ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les différents systèmes de numération - base d'un système     Système positionnel & système additionnel     » Numération romaine | Numération grecque antique | Égypte ancienne | Système vigésimal (base 20) | Système sexagésimal (base 60)          Système binaire et hexadécimal | Système binaire et codage informatique

Notre système décimal actuel, de base 10, utilise les chiffres de 0 à 9, dits arabes, mais d'origine indienne. Utilisés en Inde dès le 5è siècle, ils furent progressivement adoptés par les astronomes et algébristes Arabes qui privilégiaient le système sexagésimal des astronomes grecs de l'Antiquité, Ptolémée en particulier, et transmis au monde occidental par l'intermédiaire du pape Gerbert d'Aurillac lors de son séjour en Andalousie vers l'an 1000.

Les chiffres indiens

» Aryabhata , Brahamgupta

Nos chiffres actuels sont très semblables aux chiffres arabes dits occidentaux (Maroc, Andalousie) en usage dès le 11è siècle.

Les chiffres arabes "occidentaux"

Les chiffres arabes ci-dessus dits orientaux (Moyen-Orient : Égypte, péninsule Arabique, pays du golfe Arabo-Persique, ...) sont différents et encore utilisés :

Les chiffres arabes "orientaux"

Ci-dessous, un panneau dans la ville du Caire (Égypte) indiquant route des pyramides à 4 km :

Cherra el haram 4 ( ) km.

Le mot français chiffre est une déformation du mot arabe sifr désignant zéro. En italien, zéro se dit également zero, et serait une contraction de zefiro (source : dictionnaire étymologique Larousse) on voit là encore la racine arabe. Ainsi nos termes chiffre et zéro ont la même origine.

L'usage précoce d'un symbole numérique désignant "rien" au sens de "aucune quantité" ou "absence de quantité", c'est à dire notre zéro, provient du fait que les Indiens utilisèrent un système positionnel.

Notre système actuel est décimal (dix chiffres : 0, 1, 2, ..., 8, 9). On parle de système de base 10. Ce système est positionnel : la position d'un chiffre dans l'écriture d'un nombre exprime la puissance de 10 présente et le nombre de fois qu'elle intervient. L'absence d'une puissance est notée par un petit rond... : c'est le zéro.

I - Écriture (codage) d'un entier naturel :     

• 10 (dix) signifie 9 + 1 unités; étant supérieur à 9, ce n'est pas un chiffre, c'est un nombre : une 1 dizaine et aucune unité (0).
• 11 (onze) signifie 10 + 1 unités : autrement dit une 1 dizaine et une 1 unité.
• 12 (onze) signifie 10 + 2 unités : autrement dit une 1 dizaine et deux unités 2.
• ...
• 100 (cent) signifie dix dizaines (10 × 10) : autrement dit une 1 centaine, aucune dizaine (0), aucune unité (0).  C'est aussi 10² (10 puissance 2).
• 123 (cent vingt trois) signifie 100 + 2 × 10 + 3 : autrement dit une 1 centaine, deux dizaines (2), trois unités (3).
• ...
• 1000 (mille) signifie dix centaines (10 × 100) ou 100 dizaines (100 × 10) : autrement dit 1 millier, 0 centaine, 0 dizaine, 0 unité.
   On écrit aussi 10³ (10 puissance 3).

 ➔  Les écriture 10¹ = 10 et 10⁰ = 1 sont conventionnelles et s'expliquent pour des raisons opératoires :

Puissances d'un nombre, exposant, règles de calcul : »

• Le nombre 324 s'écrit de gauche à droite comme étant trois centaines : 3 x 10², auxquelles s'ajoutent deux dizaines : 2 x 10¹ et quatre unités : 4 x 10⁰.

• 304 signifie 3 centaines, aucune dizaine complémentaire : 0 (zéro) dizaine, mais 4 unités.

