ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les différents systèmes de numération - base d'un système
    Système positionnel & système additionnel
    exercices tout au long de la page         base 20, base 60 , système binaire et hexadécimal

Notre système décimal actuel, de base 10, utilise les chiffres de 0 à 9, dits arabes, mais d'origine indienne. Ces chiffres ne furent introduits en Europe que vers l'an 1000.

Utilisés en Inde, ils furent transmis par les Arabes au monde occidental par le pape Gerbert d'Aurillac lors de son séjour en Andalousie à la fin du 9è siècle et leur graphisme a beaucoup évolué.

Les notations actuelles sont très semblables aux chiffres arabes dits occidentaux (Afrique du Nord) en usage dès le 15è siècle. Les chiffres arabes (ci-dessus) dits orientaux (Moyen-Orient : Égypte, péninsule Arabique, pays du golfe Arabo-Persique, ...) sont différents et encore utilisés.

Le mot français chiffre est une déformation du mot arabe sifr désignant zéro. En italien, zéro se dit zero, et serait une contraction de zefiro (source : dictionnaire étymologique Larousse) on voit là encore la racine arabe. Ainsi nos termes chiffre et zéro ont la même origine.


Ci-dessus : Le Caire, un panneau indiquant  route des pyramides à 4 km : cherra el haram 4 ( ) km.
 
Notre système décimal positionnel :

L'usage précoce d'un symbole numérique désignant "rien" -au sens de "aucune quantité" ou "absence de quantité", c'est à dire notre zéro, provient du fait que les Indiens utilisèrent un système positionnel.

Notre système actuel est décimal (dix chiffres) et positionnel : la position d'un chiffre dans l'écriture d'un nombre exprime la puissance de 10 présente et le nombre de fois qu'elle intervient. L'absence d'une puissance est notée par un petit rond... : c'est le zéro.

  10 (dix) signifie 9 + 1 unités : une (1) dizaine et aucune unité (0)
  100 (cent) signifie dix dizaines (10 x 10) : une centaine; on écrit aussi 102 (10 puissance 2)
  1000 (mille) signifie dix centaines (10 x 100) : un millier; on écrit aussi 103 (10 puissance 3)

On parle aussi de système à base 10. On peut envisager d'autres bases. Les notations 101 pour 10 et 100 pour 1 sont conventionnelles et s'expliquent pour des raisons opératoires :

Exercice 1 : En écrivant les nombres de 1 à 100, combien écrit-on le chiffre 9 ?
      
Exercice 2 : Un nombre de 3 chiffres est impair; en lui enlevant son chiffre des centaines et en multipliant le nombre obtenu par 9, on le retrouve ! Quel est donc ce nombre ? (il y a en fait deux solutions).

Exercice 3-1 : Je suis un nombre inférieur à 1000 et je m’écris avec 4 chiffres. Mon nombre de dizaines est 34 et je me termine par 6. En ajoutant mon chiffre des dizaines à celui de mes dixièmes, tu trouveras le double du chiffre de mes unités.

 Exercice 3-2 : Un nombre entier de 5 chiffres, commençant par 3, possède la propriété suivante : si on déplace le 3 en dernière position (en chiffre des unités), alors on obtient un nombre augmenté de 29205. Quel est le nombre initial ?

Réponses ,  Autres exercices sur ce thème , colle logique... (suite de Conway)

Un système additionnel : celui des Egyptiens de l'Antiquité :              Égypte ancienne

Un tel système ne requiert pas un symbole « zéro » : le résultat est la somme des nombres représentés par des pictogrammes (petits dessins hiéroglyphiques). Les plus simples furent :

On écrivait de droite à gauche en finissant par les unités. Les Egyptiens affectionnaient les fractions unitaires (de la forme 1/n), ils les écrivaient au moyen d'un signe ovale au-dessus de l'écriture du nombre n. Et pour exprimer certaines mesures de capacité et de volumes, ils utilisèrent une curieuse symbolique : les éléments de l'oeil d'Horus, dieu du ciel...


