ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le triangle égyptien #1    niveau 4è à 2nde                 » Un autre triangle égyptien ,  Triangles d'or , Voûte égyptienne

1°/ Construis un triangle ABC rectangle en A tel que cos ^C = 0,8.

 ➔  Par « construis », on entend ici avec les seuls moyens de l'équerre, de la règle graduée et du compas : pas de calculatrice, pas de calcul approché de l'angle ^C ! Tu dois savoir que dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d'un angle le rapport côté adjacent/l'hypoténuse : » cosinus.

2°/ Vérifie qu'un triangle ABC dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 est une réponse à la question 1.

3°/ On veut prouver qu'il n'existe qu'un seul triangle rectangle ABC dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs, comme 3, 4 et 5  : triangle égyptien :

Soit n (nombre entier), la mesure du plus petit côté.

•  Exprimer en fonction de n les mesures des deux autres côtés et montrer que le problème revient à résoudre l'équation :

n est un entier naturel non nul et n² - 2n - 3 = 0

» En 3ème et 2nde, on utilisera les identités remarquables.  En 4ème :  penser que les carrés de n + 1 et n + 2 s'écrivent respectivement (n + 1)²  = (n + 1) × (n + 1) et (n + 2)² = (n + 2) × (n + 2); on développera alors chacune de ces expressions en utilisant la distributivité de la multiplication sur l'addition.

1°/ Si un triangle ABC est rectangle en A; on a cos ^C = CA/CB (côté adjacent / hypoténuse); d'où la construction :

• on trace un angle droit de sommet A;

• on reporte 8 cm sur l'un des côtés et on place C;

• l'arc de cercle de centre C de rayon 10 cm coupe l'autre côté de l'angle droit en B.

» Le triangle ABC est rectangle en A et on a bien cos ^C = CA/CB = 8/10 = 0,8.

2°/ Le plus grand côté mesure 5; on a d'une part 5² = 25 et d'autre part 3² + 4² = 9 + 16 = 25 : le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres; le triangle ABC est donc rectangle en vertu de la réciproque du théorème de Pythagore.

3°/ n désignant la mesure entière du plus petit côté, les autres mesures consécutives sont n + 1 et n + 2. Selon le théorème de Pythagore, nous devons avoir l'égalité :

n² + (n + 1)² = (n + 2)²

soit :

n² + (n² + 2n + 1) = n² + 4n + 4

en réduisant et en transposant tout dans le membre de gauche :

n est un entier naturel non nul et n² - 2n - 3 = 0

Or :

(n + 1)(n - 3) = n² - 3n + n - 3 = n² - 2n - 3

donc résoudre l'équation n² - 2n - 3 = 0 revient à résoudre (n + 1)(n - 3) = 0. Un produit est nul si un de ses facteurs est nul : n + 1 = 0 fournit n = -1; c'est une solution à rejeter car négative. Par conséquent n - 3 = 0, donc n = 3; il suit que n + 1 = 4 et n + 2 = 5 : on retrouve le triangle égyptien.