ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Le théorème de Pythagore selon Euclide

Le célèbre théorème de Pythagore affirme que dans un triangle ABC rectangle en A (donc d'hypoténuse BC) :

Pythagore apporta une preuve de "son théorème", mais voici comment Euclide le démontre dans ses Eléments (premier Livre, proposition 47) : 

• Les triangles FGB et GBC ont même aire : ils ont un côté commun [BG] et une même hauteur relative à ce côté : FG.

• D'autre part les triangles GBC et ABD sont isométriques car ils ont un angle de même mesure (90° + ^B) et les côtés de cet angle de même mesure : [BG] et [BC] d'une part, [BA] et [BD] d'autre part).

• Enfin, l'aire de ABD est la moitié de BD x DK, aire du rectangle BHKD.

Résumons : 

aire FGBA  = 2 x aire FGB = 2 x aire GBC = 2 x aire ABD = aire BHKD

On raisonnerait de même afin de prouver que l'aire de ACJL est celle de HCEK. D'où le théorème de Pythagore.

Supposons vérifiée la relation de Pythagore pour le triangle ABC ci-dessus. soit B' le point vérifiant AB = AB' et ^B'AC = 90°. On a alors :

la dernière égalité étant vraie du fait du théorème de Pythagore appliquable dans le triangle rectangle AB'C.

Vu que AB = AB', on en déduit BC² = B'C² et par suite : BC = B'C.

Les triangles ABC et AB'C sont donc isométriques et par là, superposables : l'angle ^BAC est donc droit tout comme ^B'AC.

 Savez-vous que ce célèbre théorème est qualifié de "pont aux ânes". Méchante allusion à l'herméticité de certains bambins (rarissimes certes...) face à son énoncé, voire à sa preuve, somme toute pas si évidente que cela. On dit qu'il existe 150 (d'aucuns disent 600 ?) démonstrations distinctes. La preuve euclidienne ci-dessus n'est pas la plus simple.