ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Théorème (ou propriété) de Thalès
   
Partage d'un segment dans un rapport donné , Ombre et hauteur des pyramides

Déjà connu des Babyloniens (et approximativement conservée ad vitam par tous les collégiens de nombreuses décennies...), la redécouverte de ce célèbre résultat géométrique lui servit à calculer la hauteur des pyramides en utilisant la proportionnalité entre leurs hauteurs et celle d'un bâton planté verticalement :

Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :

En d'autres termes :

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels

Ces proportions fondamentales ( pour un rappel, cliquez-moi) permettront de résoudre de nombreux problèmes de construction, en géométrie bien sûr mais aussi (et surtout) en ses applications : architecture, topographie, dessin industriel, mécanique (bielles, agrandissement, réduction), etc.

 Inversement, l'égalité des deux premiers rapports assure le parallélisme des droites (AA') et (BB')

 Attention : certains élèves l, écrivent souvent que l'on a aussi, dans les conditions ci-dessus, l'égalité des rapports AA'/BB' et BB'/CC' ou autre abomination similaire... Il n'en est rien en général comme on peut le concevoir mentalement en déplaçant (CC') parallèlement : AA'/BB' ne change évidemment pas, ce qui n'est pas le cas de BB'/CC'.

Cette erreur est sans doute due à la forme particulière du théorème de Thalès enseignée au collège : le cas où les droites (d) et (d') se coupent en un point donné du plan de la figure (  titre suivant) , correspondant à la notion de triangles semblables.

En savoir plus sur la proportionnalité :  

Propriété (ou théorème) de Thalès, version collège :

Énoncé sous la forme suivante, la propriété de Thalès exprime que les triangles AMN et ABC sont semblables. Les triangles semblables furent enseignés au collège jusqu'à l'apparition  des mathématiques dites "modernes" au début des années 1970 :

Si, dans un triangle ABC, une droite (MN) est parallèle au côté [BC], alors les triangles ABC et AMN ont leurs côtés proportionnels :

AM/AB = AN/AC = MN/BC

Le résultat reste valable lorsque la droite (MN) coupe le prolongement des côtés (figure de droite) : on parle alors parfois de configuration de Thalès croisée :

Réciproque:  l'égalité des deux premiers rapports : AM/AB = AN/AC assure le parallélisme des droites (MN) et (BC).

  Attention : nombreux sont les élèves qui, en présence de rapports inégaux concluent au non parallélisme en invoquant la réciproque de la propriété de Thalès : Faux, ce qui est en défaut ici c'est la propriété de Thalès elle-même.

En effet, si les droites sont parallèles, alors les rapports AM/AB et  AN/AC sont égaux. Par conséquent si ces rapports ne sont pas égaux, les droites ne peuvent pas être parallèles : car si elles l'étaient (parallèles), alors ils seraient égaux (les rapports)... :  raisonnement par l'absurde

La réciproque est utilisée lorsque les rapports s'avèrent égaux afin de prouver le parallélisme

  Un exercice faisant usage de la propriété réciproque


On a dessiné ci-dessous un rectangle, une de ses diagonales et une droite parallèle au plus grand côté (sa longueur) de mesure 10. On demande de calculer la mesure du segment coloré en rouge en considérant les autres mesures indiquées. Rép : 3√5.


On a dessiné ci-dessous un rectangle de longueur AB = 7 et largeur AD = 5 (mesures non respectées sur le dessin). On suppose de plus que AI = 3 et AJ = 5,16. On ne demande PAS de refaire la figure en vraie grandeur. Niveau 4ème : Quelle est la mesure exacte de la diagonale [AC] ? Les droites (IJ) et (DC) sont-elles parallèles ? Niveau 1ère S : peut-on calculer IJ ?
Rép : AC = √74. Si les droites (IJ) et (DC) sont parallèles,  alors AI/AD = AJ/AC, donc 3/5 = 5,16/√74. Faux car le 1er membre est exactement 0,6 alors que le second vaut approximativement 0,5998. On peut calculer IJ au moyen du théorème d'Al-Kashi en commençant par calculer l'angle ^IAJ. La suite est laissée au lecteur...

Partage d'un segment en n parties égales ou dans un rapport donné :     

La propriété de Thalès permet de construire aisément, à la règle et au compas (construction au sens d'Euclide) le point M d'un segment [AB] tel que AM/AB = 1/n ou bien tel que AM/AB = a/b :

Ci-dessus, on a choisi de placer M tel que AM/AB = 1/5 et N tel que AN/AB = 3/5. Pour ce faire :

Configuration croisée et construction des points M de (AB) tels que MA/MB = a/b :

Thalès et la mesure de la hauteur des pyramides :

La pyramide est de base carrée, MC = AB est le demi-côté. O étant l'œil de l'observateur, lorsque O, D et S sont alignés, on peut mesurer la hauteur SA de la pyramide en connaissant les mesures :

d'un bâton vertical DE;
des distances OE et OA = OB + MC.

Il suffit alors d'utiliser l'égalité :

On en déduira la hauteur SA = DE x OA/OE. Donc, pour votre prochain voyage au pays des pharaons...

La notion de point constructible :

 

J'apprends à rédiger configuration de Thalès dans le triangle   niveau 4ème
J'apprends à rédiger configuration croisée de Thalès   niveau 3ème
Propriété de Thalès configuration "croisée"     niveau 3ème
Construction du point M de (AB) tel que MA/MB = a/b     niveau 4ème/3ème
Construction de la racine carrée d'un nombre
Spirale de Théodore de Cyrène pour la construction de n (n entier)
Trisection d'un segment      niveau 3ème/2nde
Propriété de Thalès ou barycentre   au choix !
Pythagore, Thalès, une pincée d'algèbre et une de trigonométrie...   construction géométrique

Un peu de tout !..   niveau 3ème

Relations métriques dans le triangle rectangle

Échelles croisées   propriété de Thalès ou équations de droites

Problème de construction     niveau 3ème/2nde

  voir aussi...


© Serge Mehl - www.chronomath.com