ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 FIBONACCI Leonardo,
italien, 1175?-1240? |
De son vrai nom Léonard de
Pise, dit Fibonacci (signifiant "fils de Bonaccio"), Leonardo est le fils
d'un administrateur de la ville de Pise. Commerçant et grand
voyageur, il parcourut l'Europe tout en s'imprégnant des mathématiques de son
époque inspirées des mondes grecs,
indiens et
arabes.
Dans son Liber Abaci (Livre de calcul), publié en 1202, principalement consacré aux calculs commerciaux, il affine et résout des problèmes algébriques déjà rencontrés dans l'œuvre du mathématicien Al Khwarizmi.
Fibonacci fait grand usage des nombres dits "arabes" (système décimal positionnel), du calcul fractionnaire et de la méthode de résolution des équations, dite de fausse position. Il publiera aussi un traité de géométrie, Practica geometriae (1220), où il applique des méthodes algébriques à des problèmes géométriques et un traité sur le calcul des racines carrées et cubiques (Liber Quadratorum, 1225).
Le
Liber Abaci est aussi un recueil de "petits" problèmes comme
celui, resté célèbre, de la reproduction
(prolifération...) des lapins :
Possédant au
départ un couple de lapins, combien de couples de lapins
obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un
nouveau couple à compter du second mois de son existence ?
On est ainsi conduit à la célèbre suite de Fibonacci :
{un, 0 ≤ n ≤ 19} = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,...}
En poussant les calculs, on constate que la suite (vn) des quotients un+1/ un semble converger rapidement vers un nombre voisin de 1,6180 : u13/u12 = 1,618055..., u19/u18 = 1,6180339. Effectivement, on peut démontrer que (vn) converge vers un nombre souvent noté Φ, baptisé nombre d'or :
| La section dorée (divine proportion) et le nombre d'or : |
Le nombre d'or peut être défini par une
propriété remarquable : considérons un rectangle de dimensions L
sur
, ôtons-lui le carré de côté KB =
.
Il apparaît un rectangle colorié ci-contre en jaune.
Notre rectangle est dit vérifier la divine proportion (appellation due à Pacioli) si le rectangle jaune est de même proportion que le rectangle initial (égalité des rapports largeur/longueur). C'est à dire, avec les notations de la figure si et seulement si :
On parle aussi de rectangle d'or.
Noter que la relation précédente est équivalente à
L2 -
2
=
L
Le rectangle
jaune est lui-même un rectangle d'or. On vérifiera en effet sans peine que ses
longueur et largeur
et L -
vérifient la divine proportion :
2
- (L -
)2
=
(L -
).
Maintenant, si vous "ôtez" au rectangle jaune le carré de côté AK,
vous obtiendrez encore un rectangle d'or, etc.
La divine proportion ou
section dorée (étude ci-après) est
le nombre s =
/L qui
s'avère donc vérifier la relation : s = 1/s
- 1, soit : s2
+ s - 1 = 0, ce qui peut s'écrire (s + 1/2)2
- 5/4 = 0, soit s + 1/2 = ±
5/2.
La section dorée est la solution positive de cette équation, c'est à dire :
Son inverse 1/s, qui égale s + 1, est le nombre d'or, noté généralement Φ, de valeur :
Vu que 1/s = s + 1, Φ vérifie l'équation Φ = 1/Φ + 1, soit Φ2 - Φ - 1 = 0 et on a Φ = 1,618034 à 10-6 près.
La section dorée, inverse du nombre Φ est donc aussi Φ - 1. Sur la figure ci-dessus, c'est KA/KB (= KB/AB). On dit aussi que le point K réalise la section dorée du segment [AB].
Montrez que les puissances successives de
Φ
forment une suite de Fibonacci de premiers termes 1 et
Φ.
