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Le théorème de Pythagore selon Euclide

Le célèbre théorème de Pythagore affirme que dans un triangle ABC rectangle en A (donc d'hypoténuse BC) :

BC2 = AB2 + AC2

Pythagore apporta une preuve de "son théorème", mais voici comment Euclide le démontre dans ses Eléments (premier Livre, proposition 47) : 

Résumons : 

aire FGBA  = 2 x aire FGB = 2 x aire GBC = 2 x aire ABD = aire BHKD

On raisonnerait de même afin de prouver que l'aire de ACJL est celle de HCEK. D'où le théorème de Pythagore.

Réciproquement :

Supposons vérifiée la relation de Pythagore pour le triangle ABC ci-dessus. soit B' le point vérifiant AB = AB' et ^B'AC = 90°. On a alors :

BC2 = AB2 + AC2  et  B'C2 = AB'2 + AC2,

la dernière égalité étant vraie du fait du théorème de Pythagore appliquable dans le triangle rectangle AB'C.

Vu que AB = AB', on en déduit BC2 = B'C2 et par suite : BC = B'C.

Les triangles ABC et AB'C sont donc isométriques et par là, superposables : l'angle ^BAC est donc droit tout comme ^B'AC.

 Savez-vous que ce célèbre théorème est qualifié de "pont aux ânes". Méchante allusion à l'herméticité de certains bambins (rarissimes certes...) face à son énoncé, voire à sa preuve, somme toute pas si évidente que cela. On dit qu'il existe 150 (d'aucuns disent 600 ?) démonstrations distinctes. La preuve euclidienne ci-dessus n'est pas la plus simple.

 On peut lui préférer, au collège, celle donnée en : cliquer ici , ou


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