 Exercice 4 : comment s'écrirait, avec ces symboles, notre nombre décimal 324 ?      Réponse

 Plutôt que les hiéroglyphes, les scribes utilisaient une écriture cursive plus sophistiquée, dite hiératique :

Un système additionnel devient très vite inutilisable pour gérer de grands nombres ou des nombres non entiers. Pour cette raison les Egyptiens manipulèrent avec brio les fractions et les décompositions de fractions en fractions élémentaires, dites unitaires : le numérateur étant 1.

Un autre système additionnel : celui des Grecs de l'Antiquité :                Grèce ancienne

Le système domestique et commercial utilisé par les anciens Grecs était décimal et additionnel. Ils se servaient de lettres, éventuellement accentuées, et de signes complémentaires : il fallait de nombreux symboles et un codage savant pour comprendre la valeur représentée.

Certains nombres avaient droit à des caractères spéciaux comme 900 (sampi). Pour distinguer un nombre d'un mot, on le surlignait. Comme on le voit ci-dessus pour le nombre 1000, la présence d'une sorte de virgule désignait une multiplication par 1000; autre exemple : ,ß = 2000. Pour exprimer une fraction unitaire, on ajoutait un "prime" à droite du nombre; par exemple, ß' = 1/2. Dans ce système additionnel :

12 s'écrit iß :  10 (i) suivi de 2 (ß), signifiant 10 + 2

Ces écritures engendraient de nombreuses ambiguïtés que le contexte était censé lever. Pour effectuer des calculs commerciaux, ils utilisaient des abaques.

Le système positionnel sexagésimal (base 60) des Babyloniens et des scientifiques de l'Antiquité :

Les calculs astronomiques, comme ceux de Hipparque ou  Ptolémée se faisaient en base 60, à la manière des Babyloniens : leur écriture cunéiforme (c'est à dire en forme de coins) , frappée dans l'argile, utilisaient un système positionnel de base 60, qu'utilisèrent les mathématiciens Indiens et Arabes pour leurs calculs trigonométriques.

L'usage de la base 60 avait l'avantage de posséder de nombreux diviseurs, donc de faciliter les opérations de partage (division) :                       tablette Plimpton 322

60 = 22 x 31 x 51

60 possède donc (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 diviseurs. Leur ensemble est :

D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 

Par exemple, 5112 (dans notre écriture décimale de base 10), se décompose en : 1 x 602 + 25 x 60 + 12 , soit : (1,25,12).

L'unité (1) et la base (60) étaient représentées par le même symbole (forme de clou : signes 1) et 10 par un chevron (signes 2); suivant le support, la frappe et le scribe, on rencontre des variantes d'écriture :

On séparait les puissances de 60 par un double chevron ou, plus simplement, selon le scribe, par un espace. Le contexte devait éviter toute confusion malgré l'absence du concept de « zéro ».

On utilise aujourd'hui pour le traitement électronique de l'information (langages informatiques) les systèmes :

  • binaire (base 2 : les chiffres sont 0 et 1); dans un tel système notre 2 s'écrit 10, mais il faut lire un-zéro et non dix !

  • octal (base 8 : les chiffres sont 0,1, ...,7) : en désuétude compte tenu des processeurs 32 bits des ordinateurs modernes; on lui préfère le système :

  • hexadécimal (base 16 : les chiffres sont alors 0,1 , ..., 9, A, B, C, D, E, F) : par exemple, FA2B en base 16 signifie :

B + 2 x 16 + A x 162 + F x 163

A, B et F représentant respectivement 10 et 15 de la base 10; donc FA2B(16) = 64043(10).

En savoir plus sur le système binaire :   ,    le système hexadécimal :

Comment décomposer rapidement un nombre N en base b quelconque ? Facile... :

  • Effectuer la division euclidienne de N par b; vous obtenez un quotient Qo et un reste ro;

  • Effectuer la division euclidienne de Qo par b; vous obtenez un quotient Q1 et un reste r1;

  • Continuer ainsi les divisions euclidiennes des quotients successifs par b; Après un certain nombre de divisions, le quotient devient nul.

  • Vous avez obtenu les restes ro , r1 , ... , rn ?