Spirale de Fibonacci, spirale d'or :
| Construction d'un rectangle d'or à la règle et au compas, AB = a est une mesure arbitraire : |
| La section dorée était connue depuis l'Antiquité : |
Euclide appela plus modestement partage en moyenne et extrême raison la fameuse section qui intervient dans la construction du pentagone régulier (Livre VI, définition 3) :
« Une droite est dite coupée en extrême et
moyenne raison lorsque la droite entière
est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit »
Par
raison, Euclide
entend le rapport
entre deux grandeurs : « les grandeurs qui ont la même raison sont dites
proportionnelles ».
L'extrême raison est KB/AB, la moyenne raison est KA/KB.
Ce partage fait l'objet des 9 premières propositions du livre XIII qui introduisent l'étude des (cinq) polyèdres réguliers dits de Platon. Ce livre ultime se termine par :
Je dis aussi qu'excepté les cinq figures dont nous venons de parler, on ne peut pas construire une autre figure qui soit contenue sous des figures équilatérales et équiangles.
Construction de la
section dorée selon
Euclide , Triangle
d'or...
Bien auparavant encore, outre le triangle égyptien (triangle rectangle de côtés 3, 4, 5) et le triangle équilatéral, les égyptiens faisaient usage, selon Hérodote, d'un triangle isocèle dont la hauteur JS est établie en tant que nombre partageant la base en moyenne et extrême raison :
|
Vérifier
que si AB = a, et h = JS, alors
|
Construction de la section dorée
Les Pythagoriciens montrèrent un certain enthousiasme à l'égard de ce nombre irrationnel -de quoi combler leur déception devant l'existence des nombres incommensurables- car ils firent du pentagone régulier croisé l'emblème de leur secte.
Nombre
d'or et pyramide de KheopsNotons enfin que le nombre d'or se retrouve dans les mesures d'angles ou de côtés liés aux polygones ou polyèdres réguliers. Dans le cas du pentagone régulier :
Penrose
Nombre
d'or et fraction continue
| Compléments sur la section dorée (la sectia aurea de Léonard de Vinci) : |
Le célèbre Parthénon
d'Athènes semble vérifier, dans sa façade en particulier, fronton compris, la
section dorée. Certains retrouvent cette proportion à foison dans les caissons de la frise,
dans le rapport hauteur totale/hauteur fronton, etc. Peu convaincant compte tenu
des multiples possibilités de prendre les mesures. D'autant que rechercher un
rapport connu, ça aide ...
La
pyramide de Kheops,
selon Hérodote, et des cathédrales gothiques comme celle de Reims ou de Metz seraient
aussi concernées. On peut lire par exemple, dans une
revue pédagogique fort sérieuse, un article paru en 1978, et intitulé Le nombre d'or en mathématiques, dans la nature et dans
la cathédrale de Metz, où l'on trouve
l'argument suivant
:
« le carré du transept est un rectangle de 17m sur 16m. Le rapport du grand au petit côté est 17/16, voisin de 1,062. Or, un rectangle dont un tel rapport est 1,05 est un rectangle lié à Φ de la façon suivante : son petit côté correspond au côté d'un pentagone régulier étoilé inscrit dans un cercle dont le diamètre correspond au grand côté du rectangle en question ».
On s'arrange bien avec les nombres
d'approximation en approximation... L'architecte de cette magnifique cathédrale aurait pu
choisir 16,8m pour la longueur, on aurait eu pile poil 1,05 !!! Mais que vient
faire le pentagone régulier croisé dans cette affaire ? Le rapport
exact en question est :
Il s'agit de 2r/AC lorsque r désigne le rayon du cercle circonscrit. On pourra calculer ce rapport à partir de la connaissance du côté c5 du pentagone régulier convexe :
Et la suite de l'article se poursuit avec
d'autres approximations où
Φ serait encore présent. Tout cela n'est pas
très sérieux.
On l'a bien compris, le nombre d'or peut se retrouver absolument partout même
(et surtout) quand il n'y est pas !
