ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Carrés et cubes magiques           carré latin, carré gréco-latin , cube magique

Le concept de carré magique remonte à des temps très anciens et fut présent dans toutes les grandes civilisations. Son origine semble provenir de l'Inde et de la Chine, 2000 ans avant J.-C. On le retrouve dans les mathématiques Arabes. Les plus grands mathématiciens comme Fermat, Leibniz et Euler ont étudié les carrés magiques.

Le non moins célèbre peintre et graveur Albrecht Dürer s'y intéressa aussi : on retrouve un carré magique (ci-dessus) dans une de ses gravures : Melancolia I. Sa propriété fascinante, magique (!) lui prêta un caractère ésotérique et on le retrouve en astrologie ou dans des légendes plus ou moins diaboliques... Il existe de très nombreux écrits et sites sur ce célèbre sujet dont quelques uns sont donnés in fine.

La règle du "jeu" est la suivante :           

un carré n x n est quadrillé en n2 cases à la façon d'un échiquier. Il s'agit de placer n2 entiers naturels distincts afin que la somme des entiers trouvés en ligne, en colonne et dans les deux diagonales soit toujours la même (c'est la constante magique du carré, n en est l'ordre). Si la somme des diagonales diffère de la somme des lignes et colonnes, le carré est dit semi-magique.

Si C désigne la constante du carré, on doit avoir, en ligne par exemple, nC = 1 + 2 + ... + n2, donc :

Il existe évidemment des variantes décidées par le "constructeur" :

8
1
6
3
5
7
4
9
2

 Ce carré magique, dit Lo Shu (écrit de Lo), apparut, selon une légende remontant à plus de 2000 ans, sur le dos d'une tortue sortant de la rivière Lo (rivière chinoise). C'est le seul carré magique normal d'ordre 3 (à une permutation près des termes).


Quelle est nécessairement la constante d'un carré magique normal ? 

Variantes ludiques :     

-1

-3

2

1
à compléter - Manuel 5ème - 1991 - Collection Pythagore, Ed. Hatier
obtenu par manipulation soustractive du Lo Shu...
4/5

3/5

1/2
 

1/5

4/3

8/3

 

 

2

 

80
45
320

  

180
à compléter - Manuel 3ème - 1992 - Collection Pythagore, Ed. Hatier

Carré latin, carré gréco-latin :

Il ne faut pas confondre carré magique et carré latin : les cases d'un tel carré n × n sont remplies par des mêmes lettres distinctes en ligne et en colonne. On utilise donc n lettres (remarquer ici les permutations circulaires sur les lignes et les colonnes) :

a
b
c
b
c
a
c
a
b
carré latin

Un carré obtenu par juxtaposition de deux carrés latins d'ordre n de sorte que l'on obtienne des couples distincts deux à deux (n2 couples distincts) est dit gréco-latin (l'un utilise des lettres latines, l'autre des lettres grecques afin de distinguer les couples obtenus, d'où l'appellation).

La table de Pythagore d'une loi d'un groupe fini est un carré latin. Ces carrés furent étudiés par Euler. On les rencontre aussi en théorie des graphes.

Cube magique :

Source infos : Le Figaro, 06/01/2004, Le plus petit cube magique parfait par Caroline de Malet; Site de Christian Boyer (réf. 1).

En 1640, Fermat compliquait le sujet en inventant les cubes magiques constitués d'empilages de n carrés magiques n × n tels que toutes les lignes, colonnes et piliers (colonnes verticales) ainsi que les quatre diagonales principales ont la même somme en utilisant là les entiers naturels de 1 à n3. La constante magique est ici :

En 1866, l'anglais A. H. Frost découvre un cube magique parfait pour signifier un cube magique dans lequel tout carré extrait d'ordre n, horizontal, vertical ou diagonal est magique. Le cube magique de Fermat (ci-contre, source : réf.1) est d'ordre 4. Un mathématicien américain de l'université d'Arizona, Richard Schroeppel, prouva (1972) qu'il n'existe pas de cube magique parfait d'ordre 3 et 4.

Dès lors, la recherche de cubes parfaits d'ordre au moins égal à 5, difficile problème combinatoire, est relancée. D'autant que Schroeppel avait aussi prouvé (1976) que si un cube magique parfait d'ordre 5 existe, alors son nombre central (centre du niveau 3) ne peut être que 63 (on pourra lire la preuve de ce résultat en réf. 1).

En septembre 2003, avec l'aide des ordinateurs, l'allemand Walter Trump (professeur de mathématiques et physiques) exhibait un cube magique d'ordre 6 et deux mois plus tard, le français Christian Boyer (ingénieur du CNAM, informaticien) et Walter Trump exhibaient un cube magique d'ordre 5 avec, effectivement, 63 au centre. Depuis, on a découvert des cubes magiques parfaits d'ordre 7 à 12 et, toujours en 2003, Christian Boyer découvrait un cube magique parfait d'ordre 8192 !

Carrés et cubes  multimagiques :

On parle de bimagique, de trimagique, etc. pour exprimer qu'un carré (ou cube) magique le reste lorsque tous ses éléments sont élévés au carré, au cube, etc. Le cube d'ordre 8192 de Christian Boyer est tétramagique parfait : il reste magique parfait par élévation de tous ses éléments à la puissance 4 !


 Pour en savoir beaucoup plus sur ce célèbre sujet :

  1.   Site très documenté de Christian Boyer, spécialiste du sujet, carrés et cubes magiques et multimagiques (versions Fr, En et De) : http://www.multimagie.com/
  2. Notes on magic squres and cubes, site de Wlater Trump (en anglais) : http://www.trump.de/magic-squares/
  3. Magic Square sur le MathWorld d'Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html
  4. Le semi-groupe libre des carrés magiques (niveau universitaire), par Lionel Cozar :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/JTNB/JTNB_1996__8_1/JTNB_1996__8_1_243_0/JTNB_1996__8_1_243_0.pdf
  5. HISTOIRE D'ALGORITHMES, Ch. 2, par une équipe d'enseignants (IREM, IUFM, CNRS).
    Ed. Belin - Collection Regards sur la science - 1993


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