  • L'écriture en base b de N est alors : rn .... r1 ro

En effet, suite à vos divisions, vous avez N = bQo + ro , Qo = bQ1 + r1 , Q1 = bQ2 + r2 , Qn-2 = bQn-1 + rn-1 , ..., Qn-1 = b x 0 + rn, = rn . Par suite :

N = bQo + ro = b(bQ1 + r1) + ro
    = b2Q1 + br1 + ro = b2(bQ2 + r2) + br1 + ro
     = b3Q2 + b2r2 + br1 + ro
     = ...
    = bn-1Qn-2 + ... + b2r2 + br1 + ro
    = bn-1(brn + rn-1) + ... +b2r2 + br1 + ro
     = bnrn + bn-1rn-1 + ... +b2r2 + br1 + ro


Exemple : Écrire 1632 (base 10) en base 5


1632 base5 = 23012


Exercice 5 : un nombre n s'écrit "4a32" en base 5; à quelle condition sur a est-il divisible par 2 ?
Exercice 6 : comment s'écrirait, avec ces symboles, notre nombre décimal 5112 ? 
 Réponses

La numération romaine :

Ce système fut très particulier et totalement inadaptée à des calculs même élémentaires ! C'est un système décimal. Les symboles principaux sont I, X, C et M (1, 10, 100 et 1000), les symboles secondaires sont V, L et D (multiples de 5) :

1
5
10
50
100
500
1000
I
V
X
L
C
D
M

Pour leur calculs les romains utilisaient des casiers réunis en damier dans lesquels ils plaçaient de petits cailloux pour désigner les unités, dizaines, centaines, etc.

De cette technique romaine, nous est resté le mot calcul (calculus = petit caillou). Cette numération est additionnelle car la valeur du nombre écrit est obtenue par somme ou soustraction des caractères juxtaposées.

Par exemple, avec ce système :

  • 9 s'écrit IX, soit 10 - 1

  • 24 sécrit XXIV : 10 + 10 + 5 - 1

Il n'est pas autorisé d'écrire un symbole du groupe secondaire ou plusieurs symboles du groupe principal à gauche d'un symbole plus grand : cette règle exclut toute ambiguïté d'écriture. Plus de trois symboles consécutifs identiques sont également illégaux (en fait, ces améliorations datent du moyen âge, tout comme le M pour désigner 1000).

1995 s'écrit : MCMXCV

L'écriture MCMVC étant illégale. De même MCMLXXXXV. Pour les très grands nombres, une barre supérieure, signifiant une multiplication par 1000, permettait de les écrire :

 

Une double barre signifiait une multiplication par 1 000 000.

I

II

III

IV

V

1

2

3

4

5

VI

VII

VIII

IX

X

6

7

8

9

10

XI

XII

XIII

XIV

XV

11

12

13

14

15

XVI

XVII

XVIII

XIX

XX

16

17

18

19

20

DCCLIII

CDLXXVI

DVI

MCDLIII

cf. ci-dessus

753

476

506

1453

1995

Ces nombres ne sont utilisés aujourd'hui que pour paginer (numérotation d'une table des matières) ou pour écrire certaines dates sur des bâtiments (certains trouvent cela plus joli...).

 
Exercice 7 : écrire, avec ce système, les nombres 5112  et  3774.          Réponse :

Le système vigésimal des Mayas :

La civilisation Maya s'étale dans le temps sur environ 3000 ans de 1600 avant J.-C. à 1500 et, géographiquement, entre les deux Amériques : Yucatan (sud du Mexique), Guatemala, Honduras.

  Mexique, emprunté à http://www.welt-atlas.de/html/frame.htm

Les Aztèques occupèrent les territoires plus au nord (du Mexique actuel). Leur système de numération était hiéroglyphique.

L'empire Maya, constitué de grandes cités fédérées, disparut à la suite des invasions espagnoles. La science des anciens Mayas est principalement astronomique et architecturale.

