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La notion algébrique de puissance       Exercices niveau collège
       Puissance & exposant  selon d'Alembert | Notation scientifique

La notion de puissance en arithmétique et en algèbre s'immisce systématiquement dans tout contexte calculatoire où intervient une multiplication : calculs sur les nombres entiers, les nombres rationnels (fractions), les nombres réels ou complexes, calculs sur les fonctions, les polynômes, les matrices, ...

Cette page décrit de façon élémentaire, niveau collège et  lycée (pour les nombres complexes), les différentes acceptions de la notion de puissance implicitement définie dans une structure algébrique, comme un anneau unitaire (A,+,) ou un corps, permettant de donner un sens à des multiplications en chaîne dont les termes sont susceptibles d'être regroupés (associativité), voire déplacés (cas d'un anneau commutatif) sans nécessiter la présence de parenthèses. Pour cet aspect plus général, on se reportera à la page anneaux et corps.

L'ensemble A pourra en particulier être :

Puissance n-ème d'un nombre réel ou complexe :    

On appelle puissance d'un nombre a le nombre obtenu par multiplications répétées de a par lui-même : si n est un entier naturel, on note an l'élément a a a ... a, puissance n-ème de a, produit de n éléments égaux à a. On dit que n est écrit en exposant et on lit a exposant n ou a puissance n. On dit aussi que l'on élève a à la puissance n.

- Le cas n = 2 : plutôt que puissance 2-ème, on parle d'élévation au carré, allusion à l'aire a a = a2 d'un carré de côté a, et on dit que aest le carré de a.

- Le cas n = 3 : plutôt que puissance 3-ème, on parle d'élévation au cube, allusion volume a a a = a3 d'un cube de côté a, et on dit que aest le carré de a.

L'associativité de la multiplication dispense de parenthèses. Par exemple :

a a = a2        a3 = a a a = a (a a) = (a a) a = a2 a = a a2

D'une façon, par regroupement des termes, on remarque que :

 an ap= an + p

Deux cas particuliers :   

 a = a1  et  ao = 1

On vérifiera facilement que :

 (a b)n = an bn  

Formule de Moivre calculant zn, z complexe sous forme trigonométrique (niveau terminale) :

Puissances d'exposant négatif (entier) d'un nombre réel ou complexe :    

Lorsque a n'est pas nul, si l'on considère le quotient de deux puissances entières positives de a, comme a5/a3 ou a3/a5, on constate par simplification que a5/a3 = a2  et a3/a5 = 1/a2. Ce qui induit une règle et une nouvelle notation :

 an/ap = an - p  et  1/an  =  a-n

Puissance (entière) d'une puissance d'un nombre réel ou complexe :        


 (an)p = anp

Preuve : (an)p = an an ... an  (p facteurs). Selon la propriété (a b)n = an bn, on déduit (an)p = an + n + ... + n = anp

Notation puissance d'une racine n-ème d'un nombre réel positif :

Peut-on donner un sens à l'écriture a1/n, n entier non nul ? Selon la formule ci-dessus, nous aurions (a1/n)n = an/n = a1 = a. On convient alors d'écrire :

Autrement dit : r = a1/n rn = a. En particulier :

Remarquer que le cas n = 1, racine 1-ème de a, n'est pas dénuée de sens : c'est a puisque r = a1/1 équivaut à r1 = r = a.

r = (ab)1/n   rn = ab = (a1/n)n (b1/n)n = (a1/n b1/n)n donc r = a1/n b1/n. Autrement dit :

  Si a < 0, dans le cas n impair, on peut donner un sens à la racine n-ème de a, comme la racine cubique, par exemple. En effet, dans ce cas impair, comme ci-dessous pour n = 3, la fonction x xn est impaire et on est en droit d'écrire :

Puissance rationnelle p/q d'un nombre réel positif :

Les deux dernières définitions permettent de donner un sens à ap/q :

Notation scientifique d'un nombre réel :

Lorsqu'un nombre est très petit ou très grand, il est d'usage dans les sciences de l'écrire au moyen des puissances de 10 positives, s'il est très grand, ou négatives s'il est très petit. Précisons en donnant deux exemples :

Rappelons ici que multiplier par 10n un nombre décimal revient à décaler sa virgule de n rangs vers la droite ou vers la gauche suivant que n est positif ou négatif.

2 778 000 000 peut aussi s'écrire 2 778106 mais ce n'est pas l'écriture dite scientifique de ce nombre. La règle est la suivante :

L'écriture scientifique d'un nombre est obtenue en l'écrivant sous la forme n,d10k où :

Une calculatrice donne généralement le résultat d'un calcul sous la forme scientifique si ce dernier est trop petit ou trop grand :

 
Exercices niveau collège


Niveau terminale : Le cas de la racine n-ème d'un nombre complexe est beaucoup plus... complexe
La notation z1/n pour un complexe n'a pas de sens :

Racines n-èmes d'un nombre complexe, racines n-èmes de l'unité :

Puissance réelle d'un nombre a réel positif :

On entre là dans le champ des fonctions exponentielles. Si x est un nombre réel et a > 0, parler de ax, c'est parler de la fonction exponentielle de base. Plutôt que a puissance x, On dira a exposant x. Un cas particulièrement important est la fonction exponentielle xex, réciproque de la fonction logarithme népérien. Si on donne un sens au nombre y = ax, alors en passant au logarithme népérien, on a : ln y = xlna, c'est dire que :

aest le nombre transcendant exlna

Fonctions exponentielles, propriétés fonctionnelles et algébriques :

Puissance complexe d'un nombre réel x > 0 : 

Soit x R, x > 0 et z = a + ib un nombre complexe, a et b réels. Peut-on donner un sens à xz ?

On a formellement : xz = xa + ib = xa xib. Or, e désigne la base des logarithmes népériens, depuis Euler, on a donné un sens à eit avec t réel : eit = cost + isint. Le logarithme népérien étant la fonction réciproque de xex, le nombre réel strictement positif x peut s'écrire elnx. On est alors en droit d'écrire xib = (elnx)ib = eiblnx et finalement :

xz = xa + ib = xa[cos(blnx) + isin(blnx)] : nombre complexe de module xa, dont un argument est blnx

  La puissance complexe d'un nombre complexe n'a généralement pas de sens. Il ferait intervenir un logarithme complexe dont la détermination n'est pas unique :

Fonction exponentielle et logarithme complexe :


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