• 300 signifie 3 centaines, aucune dizaine ni unité complémentaire : 0 dizaine, 0 unité :

  

∗∗∗
1. En écrivant les nombres de 1 à 100, combien écrit-on le chiffre 9 ?
       2. Un nombre de 3 chiffres est impair; en lui enlevant son chiffre des centaines et en multipliant le nombre obtenu par 9, on le retrouve !
Quel est donc ce nombre ? (il y a en fait deux solutions).
3. Je suis un nombre inférieur à 1000 et je m’écris avec 4 chiffres. Mon nombre de dizaines est 34 et je me termine par 6.
En ajoutant mon chiffre des dizaines à celui de mes dixièmes, tu trouveras le double du chiffre de mes unités.
4. Un nombre entier de 5 chiffres commençant par 3 possède la propriété suivante : si on déplace le 3 en dernière position (en chiffre des unités),
on obtient alors un nombre augmenté de 29205. Quel est le nombre initial ?
» Réponses | Autres exercices sur ce thème | colle logique... (suite de Conway)

II - Autres bases usuelles utilisées en informatique :    

Pour le traitement électronique de l'information (langages informatiques), on utilise de nos jours les systèmes :

♦ binaire (base 2 : les chiffres sont 0 et 1); dans un tel système notre 2 s'écrit 10, mais il faut lire un-zéro et non pas dix !

Exemple 2 : 23 = 16 + 4 + 2 + 1 = 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ , donc 23_{base 10} = 10111_{base 2}

♦  octal, base 8, les chiffres de cette base sont 0,1, ...,7 : en désuétude compte tenu des processeurs 32 bits des ordinateurs modernes; on lui préfère le système de base 6 :

♦ hexadécimal, base 16, les "chiffres" alphanumériques de cette base sont 0,1 , ..., 9, A, B, C, D, E, F; par exemple, FA2B en base 16 signifie :

F × 16³ + A x 16² + 2 x 16 + B

A, B et F représentant respectivement 10, 11 et 15 de la base 10; donc FA2B₍₁₆₎ = 64043₍₁₀₎.

∗∗∗
5. Écrire 45000 (base 10) en base 16
Rép. : Selon l'algorithme explicité plus haut : 45000 = 16 × 2812 + 8 ; 2812 = 16 × 175 + 12 et 12₍₁₀₎ = C₍₁₆₎;
175 = 16 × 10 + 15 et 15₍₁₀₎ = F₍₁₆₎; 10 = 16  × 0 + 10 et 10₍₁₀₎ = A₍₁₆₎. Finalement 45000(10) = AFC8₍₁₆₎.

En savoir plus sur le codage binaire & hexadécimal, arrondis de l'ordinateur : »

III - Cas général de l'écriture d'un entier naturel dans une base :    

Selon l'étude précédente, on comprend que l'on peut écrire tout entier naturel dans tout système positionnel de base entière quelconque au moins égale à 2 :  

Si b ≥ 2 est la base d'un système positionnel, tout nombre entier N se décompose de manière unique sous la forme :
a_nbⁿ + a_n-1b^n-1 + ... +a₂b² + a₁b + a₀          (3)
où les a_k , 0 ≤  a_k < b, sont des "chiffres" de la base, n entier, n ≥ 0, bⁿ ≤ N

• Écrivons 324 en base 7 : 7² = 49, 7³ = 343 > 324. Par division euclidienne : 324 = 6 × 49 + 30 et 30 = 4 × 7 + 2;
  donc 324₍₁₀₎ = 6 × 7² + 4 × 7¹ + 2 × 7⁰ = 642₍₇₎.

Zéro a-t-il un statut particulier ?    

 ➔  Pas du tout ! Le résultat ci-dessus permet de caractériser 0 (zéro) comme l'entier n'admettant aucune puissance au moins égale à 1 dans sa décomposition dans la base utilisée. Cette dernière se réduit à a_o= 0, c'est à dire à lui-même. Ce qui confère à zéro le statut de nombre entier à part entière.