Leur écriture était de type hiéroglyphique et leur système de calcul était positionnel, de base 20, car ils comptait avec les mains et les pieds : 10 doigts et 10 orteils : système vigésimal (à quelques irrégularités près, voir ci-dessous...). Ce système s'appliquait aux calendriers  fondés sur les observations des prêtres astronomes :

   l'année solaire civile comptait 360 jours + 5 : 20 x 18 + 5. L'adjonction de 5 jours s'avérait nécessaire eu égard aux observations astronomiques. 
   L'année sacrée des prêtres, année vénusienne, comptait 260 jours vénusiens : 20 x 13 correspondant au temps de révolution de Vénus autour du Soleil.

Ci-contre les "chiffres" de 1 à 19 du système maya : les symboles utilisés étaient limités à un point  ( : l'unité) répété jusqu'à 4 fois et un trait  ( : 5 unités). On écrivait verticalement de haut en bas par puissances décroissantes de 20. En fait, pas tout à fait car par respect pour l'année solaire, ils utilisaient dans la décomposition 20 x 18 au lieu de 202 = 20 x 20, mais les puissances suivantes s'obtenaient par multiplication par 20. Cherchons à écrire, par exemple, 8527 :

8527 = 7200 + 1327 = 7200 + 3 x 360 + 247 = 1 x 7200 + 3 x 360 + 12 x 20 + 7

18 x 204 18 x 203 18 x 202  18 x 20  (au lieu de 202) 201 unités
... 144000 7200 360 20 1 à 19
/// /// 1 3 12 7

8527 (base 10 usuelle) =    (base vigésimal maya)

Si une puissance de 20 venait à manquer, les Mayas utilisaient un symbole spécifique, équivalent au zéro arabo-indien qui est aujourd'hui le nôtre : haut de page , Brahmagupta. Ce signe ressemble à une petite coquille; les historiens y voient aussi le symbole d'un oeil entrouvert :

Voici quelques nombres où ce symbole apparaît :

20 100 ???  ??? Réponses

clic...
 
Réponses aux exercices

e1/ on écrit 20 fois le chiffre 9; si vous avez répondu 10 ou 11, vous avez sans doute oublié 91, 92, 93, ...,99 !

e2/ le chiffre des unités doit être 5 car 9 x 5 = 45 se termine par 5 et 9 x 0 = 0 est à rejeter puisque le nombre est impair. Dans cette multiplication, on retient 4 qui s'ajoute au chiffre des dizaines; en écrivant la table de 9 et ajoutant 4 au chiffre des unités obtenus, on obtient deux cas possibles pour le chiffre des dizaines :

  • 2 car 9 x 2 = 18 et 8 + 4 = 12

  • 7 car 9 x 7 = 63 et 3 + 4 = 7

ce qui conduit à deux solutions : 225 et 675.

e2/ le chiffre des unités doit être 5 car 9 x 5 = 45 se termine par 5 et 9 x 0 = 0 est à rejeter puisque le nombre est impair. Dans cette multiplication, on retient 4.

e3-1/ Le nombre est au moins égal à 340 puisqu'il contient 34 dizaines. Comme il est inférieur à 1000 et s'écrivant avec 4 chiffres, il n'est pas entier et s'écrit avec un chiffre après la virgule qui sera le 6, soit : 34?,6. Le chiffre des dizaines est 4, 6 + 4 = 10, le chiffre des unités est donc 5. Rép : 345,6.

e3-2/ Le problème revient à une soustraction à trous : a b  c d 3 - 3 a  b c d = 29 205. Rép. : 36 578.

e4/ 324 représente 4 unités, 2 dizaines et 3 centaines, il s'écrirait alors :

 

e5/  Le nombre n s'écrit 4 x 53 + a x 52 + 3 x 5 + 2, soit n = 517 + 25a. Les entiers 517 et 25 sont impairs, pour que n soit divisible par 2, il faut que 25a soit impair, donc que a soit impair; donc a = 1 ou a = 3 ( a n'excède pas 4 en base 5).

e6/ 5112 s'écrirait :

e7/ 5112 et 3774 s'écriraient respectivement :

e8/ Numération maya :

= 1800                       = 435961

Pour en savoir (beaucoup) plus : les livres et les sites sur la numération des anciennes civilisations sont très nombreux. Citons en particulier :

© Serge Mehl - www.chronomath.com