ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Applications de la propriété de Thalès
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Point et nombres constructibles, construction d'un produit, d'une moyenne proportionnelle (moy. géométrique)
           Partage d'un segment dans un rapport donné | Hauteur des pyramides d'Égypte

 Par point constructible du plan, on entend "à la règle et au compas". Cela sous-entend que l'on s'est donnés préalablement certains éléments : point(s), droite(s), cercle(s) rendant possible cette "construction à la règle et au compas".

Par exemple :

Le milieu d'un segment [AB], où A et B sont deux points donnés du plan, est constructible : il est l'intersection de [AB] avec la droite passant par les deux points d'intersection des cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A. Cette droite n'est autre que la médiatrice de [AB], constructible à la règle et au compas comme on vient de le dire...

»  Euclide , Platon , Mohr , Mascheroni , Napoléon , Wantzel

 Nombres constructibles :

Étant donné un point A du plan et une unité de mesure, soit B un point du plan défini par une mesure m = AB. On dit que m est un nombre constructible si le point B est constructible.

 Étant donnés a et b constructibles, on construira leur produit ab en appliquant la propriété de Thalès à la proportion :

     

et si b = a, on obtient la construction du carré de a.

  Étant donné y constructible, on construira une fraction a/b de y en écrivant que si x = a/b × y, alors

      

Les nombres constructibles sont dénombrables : »

  Étant donnés a et b constructibles, on pourra aussi facilement construire une moyenne géométrique x, c'est à dire vérifiant x2 = ab équivalent à x/a = b/x (moyenne proportionnelle) sachant que dans un triangle rectangle ABC de hauteur AH, on a AH2 = HB × HC. () :

      » Pythagore | exercice TD 3è/2nde

On a x = AH car le triangle ABC est rectangle en A et si b = 1, on a alors construit la racine carrée de a.

Moyenne proportionnelle et duplication du cube : selon Ménechme | selon Eudoxe

Le corps des nombres constructibles, noté ici C, est stable par passage à la racine carrée, c'est à dire :

Si x appartient à C, alors la racine carrée de x est aussi élément de C.

On dit que C est un corps pythagoricien (appellation en hommage à Pythagore qui "découvrit" les nombres irrationnels. A noter que C est aussi le plus petit corps pythagoricien inclus dans R.

Wantzel et les nombres constructibles : »

Partage d'un segment en n parties égales ou dans un rapport donné :     

La propriété de Thalès permet de construire aisément, à la règle et au compas (construction au sens d'Euclide) le point M d'un segment [AB] tel que AM/AB = 1/n ou bien tel que AM/AB = a/b :

Ci-dessus, on a choisi de placer M tel que AM/AB = 1/5 et N tel que AN/AB = 3/5. Pour ce faire :

Configuration croisée et construction des points M de (AB) tels que MA/MB = a/b : »

Thalès et la mesure de la hauteur des pyramides :

La pyramide est de base carrée, MC = AB est le demi-côté. O étant l'œil de l'observateur, lorsque O, D et S sont alignés, on peut mesurer la hauteur SA de la pyramide en connaissant les mesures :

•  d'un bâton vertical DE;
•  des distances OE et OA = OB + MC.

Il suffit alors d'utiliser l'égalité :

On en déduira la hauteur SA = DE x OA/OE. Donc, pour votre prochain voyage au pays des pharaons, à vos calculettes...

J'apprends à rédiger configuration de Thalès dans le triangle   niveau 4ème
J'apprends à rédiger configuration croisée de Thalès   niveau 3ème
Propriété de Thalès configuration "croisée"     niveau 3ème
Construction du point M de (AB) tel que MA/MB = a/b     niveau 4ème/3ème
Construction de la racine carrée d'un nombre
Spirale de Théodore de Cyrène pour la construction de √n (n entier)
Trisection d'un segment      niveau 3ème/2nde
Propriété de Thalès ou barycentre   au choix !
Pythagore, Thalès, une pincée d'algèbre et une de trigonométrie...   construction géométrique

Un peu de tout !..   niveau 3ème

Relations métriques dans le triangle rectangle

Échelles croisées   propriété de Thalès ou équations de droites

Problème de construction     niveau 3ème/2nde

»  voir aussi...


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