Le zéro selon Brahmagupta : »

∗∗∗
6. En base 16 (système hexadécimal), on utilise les "chiffres" 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F.
a) Vérifier que 324₍₁₀₎  = 144₍₁₆₎; b) Quel entier naturel s'écrit FADA en base 16 ? Rép. : 64218
Une couleur utilisée dans cette page a pour code hexadécimal FF8040; quel est son code décimal (base 10) ? Rép. : 16744512.

IV - Cas d'un nombre décimal :     

Si l'on considère un nombre décimal N, par exemple N = 425,753, la partie décimale est 0,753 = 7/10 + 5/100 + 3/1000. On a donc :

N = 4 × 10² + 2 × 10¹ + 5 ×10⁰ + 7 × 10^-1 + 5 × 10^-2 + 3 × 10^-3

Le résultat relatif aux entiers naturels, se généralise immédiatement aux nombres décimaux au moyen des exposants négatifs :

Si b ≥ 2 est la base d'un système positionnel, tout nombre décimal N se décompose de manière unique sous la forme :
a_nbⁿ + a_n-1b^n-1 + ... +a₂b² + a₁b + a₀+ a_-1b^-1 + a_-2b^-2 + ... +a_-pb^-p      (4)
où les a_k , 0 ≤  a_k ≤ b, sont des "chiffres" de la base, n et p entiers, n ≥ 0, p ≥ 0,  bⁿ ≤ N

V - Comment écrire rapidement un nombre entier N dans une base b quelconque (algorithme) :    

• Effectuer la division euclidienne de N par b; vous obtenez un quotient Q_o et un reste r_o;

• Si  Q_o est non nul, effectuer la division euclidienne de Q_o par b; vous obtenez un quotient Q₁ et un reste r₁;

• Si  Q₁ est non nul, effectuer la division euclidienne de Q₁ par b; vous obtenez un quotient Q₂ et un reste r₂;

• Tant que les quotients successifs son non nuls, continuer les divisions euclidiennes de ces derniers par b;

• Vous obtenez les restes r_o , r₁ , ... , r_n;

• L'écriture en base b de N est alors : r_n .... r₁ r_o

En effet, suite aux divisions successives, nous avons N = bQ_o + r_o , Q_o = bQ₁ + r₁ , Q₁ = bQ₂ + r₂ , Q_n-2 = bQ_n-1 + r_{n-1 ,} ..., Q_n-1 = b × 0 + r_n, = r_n.
Par suite :

N = bQ_o + r_o = b(bQ₁ + r₁) + r_o
    = b²Q₁ + br₁ + r_o = b²(bQ₂ + r₂) + br₁ + r_o
     = b³Q₂ + b²r₂ + br₁ + r_o
     = _...
    = b^n-1Q_n-2 + ... + b²r₂ + br₁ + r_o
    = b^n-1(br_n + r_n-1) + ... +b²r₂ + br₁ + r_o
     = bⁿr_n + b^n-1r_n-1 + ... +b²r₂ + br₁ + r_o

∗∗∗
7. Écrire 1632 (base 10) en base 5


1632 _base5 = 23012 = 2 ×5⁴ + 3 × 5³ + 1×5¹ + 3

∗∗∗
8. Un nombre n s'écrit "4a32" en base 5, 0 ≤ a ≤ 4; à quelle condition sur a est-il divisible par 2 ?  ☼

VI - Comment convertir rapidement un nombre décimal en base 60 et inversement :         » système sexagésimal

Convertir un nombre décimal en base 60 est toujours possible. Illustrons le problème par deux exemples

1. Considérons n = 3,57. On ne convertit que la partie décimale à laquelle on rajoutera 3 en fin de calcul. On se ramène aux nombres entiers en multipliant 0,57 par 60 autant que nécessaire : 0,57 × 60 = 34,2; on multiplie de nouveau par 60 et on obtient 0,57 × 60² = 2052. Par division euclidienne, on obtient : 2052 = 34 × 60 + 12 et on en déduit 0,57 = 2052/60² = 34/60 + 12/60². D'où 3,57_/base10 = 3 + 34/60 + 12/60².

