ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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THALÈS de Milet, grec, -624?/-548?

Astronome, commerçant, ingénieur et philosophe. Bien qu'il n'ait laissé aucun écrit, on peut le considérer, de par sa doxographie (ensemble des récits anciens le concernant), comme le père de la géométrie déductive grecque héritée des Babyloniens et des Égyptiens.

Thalès affirma en particulier des résultats susceptibles de faire sourire quelques élèves de collège habitués au "c'est forcé", mais il faut voir là, 300 ans avant Euclide, les premières ébauches d'une pensée universelle, source de la science occidentale et d'une civilisation intellectuelle que l'on appela le miracle grec :

• Un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables.

• Les angles à la base d'un triangle isocèle, du grec iso = égal et skelos = jambe : ayant deux côtés de même mesure) sont superposables.

• Deux angles "opposés par le sommet" (formés par deux droites sécantes) sont superposables (même mesure).

Plus intéressant, ce résultat au programme de la classe de 4ème, qu'un élève de 5ème peut aussi parfaitement prouver à partir du rectangle et de la symétrie centrale :

Tout angle « inscrit » dans un demi-cercle est un angle droit

A son retour d'Égypte où il étudia l'astronomie, Thalès fonda l'École ionienne où il enseigna principalement cette science. Il y aurait affirmé ( ci-dessous), mais cela est contesté, la sphéricité de la Terre déduite en particulier de l'observation de l'ombre de la Terre sur la Lune lors des éclipses. Selon le philosophe Aetius d'Antioche (4ème siècle), il fut le premier à affirmer que la Lune nous apparaissait car illuminée par le Soleil.

L'astronomie moderne de R. Tocquet, préface de Louis Leprince-Ringuet (1965) : (...) Thalès étudia l'astronomie chez les Égyptiens et, revenu dans son pays, créa l'École ionienne où il enseigna la cause des éclipses, l'obliquité de l'écliptique et, fait remarquable, l'isolement et la sphéricité de la Terre.  (...) Malheureusement, Anaximandre (-610/-547), son disciple et successeur à la tête de l'École,  introduisit les sphères de cristal sur lesquelles les astres étaient attachés comme des clous à une voûte. Elles devaient s'imposer jusqu'au 16è siècle  dans l'esprit d'un grand nombre d'astronomes. (...).

Quoi qu'il en soit, philosophes et historiens s'accordent pour dire que Thalès mettait l'eau comme principe de l'Univers car :
"Ce qui est chaud a besoin d'humidité pour vivre, et ce qui est mort se dessèche, et tous les germes sont humides, et tout aliment est plein de suc; or, il est naturel que chaque chose se nourrisse de ce dont elle provient; mais l'eau est le principe de la nature humide et ce qui entretient toutes choses; donc il est conclu que l'eau était le principe de tout et déclaré que la Terre repose sur l'eau". Doxographie de Thalès de Milet par Simplicius (philosophe néoplatonicien, vers 500 après J.-C.).

Aetius d'Antioche précise cette belle conception :
"Thalès, Pythagore et son école : la sphère du ciel entier est divisée par cinq cercles; ce sont l'arctique toujours visible, le tropique d'été, l'équateur, le tropique d'hiver, l'antarctique invisible. Le zodiaque est oblique sur les trois cercles du milieu et les touche tous les trois. Le méridien coupe les cinq à angle droit, allant du nord à l'opposé".

Et il ressort que l'univers serait en quelque sorte une bulle flottant sur l'eau...

Le point de vue de Pythagore :

On lui doit cependant sans conteste l'observation de l'inclinaison de l'écliptique (du grec ekleipsis = éclipse, ekleiptikos = orbite du soleil, plan où se produisent les éclipses) : l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre est inclinée par rapport au plan de l'équateur terrestre.

Plus tard, Euclide, à l'époque d'Aristarque, sans doute influencé par des idées platoniciennes, estimait l'obliquité de l'écliptique à 24° et correspondant donc à l'angle sous lequel on voit le côté du pentadécagone (dit aussi pentédécagone) régulier (15 côtés).