Au fait, j'ai
remarqué, sur l'écran de mon PC portable, que si je divise la longueur de ma
fenêtre de travail par sa hauteur, sans compter la barre d'ascenseur horizontal,
le rapport fait 1,63. Pas loin du nombre d'or !!! Bill Gates est vraiment
trop fort... Ma belle télé 16/9 à écran LCD (pas de chance pour ce rapport ce
n'est pas Φ !),
mesure 103 cm sur 64. Ce qui me donne un rapport de 1,609375. Vous ne voyez pas
Φ dans ce rapport ??? Vous êtes vraiment de mauvaise foi : la mesure 103 est à
5 mm près. D'où le rapport 103,5/64 = 1,6171875 ≈
Φ. CQFD.
A propos de l'appellation Φ, certains spécialistes affirment Φ comme Phidias, en l'honneur du sculpteur grec à qui l'on doit, en grande partie, les bas et hauts-reliefs des frises du Parthénon à Athènes. Mais pourquoi pas Φ comme Fibonacci ou encore I comme Ictinos, l'architecte en chef du temple, qui, plus que Phidias, a choisi les proportions du célèbre bâtiment ?
On peut, il est vrai, estimer harmonieuse cette proportion plus instinctive que mythique, voire mystique comme certains, dont Pacioli, pensent, ou pensaient, pouvoir l'affirmer.
Plusieurs
expériences en classe ont permis de confirmer cette approche instinctive d'une
proportion "bien équilibrée"... : si vous êtes enseignant, demandez à vos élèves
de tracer un rectangle instinctivement à main levée, sur feuille non quadrillée. Ramassez
les feuilles : un grand nombre frôle le rapport longueur/largeur = 1,6 et la
moyenne de ces rapports est plus proche de 1,6 que de 1,5. Mais là encore, pas
de conclusion hâtive...
Léonard
de Vinci (1452-1519), peintre, géomètre et ingénieur italien, s'intéressa
beaucoup à la section dorée (sectia aurea).
Empruntant au grand architecte romain Vitruve à propos des
harmonieuses proportions du corps humain, il la
retrouve dans le rapport idéal entre la taille et la mesure des pieds au nombril
... Notons d'ailleurs que Vitruve, à ma connaissance,
ne se réfère pas au nombre d'or dans ses constructions.
Il semble que la section dorée soit également présente chez Raphaël
(Raffaello Sanzio, 1483-1520) qui influença le français
Nicolas Poussin (1595-1665) où la section
dorée apparaît dans son
tableau des Bergers d'Arcadie.
Enfin, d'aucuns affirment également que la nature affectionne tant le nombre d'or que les termes de la suite de Fibonacci :
disposition des feuilles en hélice (circulaire) sur une tige;
enroulement en spirales alternées des pommes de pin;
de l'écorce d'ananas ou des graines de tournesol : les nombres de spirales dans un sens et dans l'autre seraient approximativement deux termes consécutifs de la fameuse suite, etc.
Mais, il y a bien plus de mystère (et d'intérêt à apporter) dans le subtil et magnifique nombre transcendant p, qui semble régir toutes les sciences et l'harmonieuse machine céleste et qui est lié au nombre e, base des logarithmes népériens, par la si belle formule d'Euler :
eip + 1 = 0
à propos de laquelle Tobias Dantzig écrivit qu'elle exprime l'union mystérieuse de l'arithmétique (0 et 1), de l'algèbre (i), de la géométrie (π) et de l'analyse (e).
Pour en savoir plus
:
Le nombre d'or foisonne sur la toile. On y trouve le pire et le meilleur dans une alchimie à tendance scientiste et philosophico-religieuse qui ont dû énerver le regretté Martin Gardner... Les vidéos (tapez nombre d'or dans You Tube) consacrées au célèbre nombre sont innombrables et trop souvent abordées avec subjectivité. Pour éviter tout malentendu, je n'en citerai aucune à l'exception de Wikipedia dont l'article étudie le problème de façon objective et critique.
Al
Tusi
Étude de la célèbre suite :
