ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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THALÈS de Milet, grec, -624?/-548?   |   Anaximandre de Milet, grec, -610/-547       » Thalès et les mathématiques | Propriété de Thalès | Droite des milieux | Point et nombre constructibles            Partage d'un segment dans un rapport donné | Ombre et hauteur des pyramides

Astronome, géomètre, commerçant, ingénieur et philosophe. Bien qu'il n'ait laissé aucun écrit, on peut le considérer, de par sa doxographie, ensemble des récits anciens le concernant, comme le précurseur de la science grecque et le père de la géométrie déductive héritée des Babyloniens et des Égyptiens.

à son retour d'Égypte où il étudia l'astronomie, Thalès fonda l'École ionienne où il enseigna principalement cette science. Il y aurait affirmé, mais cela est contesté, la sphéricité de la Terre déduite en particulier de l'observation de l'ombre de la Terre sur la Lune lors des éclipses (» réf.3) :

» L'astronomie moderne de R. Tocquet, préface de Louis Leprince-Ringuet (1965) : "Thalès étudia l'astronomie chez les Égyptiens et, revenu dans son pays, créa l'École ionienne où il enseigna la cause des éclipses, l'obliquité de l'écliptique et, fait remarquable, l'isolement et la sphéricité de la Terre.  (...) Malheureusement, Anaximandre (-610/-547), son disciple et successeur à la tête de l'École,  introduisit les sphères de cristal sur lesquelles les astres étaient attachés comme des clous à une voûte. Elles devaient s'imposer jusqu'au 16è siècle  dans l'esprit d'un grand nombre d'astronomes".

Cependant, la grande majorité des historiens en philosophie et cosmologie soutiennent que Thalès prônait une théorie selon laquelle la Terre est plate et circulaire, reposant sur l'eau principe fondamental de l'Univers et de toute chose (» réf.4), une pensée plus philosophique que scientifique :

» Doxographie de Thalès de Milet par Simplicius (philosophe néoplatonicien, vers 500 après J.-C.) : "Ce qui est chaud a besoin d'humidité pour vivre, et ce qui est mort se dessèche, et tous les germes sont humides, et tout aliment est plein de suc; or, il est naturel que chaque chose se nourrisse de ce dont elle provient; mais l'eau est le principe de la nature humide et ce qui entretient toutes choses; donc il est conclu que l'eau était le principe de tout et déclaré que la Terre repose sur l'eau".

» Aetius d'Antioche (Syrie, 4è siècle), diacre puis évêque des chrétiens d'Orient, précise cette conception :
"Thalès, Pythagore et son école : la sphère du ciel entier est divisée par cinq cercles; ce sont l'arctique toujours visible, le tropique d'été, l'équateur, le tropique d'hiver, l'antarctique invisible. Le zodiaque est oblique sur les trois cercles du milieu et les touche tous les trois. Le méridien coupe les cinq à angle droit, allant du nord à l'opposé".

Si la Terre est sphérique, Pythagore et son école pouvaient bien sûr décrire les parallèles fondamentaux de notre planète dont les tropiques, mais certainement pas Thalès convaincu d'une planète plate. à ce propos, tropique provient du grec tropikos formé sur tropein = tourner et  tropê = tour, révolution. Ce qui sous-entend une connaissance de l'inclinaison de l'écliptique par rapport à l'équateur ou, tout au moins, par rapport à l'axe du disque planétaire de Thalès. Et quid de la rotation de la Terre sur elle-même ?

En tant qu'au premier rang des géomètres et astronomes de son époque, nul doute que Thalès avait étudié le cheminement apparent annuel du Soleil dans le plan de l'écliptique (du grec ekleipsis = éclipse, ekleiptikos = orbite du soleil), pour signifier le plan où se produisent les éclipses (conjonction Terre-Lune-Soleil), plan dont on sait depuis Kepler qu'il est en fait le plan de révolution des planètes du système solaire autour du Soleil.

» Ératosthène , Hipparque , At-Tusi

Dans ce contexte, il aurait prédit une éclipse de soleil en -585 (la Lune occulte le Soleil : alignement Soleil-Lune-Terre), mais cela reste encore de nos jours sujet à caution (» réf.7, pages 94-96) car le système solaire selon Thalès, très rudimentaire, ne peut permettre de telles prévisions et les éphémérides (tables astronomiques de données statistiques) sur le sujet sont insuffisantes bien que le phénomène des éclipses fut connu des Chaldéens (Mésopotamie) depuis au moins 500 ans comme en témoignent des tablettes babyloniennes et Ptolémée dans son Almageste. 

