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1°/ Construis un triangle ABC rectangle en A tel que
cos ^C = 0,8.
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Par « construis
», on entend ici avec les seuls moyens de l'équerre, de la règle graduée et du compas : pas de
calculatrice, pas de calcul approché de l'angle ^C ! Tu dois savoir que dans un
triangle rectangle, on appelle cosinus d'un angle le rapport côté
adjacent/l'hypoténuse :
»
cosinus.
2°/ Vérifie qu'un triangle ABC dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 est une réponse à la question 1.
3°/ On veut prouver qu'il n'existe qu'un seul triangle rectangle ABC dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs, comme 3, 4 et 5 : triangle égyptien :
Soit n (nombre entier), la mesure du plus petit côté.
• Exprimer en fonction de n les mesures des deux autres côtés et montrer que le problème revient à résoudre l'équation :
n est un entier naturel non nul et n2 - 2n - 3 = 0
» En 3ème et 2nde, on utilisera les identités remarquables. En 4ème : penser que les carrés de n + 1 et n + 2 s'écrivent respectivement (n + 1)2 = (n + 1) × (n + 1) et (n + 2)2 = (n + 2) × (n + 2); on développera alors chacune de ces expressions en utilisant la distributivité de la multiplication sur l'addition.
• Développer le produit (n + 1)(n - 3); en déduire que le problème a une unique solution correspondant au triangle égyptien.
Solution : |
1°/ Si un triangle ABC est rectangle en A; on a cos ^C = CA/CB (côté adjacent / hypoténuse); d'où la construction :
on trace un angle droit de sommet A;
on reporte 8 cm sur l'un des côtés et on place C;
l'arc de cercle de centre C de rayon 10 cm coupe l'autre côté de l'angle droit en B.
»
Le triangle ABC
est rectangle en A et on a bien cos ^C = CA/CB = 8/10 = 0,8.
2°/ Le plus grand côté mesure 5; on a d'une part 52 = 25 et d'autre part 32 + 42 = 9 + 16 = 25 : le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres; le triangle ABC est donc rectangle en vertu de la réciproque du théorème de Pythagore.
3°/ n désignant la mesure entière du plus petit côté, les autres mesures consécutives sont n + 1 et n + 2. Selon le théorème de Pythagore, nous devons avoir l'égalité :
n2 + (n + 1)2 = (n + 2)2
soit :
n2 + (n2 + 2n + 1) = n2 + 4n + 4
en réduisant et en transposant tout dans le membre de gauche :
n est un entier naturel non nul et n2 - 2n - 3 = 0
Or :
(n + 1)(n - 3) = n2 - 3n + n - 3 = n2 - 2n - 3
donc résoudre l'équation n2 - 2n - 3 = 0 revient à résoudre (n + 1)(n - 3) = 0. Un produit est nul si un de ses facteurs est nul : n + 1 = 0 fournit n = -1; c'est une solution à rejeter car négative. Par conséquent n - 3 = 0, donc n = 3; il suit que n + 1 = 4 et n + 2 = 5 : on retrouve le triangle égyptien.