2. 3,14159 est une très bonne approximation de π; comment s'écrit-elle en base 60 ? On s'intéresse à la partie décimale : on constate que 0,14159 × 60⁵ est entier. On écrit donc 0,14159 = a/60 + b/60² + c/60³ + d/60⁴ + e/60⁵. On multiplie les deux membres de l'égalité par 60; le membre de gauche devient 8,4954; donc a = 8. On retire 8 de part et d'autre de l'égalité et on multiplie par 60; le membre de gauche devient 29,724; donc b = 29; et ainsi de suite. Finalement :

π ≈ 3 + 8/60 + 29/60² + 43/60³ + 26/60⁴ + 24/60⁵

 !  Inversement : un nombre donné en base 60, s'il n'est pas entier, peut ne pas être convertible en base 10 de façon exacte. Là encore, prenons un exemple : soit n = 1 + 8/60 + 15/60². La valeur décimale de n est exactement  1,1375 : tout va bien ! Mais si nous avions choisi n = 1 + 8/60 + 14/60². La valeur décimale de n est 0,13722222222222... : ce n'est pas un nombre décimal mais un rationnel périodique égal à 2047/1800 dont on ne peut donner qu'une valeur décimale approchée.

Un tel système ne requiert pas un symbole « zéro » : le résultat est la somme des nombres représentés par des pictogrammes (petits dessins hiéroglyphiques). Les plus simples furent :

On écrivait de droite à gauche en finissant par les unités. Les Egyptiens affectionnaient les fractions unitaires (de la forme 1/n), ils les écrivaient au moyen d'un signe ovale au-dessus de l'écriture du nombre n. Et pour exprimer certaines mesures de capacité et de volumes, ils utilisèrent une curieuse symbolique : les éléments de l'oeil d'Horus, dieu du ciel...

 ➔   Plutôt que les hiéroglyphes, les scribes utilisaient une écriture cursive plus sophistiquée, dite hiératique :

Un système additionnel devient très vite inutilisable pour gérer de grands nombres ou des nombres non entiers. Pour cette raison les Egyptiens manipulèrent avec brio les fractions et les décompositions de fractions en fractions élémentaires, dites unitaires : le numérateur étant 1.

Le système domestique et commercial utilisé par les anciens Grecs était décimal et additionnel (le résultat est la somme des nombres écrits de gauche à droite). Ils se servaient de lettres, éventuellement accentuées, et de signes complémentaires : il fallait de nombreux symboles et un codage savant pour comprendre la valeur représentée :

• Certains nombres avaient droit à des caractères spéciaux comme 900 (sampi : ). 10 s'écrivait ι (iota)
• En cas de confusion possible, pour distinguer un nombre d'un mot, on le surlignait.
• Pour le nombre 1000, la présence d'une sorte de virgule précédant le α (,α) désignait une multiplication par 1000. ,ß = 2000.
• Pour exprimer une fraction unitaire, on ajoutait un "prime" à droite du nombre. Par exemple, ß' = 1/2. Si une fraction n'est pas décomposable en fractions unitaires, on l'exprimait verbalement et/ou en parties de son dénominateur.
• Dans ce système additionnel, un nombre comme 25 ne s'écrit pas βε mais κε (20 + 5). 12 s'écrit ιß (10 + 2).

Ces écritures engendraient de nombreuses ambiguïtés que le contexte était censé lever. Pour effectuer des calculs commerciaux, les comptables grecs utilisaient des abaques. Les mathématiciens grecs de l'Antiquité utilisaient un symbolisme propre variable suivant l'époque et relativement sophistiqué, comme celui de Diophante d'Alexandrie.