Obliquité de l'écliptique :

Thalès expliqua le phénomène des éclipses. Il est souvent dit que Thalès avait prédit une éclipse totale de Soleil (-585). Aucune preuve n'étaye cette assertion relevant plutôt de la légende. La prévision d'une éclipse (la Lune occulte le Soleil) demande non seulement des moyens géométriques puissants mais aussi des calculs trigonométriques (sphériques de surcroît) éminemment complexes (on parle d'ailleurs de calculs astronomiques...), voire des éphémérides, qui ne seront à la disposition des astronomes que dans quelques siècles grâce, en particulier, à Euclide (vers 300 av. J.-C.) pour la géométrie, et les astronomes Conon de Samos, Aristarque, Hipparque et Ptolémée.

Ce dernier, vers 150 ap. J.-C., ne présenta d'ailleurs qu'une théorie approximative du mouvement de la Lune. Il faudra attendre Galilée, puis Newton et Cassini (15 siècles plus tard...) pour une théorie rigoureuse de prévision de ces phénomènes. Les éclipses de Lune, localement plus nombreuses, permirent des prévisions grâce aux observations précoces des Chaldéens et des Égyptiens : les premiers avaient établi une règle empirique selon laquelle une éclipse de Lune ou de Soleil se reproduit sensiblement dans les mêmes conditions après 223 lunaisons, période appelée Saros, soit environ 18 ans et 11 jours puisqu'une lunaison (mois lunaire : intervalle entre deux nouvelles lunes) dure 29 jours, 12 heures et 44 minutes (et 2,8 secondes très précisément). Après tout, Thalès a peut-être eu un peu de chance, en tout cas, à Paris, il n'y eut aucune éclipse totale de Soleil au 19è siècle alors qu'une eut lieu en 1724. Tout comme celle du 11 août 1999, l'éclipse du 17 avril 1912 ne fut pas totale à Paris.

Pour en savoir plus :

• Les éclipses, par Paul Couderc (1899-1981, astronome, Observatoire de Paris) - Que sais-je ? n°940, P.U.F. - Paris, 1961

• L'astronomie moderne, par Robert Tocquet, préface de Louis Leprince-Ringuet - Éd. Les Productions de Paris, 1965
• Penseurs grecs avant Socrate. De Thalès de Milet à Prodicos

La célèbre propriété était déjà connue des Babyloniens : la découverte de ce fameux théorème lui servit, dit-on à calculer la hauteur des pyramides en utilisant la proportionnalité entre leurs hauteurs et celle d'un bâton planté verticalement :

Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :

En d'autres termes :

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels

Ces proportions fondamentales ( pour un rappel, cliquez-moi) permettront de résoudre de nombreux problèmes de construction, en géométrie bien sûr mais aussi (et surtout) en ses applications : architecture, topographie, dessin industriel, mécanique (bielles, agrandissement, réduction), etc.

Le résultat reste valable lorsque la droite (MN) coupe le prolongement des côtés (figure de droite) : on parle alors parfois de configuration de Thalès croisée :

  Un exercice faisant usage de la propriété réciproque

On a dessiné ci-dessous un rectangle, une de ses diagonales et une droite parallèle au plus grand côté (sa longueur) de mesure 10. On demande de calculer la mesure du segment coloré en rouge en considérant les autres mesures indiquées. Rép : 3√5.

On a dessiné ci-dessous un rectangle de longueur AB = 7 et largeur AD = 5 (mesures non respectées sur le dessin). On suppose de plus que AI = 3 et AJ = 5,16. On ne demande PAS de refaire la figure en vraie grandeur. Niveau 4ème : Quelle est la mesure exacte de la diagonale [AC] ? Les droites (IJ) et (DC) sont-elles parallèles ? Niveau 1ère S : peut-on calculer IJ ?
Rép : AC = √74. Si les droites (IJ) et (DC) sont parallèles,  alors AI/AD = AJ/AC, donc 3/5 = 5,16/√74. Faux car le 1er membre est exactement 0,6 alors que le second vaut approximativement 0,5998. On peut calculer IJ au moyen du théorème d'Al-Kashi en commençant par calculer l'angle ^IAJ. La suite est laissée au lecteur...