Il faudra attendre Galilée, puis Newton et Cassini pour une théorie rigoureuse de prévision des éclipses de Soleil. Les éclipses de Lune, localement plus nombreuses, permirent des prévisions grâce, là encore, aux observations précoces des Chaldéens mais aussi des Égyptiens : les premiers avaient établi une règle empirique selon laquelle une éclipse de Lune ou de Soleil se reproduit sensiblement dans les mêmes conditions après 223 lunaisons, période appelée Saros, soit environ 18 ans et 11 jours puisqu'une lunaison (mois lunaire : intervalle entre deux nouvelles lunes) dure 29 jours, 12 heures et 44 minutes (et 2,8 secondes très précisément).

La mécanique céleste d'un disciple et ami de Thalès, Anaximandre de Milet (-610/-547), philosophe, astronome et géographe apparaît plus convaincante (» réf.7, pages 97-99). Il avait introduit et perfectionné en Grèce le cadran solaire et, plus généralement, le gnomon, dont la paternité revient vraisemblablement aux astronomes babyloniens.

 i  Le gnomon est constitué d'un socle horizontal sur lequel est élevé verticalement une tige de hauteur variable. Il permet de mesurer la hauteur (angle par rapport à la verticale ou l'horizontale. Face au Soleil, l'ombre portée indique la hauteur du Soleil (héliotrope). Ce fut un outil fondamental de l'astronomie antique pour constater en particulier la durée de l'année solaire, les périodes d'équinoxes et de solstices (» réf.8 & 9, Hipparque).

Le cadran solaire possède une tige (le gnomon) dans l'axe du cadre, inclinée suivant la latitude du lieu. Le cadran doit être orienté plein sud, l'ombre de la tige doit indiquer midi (XII) lorsque le Soleil est au méridien, c'est à dire au plus haut (» réf.10).

Pierre-François Méchain et la mesure du temps : »

Selon Anaximandre, la Terre, centre du Monde, est isolée au sein d'un univers infini et organisé (l'Apeiron). La Terre ne flotte pas sur l'eau comme le pense Thalès car son isolement central dans l'univers ne peut lui conférer une quelconque translation ou chute dans une direction ou une autre. Selon Hoefer (» réf.7, pages 97-99), il aurait affirmé sa sphéricité bien que certains historiens de l'Antiquité lui attribuent une interprétation cylindrique...

Anaximandre est considéré comme un des premiers géographes de l'histoire de l'humanité. L'usage de ses instruments (gnomons), l'observation des phases de la Lune, l'observation de l'horizon variable selon l'altitude, la diminution de la hauteur apparente des constellations en voyageant vers le sud, l'apparition progressive du mat  puis de la coque des navires s'approchant des côtes depuis l'horizon ne pouvaient lui échapper. Il est donc vraisemblable qu'il fut convaincue de la nature sphérique des astres. D'autres sources indiquent qu'il aurait également affirmé l'inclinaison de l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre par rapport au plan de l'équateur terrestre. Il serait le premier à avoir constaté l'obliquité de l'écliptique évaluée à un quinzième de cercle, soit 360/15 = 24° et aurait compris le phénomène des équinoxes et des solstices. Mais aucune source ne fait allusion à la rotation propre de notre planète autour d'un axe.

» Eratosthène , Hipparque

Selon Anaximandre, dans le plan de l'écliptique, enchâssées dans des sphères de cristal, gravitent les autres planètes du système solaire reconnues comme telles à l'époque par leur déplacement par rapport aux étoiles fixes : Mercure, Mars, Vénus, Jupiter et Saturne. Cette cosmologie annonce celle d'Eudoxe de Cnide et ses sphères homocentriques. On sait aujourd'hui, depuis les découvertes de Kepler au 17è siècle, que la Terre et les autres planètes sont approximativement sphériques et tournent autour du Soleil selon des orbites elliptiques dans le plan de l'écliptique dont un foyer est ce dernier et que c'est l'axe de rotation Nord-Sud de la Terre qui est incliné sur l'écliptique d'environ 23° 27'.

At-Tusi et l'obliquité de l'écliptique : »

300 ans après Thalès, à l'époque du génial Aristarque de Samos qui émit sans succès l'hypothèse de l'héliocentrisme (la Terre tourne autour du Soleil et sur elle-même), l'illustrissime géomètre Euclide d'Alexandrie, sans doute influencé par des idées platoniciennes, estimait l'obliquité de l'écliptique à 24° correspondant à la mesure de l'angle sous lequel on voit le côté du pentadécagone (dit aussi pentédécagone) régulier (15 côtés), ce qui n'est pas sans évoquer le nombre d'or...