Les calculs astronomiques, comme ceux de Hipparque ou  Ptolémée se faisaient en base 60, à la manière des Babyloniens. On parle aujourd'hui de système sexagésimal , du latin sexaginta = soixante et sexagesimus = soixantième.

La mesure du temps à l'origine du système de numération sexagésimal des Babyloniens : »

Leur écriture cunéiforme (c'est à dire en forme de coins), frappée dans l'argile, utilisaient un système positionnel de base 60, qu'utilisèrent les mathématiciens Indiens et Arabes pour leurs calculs trigonométriques.

Tablette Plimpton 322

L'usage de la base 60 = 2² × 3¹ × 5¹ a l'avantage de posséder de nombreux diviseurs, donc de faciliter les opérations de partage (division) et l'usage des fractions unitaires. 60 possède en effet (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 12 diviseurs. Leur ensemble est :

D₆₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

On pourra vérifier que 60 est le nombre inférieur à 100 ayant le plus grand nombre de diviseurs et leurs inverses s'expriment aisément au moyen de ces mêmes nombres, ce qui facilite les divisions du fait que diviser a par b c'est multiplier a par l'inverse de b :

a/b = a × 1/b

1/2 = 30/60 ; 1/3 = 20/60; 1/4 = 15/60 ; 1/5 = 12/60 ; 1/6 = 10/60 ; ... ; 1/15 = 4/60 ; 1/20 = 3/60; 1/30 = 2/60

Un nombre sexagésimal peut ne pas admettre d'inverse s'exprimant au moyen des puissances de 60 conformément à (4). En ce sens, un chiffre comme 7 n'est pas inversible.

Tout comme la base 10 possédant 9 chiffres (= 10 - 1), cette base 60 comporte 59 "chiffres" ! L'unité (1) et la base (60) sont représentées par le même symbole (forme de clou : () et 10 par un chevron (). On obtient tous les chiffres de cette base par combinaison additive :

 ➔   On ne doit pas s'étonner d'utiliser un clou pour désigner 60, qui est en fait un clou suivi de un espace !
61 serait symbolisé par deux clous (bien) séparés !

∗∗∗
10. Comment s'écrirait 5112 de notre système décimal en base 60 avec les symboles ci-dessus ?  ☼

Une des tablettes numériques de Nippur (Mésopotamie, Irak), » réf.7

Certains scribes, suivant l'époque et le lieu, séparaient les puissances de 60 par deux chevrons imbriquésou, plus simplement, selon le scribe, par un espace, le contexte devant, en principe éviter toute confusion malgré l'absence du concept de « zéro ». L'avènement des chiffres indo-arabes simplifiera considérablement les techniques de calcul. De ce système, il nous reste l'usage des degrés sexagésimaux, développé par Hipparque puis Ptolémée, correspondant au partage de la circonférence en 360° pour la mesure des angles. La notation ° est due à Peletier au 16è siècle.

La numération romaine :

Ce système fut très particulier et totalement inadaptée à des calculs même élémentaires ! C'est un système décimal. Les symboles principaux sont I, X, C et M (1, 10, 100 et 1000), les symboles secondaires sont V, L et D (multiples de 5) :

1	5	10	50	100	500	1000
I	V	X	L	C	D	M

Pour leur calculs les romains utilisaient des casiers réunis en damier dans lesquels ils plaçaient de petits cailloux pour désigner les unités, dizaines, centaines, etc.

De cette technique romaine, nous est resté le mot calcul (calculus = petit caillou). Cette numération est additionnelle car la valeur du nombre écrit est obtenue par somme ou soustraction des caractères juxtaposées.