La propriété de Thalès permet de construire aisément, à la règle et au compas (construction au sens d'Euclide) le point M d'un segment [AB] tel que AM/AB = 1/n ou bien tel que AM/AB = a/b :

Ci-dessus, on a choisi de placer M tel que AM/AB = 1/5 et N tel que AN/AB = 3/5. Pour ce faire :

• Tracer une droite quelconque passant par A. On peut, sans restreindre la généralité, choisir la perpendiculaire à [AB] passant par A;

• Par symétries centrales successives, reporter 5 longueurs égales;
• Par le dernier point obtenu, ici appelé E, tracer (BE);
• La parallèle à (BE) passant par le premier point C fournit M tel que AM/AB = 1/5;
• La parallèle à (BE) passant par le troisième point D fournit M tel que AN/AB = 3/5.

Configuration croisée et construction des points M de (AB) tels que MA/MB = a/b :

On en déduira la hauteur SA = DE x OA/OE. Donc, pour votre prochain voyage au pays des pharaons...

Par point constructible du plan, on entend "à la règle et au compas". Cela sous-entend que l'on s'est donnés préalablement certains éléments : point(s), droite(s), cercle(s) rendant possible cette "construction à la règle et au compas".

Par exemple : le milieu d'un segment [AB], où A et B sont deux points donnés du plan, est constructible : il est l'intersection de [AB] avec la droite (médiatrice de [AB]) passant par les deux points d'intersection des cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A.

  Euclide , Platon

Si, dans un repère du plan, un nombre est l'abscisse ou l'ordonnée d'un point constructible, on dira que ce nombre est constructible. Il est facile (et intéressant) de vérifier géométriquement que l'ensemble des nombres constructibles, est un sous-corps de R (corps des nombres réels) contenant le corps Q des rationnels.

• Une droite est constructible si deux de ses points le sont.

• Un cercle est constructible si son centre (point) est constructible et si son rayon (nombre) l'est aussi.

Par exemple :

  Étant donnés a et b constructibles, on construira leur produit ab en écrivant la proportion :

et si b = a, on obtient la construction du carré de a.

 

   Étant donné y constructible, on construira une fraction a/b de y en écrivant que si x = a/b x y, alors

On pourra aussi facilement construire une moyenne proportionnelle, c'est à dire un nombre x tel que x/a = b/x, c'est à dire : x² = ab où a et b sont des nombres constructibles donnés sachant que dans un triangle rectangle ABC de hauteur AH, on a :

AH² = HB.HC                    

duplication du cube : selon Ménechme , selon Eudoxe

On construit un segment [BC] contenant H tel que BC = BH + HC = a + b. On trace le demi-cercle supérieur de diamètre BC. La droite perpendiculaire à [BC] passant par H coupe le demi-cercle en A. On a x = AH car le triangle ABC est rectangle en A. si b = 1, on a alors construit la racine carrée de a.

Relations métriques dans le triangle rectangle

Construction de la racine carrée d'un nombre

Spirale de Théodore de Cyrène pour la construction de n (n entier)

Le corps des nombres constructibles, noté ici C , est stable par passage à la racine carrée : si x appartient à C, alors la racine carrée de x est aussi élément de C. On dit que C est un corps pythagoricien (appellation en hommage à Pythagore qui "découvrit" les nombres irrationnels. A noter que C est aussi le plus petit corps pythagoricien inclus dans R.

Wantzel et les nombres constructibles :

Pour en savoir plus :

• Théorie des corps, la règle et le compas, Jean-Claude Carrega, Hermann, 1989 - 1997

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Ahmès   Pythagore

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