 1202, principalement consacré aux calculs commerciaux, il affine et résout des problèmes algébriques déjà rencontrés dans l'œuvre du mathématicien Al Khwarizmi.

Fibonacci fait grand usage des nombres dits "arabes" (système décimal positionnel), du calcul fractionnaire et de la méthode de résolution des équations, dite de fausse position. Il publiera aussi un traité de géométrie, Practica geometriae (1220), où il applique des méthodes algébriques à des problèmes géométriques et un traité sur le calcul des racines carrées et cubiques (Liber Quadratorum, 1225).

Le Liber Abaci est aussi un recueil de "petits" problèmes comme celui, resté célèbre, de la reproduction (prolifération...) des lapins :

Possédant au départ un couple de lapins, combien de couples de lapins obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ?

On est ainsi conduit à la célèbre séquence de nombres de Fibonacci, définie de nos jours en tant que suite numérique récurrente :

uo = u1 = 1, et pour tout n : un+2 = un + un+1

{un, 0  ≤ n ≤ 19} =  {1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233
                               377 , 610 , 987 , 1597 , 2584 , 4181 , 6765,...}

En poussant les calculs, on constate que la suite (vn) des quotients un+1/ un semble converger rapidement vers un nombre voisin de 1,6180 : u13/u12 = 1,618055..., u19/u18 = 1,6180339, un résultat remarqué par Kepler. Effectivement, on peut démontrer que (vn) converge vers un nombre souvent noté Φ, baptisé nombre d'or :

 

Identité de Cassini :    

Si on considère trois termes consécutifs a, b, c, le carré a2 du terme médian et le produit bc des termes extrêmes diffère de ±1. Par exemple si (a, b, c) = (3, 5, 8), on a 52 - 38 = 1. Il apparaît ainsi que :

un2 - un-1un+1 = (-1)n                    Preuves : Cassini Jean-Dominique

Étude de la célèbre suite, calcul des un :                Calcul JavaScript récursif des un :

La section dorée (divine proportion) et le nombre d'or :

Le nombre d'or peut être défini par une propriété remarquable : considérons un rectangle de dimensions L sur c , ôtons-lui le carré de côté KB = c. Il apparaît un rectangle, colorié ci-dessous en jaune.

Notre rectangle est dit vérifier la divine proportion (appellation due à Pacioli) si le rectangle jaune est de même proportion que le rectangle initial (égalité des rapports largeur/longueur).

C'est à dire, avec les notations de la figure si et seulement si :

                                           

On parle aussi de rectangle d'or. Si, dans le rectangle jaune, vous "ôtez" le carré de côté AK, vous obtiendrez encore un rectangle d'or. La divine proportion (Luca Pacioli) ou section dorée (Léonard de vinci) est le nombre s = /L qui s'avère donc vérifier la relation : s = 1/s - 1 :

 La section dorée est la solution positive de l'équation s2 + s - 1 = 0 :

 

L'inverse de la section dorée est le nombre d'or, Il est généralement noté Φ ou parfois τ (tau), du grec tomê = section, et il vérifie donc Φ = 1/s = s + 1 = 1/Φ + 1 :

 Le nombre d'or est la solution positive de l'équation x2 - x - 1 = 0 :

  Noter que la seconde solution de l'équation x2 - x - 1 = 0 n'est autre que - s = -1/Φ, quantité conjuguée de Φ (et conjugué de au sens des nombres algébriques).

Sur la figure ci-dessus le point K réalise la section dorée du segment [AB]. Euclide parla plus modestement de partage en moyenne et extrême raison :

Φ = KB/KA = AB/KB, s = KA/KB = KB/AB

Le segment [AB] étant aussi le segment [BA], il y a en fait deux points de ce segment réalisant la section dorée : le point K' symétrique de A par rapport au milieu de [AB] réalise la section dorée de sorte que K'A/K'B = AB/KA = Φ.

Construction de K à la règle et au compas :  

Quelques égalités pratiques dans les calculs :    


I
Montrer que les côtés d'un triangle rectangle sont en progression géométrique de raison q si et seulement si q = Φ ou q =1/Φ

II
a)  Montrez que les puissances successives de
Φ et de - 1/Φ (conjugué de Φ) forment des "suite de Fibonacci",
c'est à dire des suites récurrentes du type pn+2 = pn + pn+1. Évaluer dans chaque cas les 2 premiers termes.
b)  On pose
wn = Φn + (-1)
nn. Montrer que (wn) est une suite d'entiers naturels formant également une "suite de Fibonacci".

Autres propriétés remarquables de Φ :              Équirépartition modulo 1 de nombres réels :

Le nombre d'or se retrouve dans les angles et côtés de polygones ou polyèdres réguliers :

Les Pythagoriciens montrèrent un certain enthousiasme à l'égard de ce nombre irrationnel, de quoi combler leur déception devant l'existence des nombres incommensurables, car ils firent du pentagone régulier croisé l'emblème de leur secte :


Pourriez-vous calculer le rapport des aires des pentagones réguliers convexes ABCDE et FGHIJ ?  Rép : ici

Spirale de Fibonacci, spirale d'or :                    Pavages de Penrose :                    Triangles d'or

Le célèbre Parthénon d'Athènes semble vérifier, dans sa façade en particulier, fronton compris, la section dorée : Longueur/Largeur ≈ 7,45/4,6  ≈  Φ. Là n'est pas le seul endroit où Φ serait présent...

Considérations sur le nombre d'or et la section dorée :

  Nombre d'or et pyramide de Kheops , Nombre d'or et fraction continue

Pour en savoir plus :


Bhaskara  Al Tusi
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