Par exemple, avec ce système :

• 9 s'écrit IX, soit 10 - 1

• 24 sécrit XXIV : 10 + 10 + 5 - 1

Il n'est pas autorisé d'écrire un symbole du groupe secondaire ou plusieurs symboles du groupe principal à gauche d'un symbole plus grand : cette règle exclut toute ambiguïté d'écriture. Plus de trois symboles consécutifs identiques sont également illégaux (en fait, ces améliorations datent du moyen âge, tout comme le M pour désigner 1000).

1995 s'écrit : MCMXCV

L'écriture MCMVC étant illégale. De même MCMLXXXXV. Pour les très grands nombres, une barre supérieure, signifiant une multiplication par 1000, permettait de les écrire :

 

Une double barre signifiait une multiplication par 1 000 000.

I	II	III	IV	V
1	2	3	4	5
VI	VII	VIII	IX	X
6	7	8	9	10
XI	XII	XIII	XIV	XV
11	12	13	14	15
XVI	XVII	XVIII	XIX	XX
16	17	18	19	20
DCCLIII	CDLXXVI	DVI	MCDLIII	cf. ci-dessus
753	476	506	1453	1995

Ces nombres ne sont utilisés aujourd'hui que pour paginer (numérotation d'une table des matières) ou pour écrire certaines dates sur des bâtiments (certains trouvent cela plus joli...).

∗∗∗ 
11. Écrire, avec ce système, les nombres 5112  et  3774   ☼

Le système vigésimal des Mayas :

» Mexique, carte empruntée à http://www.welt-atlas.de/html/frame.htm

La civilisation Maya s'étale dans le temps sur environ 3000 ans de 1600 avant J.-C. à 1500 et, géographiquement, entre les deux Amériques : Yucatan (sud du Mexique), Guatemala, Honduras. Les Aztèques occupèrent les territoires plus au nord (du Mexique actuel). Leur système de numération était hiéroglyphique.

L'empire Maya, constitué de grandes cités fédérées, disparut à la suite des invasions espagnoles. La science des anciens Mayas est principalement astronomique et architecturale. Leur écriture était de type hiéroglyphique et leur système de calcul était positionnel, de base 20, car ils comptait avec les mains et les pieds : 10 doigts et 10 orteils : système vigésimal (à quelques irrégularités près, voir ci-dessous...). Ce système s'appliquait aux calendriers  fondés sur les observations des prêtres astronomes :

• L'année solaire civile comptait 360 jours + 5 : 20 × 18 + 5. L'adjonction de 5 jours s'avérait nécessaire eu égard aux observations astronomiques. 

• L'année sacrée des prêtres, année vénusienne, comptait 260 jours vénusiens : 20 × 13 correspondant au temps de révolution de Vénus autour du Soleil.

Ci-dessous les "chiffres" de 1 à 19 du système maya : les symboles utilisés étaient limités à un point  (• : l'unité) répété jusqu'à 4 fois et un trait  ( : 5 unités). On écrivait verticalement de haut en bas par puissances décroissantes de 20. En fait, pas tout à fait car par respect pour l'année solaire, ils utilisaient dans la décomposition 20 × 18 au lieu de 20² = 20 × 20, mais les puissances suivantes s'obtenaient par multiplication par 20.

Cherchons à écrire, par exemple, 8527 :

8527 = 7200 + 1327 = 7200 + 3 × 360 + 247 = 1 × 7200 + 3 × 360 + 12 × 20 + 7

18 × 204	18 × 203	18 × 202	18 × 20  (au lieu de 202)	201	unités
...	144000	7200	360	20	1 à 19
///	///	1	3	12	7

8527 (base 10 usuelle) =    (base vigésimal maya)

Si une puissance de 20 venait à manquer, les Mayas utilisaient un symbole spécifique, équivalent au zéro arabo-indien qui est aujourd'hui le nôtre : » haut de page , Brahmagupta. Ce signe ressemble à une petite coquille; les historiens y voient aussi le symbole d'un œil entrouvert :

Voici quelques nombres où ce symbole apparaît :

20	100	ex. 8a	ex. 8b	∗∗∗
				☼

Réponses aux exercices :

1/ on écrit 20 fois le chiffre 9; si vous avez répondu 10 ou 11, vous avez sans doute oublié 91, 92, 93, ...,99 !

2/ le chiffre des unités doit être 5 car 9 × 5 = 45 se termine par 5 et 9 × 0 = 0 est à rejeter puisque le nombre est impair. Dans cette multiplication, on retient 4 qui s'ajoute au chiffre des dizaines; en écrivant la table de 9 et ajoutant 4 au chiffre des unités obtenus, on obtient deux cas possibles pour le chiffre des dizaines :

• 2 car 9 × 2 = 18 et 8 + 4 = 12

• 7 car 9 × 7 = 63 et 3 + 4 = 7

ce qui conduit à deux solutions : 225 et 675.

3/ le chiffre des unités doit être 5 car 9 × 5 = 45 se termine par 5 et 9 × 0 = 0 est à rejeter puisque le nombre est impair. Dans cette multiplication, on retient 4. Le nombre est au moins égal à 340 puisqu'il contient 34 dizaines. Comme il est inférieur à 1000 et s'écrivant avec 4 chiffres, il n'est pas entier et s'écrit avec un chiffre après la virgule qui sera le 6, soit : 34?,6. Le chiffre des dizaines est 4, 6 + 4 = 10, le chiffre des unités est donc 5. Rép : 345,6.

4/ Le problème revient à une soustraction à trous : a b c d 3 - 3 a b c d = 29 205. Rép. : 36 578.

8/  Le nombre n s'écrit 4 x 5³ + a × 5² + 3 x 5 + 2, soit n = 517 + 25a. Les entiers 517 et 25 sont impairs, pour que n soit divisible par 2, il faut que 25a soit impair, donc que a soit impair; donc a = 1 ou a = 3 ( a n'excède pas 4 en base 5).

9/ 324 représente 4 unités, 2 dizaines et 3 centaines, il s'écrirait alors :

 

10/ 5112  = 85 × 60 + 12 = (60 + 25) × 60 + 12 = 1 × 60² + 25 × 60 +12; ce nombre s'écrit donc :

11/  5112 et 3774 s'écriraient respectivement :

8/ Numération maya :

= 1800                       = 435961

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 ➔   Pour en savoir plus :

1. The History of MathematicS, An INTRODUCTION, David Burton, Ed. Wm. C. Brown Publishers - 1985-91

2. A HISTORY OF MATHEMATICAL NOTATIONS par Florian Cajori 2 tomes (séparés ou  "bound as one"), Dover Publications - Chicago 1928 / 1993
   Consultation partielle sur Google Livres :
   1/  https://books.google.fr/books?id=bT5suOONXlgC  
   2/  https://books.google.fr/books?id=j_vpnhppwBoC

3. HISTOIRE UNIVERSELLE DES CHIFFRES, tome 1, Georges Ifrah, Coll. Bouquins, Ed. Robert Lafont - Paris, 1994

4. HISTOIRE UNIVERSELLE DES CHIFFRES, tome 2, Georges Ifrah, Coll. Bouquins, Ed. Robert Lafont - Paris, 1994

5. Logistique et fractions dans le monde hellénistique, par Bernard Vitrac :
   https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/175153/filename/Logistique_et_fractions_dans_le_monde_hellenistique.pdf

6. Problématiques de l'histoire des fractions, par Louis Charbonneau (UQAM, Québec) :
   http://www.profmath.uqam.ca/~charbon/personnel/

7. Tables mathématiques de Nippur par Christine Proust et l'équipe de l'Institut français d'études anatoliennes (Istanbul); un document remarquable, tant instructif que précis et pédagogique : https://www.persee.fr/docAsPDF/anatv_1013-9559_2007_mon_18_1_1081.pdf

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