                 La Lune, les éclipses (C'est pas sorcier, France3) : »            » Méton , Aristarque , Ptolémée

Thalès affirma en particulier des résultats susceptibles de faire sourire quelques élèves de collège habitués au "c'est forcé", mais il faut voir là, 300 ans avant Euclide, les premières ébauches d'une pensée universelle, source de la science occidentale et d'une civilisation intellectuelle que l'on appela le miracle grec :

1. Un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables.

2. Les angles à la base d'un triangle isocèle (du grec iso = égal et skelos = jambe : ayant deux côtés de même mesure) sont superposables.

3. Deux angles "opposés par le sommet" (formés par deux droites sécantes) sont superposables (même mesure).

 ➔   Plus intéressant est ce résultat au programme de la classe de 4ème, qu'un élève de 5ème peut aussi parfaitement prouver à partir du rectangle et de la symétrie centrale :

Tout angle « inscrit » dans un demi-cercle est un angle droit

Autrement dit :

Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle en le sommet opposé à ce diamètre

Déjà connu des Babyloniens (et approximativement conservé ad vitam par tous les collégiens de nombreuses décennies...), la redécouverte de ce célèbre résultat géométrique lui servit à calculer la hauteur des pyramides en utilisant la proportionnalité entre leurs hauteurs et celle d'un bâton planté verticalement :

Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :

En d'autres termes :

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels.

En savoir plus sur la proportionnalité : »

 ➔  La même figure que ci-dessus générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer les points et les droites pour constater l'égalité et/ou l'invariance des rapports

Ces proportions fondamentales permettront dès lors de résoudre de nombreux problèmes de construction, en géométrie bien sûr mais aussi (et surtout) en ses applications : architecture, topographie, mécanique (bielles, agrandissement, réduction), dessin industriel, etc.

Inversement (propriété réciproque) :    

l'égalité des deux premiers rapports, à savoir : , assure le parallélisme des droites (AA') et (BB')

Le théorème de Thalès se prolonge aux configurations triangulaires suivantes étudiées au collège, où les droites (d) et (d') concourent en un point (correspondant au cas où les points A et A' sont confondus) :

Étant donné un triangle ABC, si une droite parallèle au côté [BC] coupe (AB) en M et (AC) en N, alors les triangles ABC et AMN ont leurs côtés proportionnels :

            

Il y a ici deux configurations, la seconde, ci-dessus à droite, souvent appelée configuration de Thalès croisée (ou papillon) se produit lorsque la droite (MN) coupe le prolongement des côtés du triangle ABC au-delà de A.

∗∗∗ 
Un exercice faisant usage de la propriété réciproque

∗∗∗
On a dessiné ci-dessous un rectangle, une de ses diagonales et une droite parallèle au plus grand côté (sa longueur) de mesure 10. On demande de calculer la mesure du segment coloré en rouge en considérant les autres mesures indiquées. Rép : 3√5.

∗∗∗
On a dessiné ci-dessous un rectangle de longueur AB = 7 et largeur AD = 5 (mesures non respectées sur le dessin). On suppose de plus que AI = 3 et AJ = 5,16. On ne demande PAS de refaire la figure en vraie grandeur. Niveau 4ème :
Quelle est la mesure exacte de la diagonale [AC] ? Les droites (IJ) et (DC) sont-elles parallèles ? Niveau 1ère S : peut-on calculer IJ ?

Indications : AC = √74. Si les droites (IJ) et (DC) sont parallèles, alors AI/AD = AJ/AC, donc 3/5 = 5,16/√74. Faux car le 1er membre est exactement 0,6 alors que le second vaut approximativement 0,5998. On peut calculer IJ au moyen du théorème d'Al-Kashi en commençant par calculer l'angle ^IAJ...

 La droite "des milieux" :    

En particulier, si M est le milieu de [AB] et (MN) parallèle à (BC), alors N est le milieu de [AC] et la mesure de [BC] est double de celle de [MN]. Inversement, si M est le milieu de [BC] et N celui de [AC], alors (MN) // (BC) et MN/BC = 1/2 : la mesure de [BC] est double de celle de [MN].

Partage d'un segment dans un rapport donné : »          Ombre et hauteur des pyramides : »          Point constructible : »

 ➔   Pour en savoir plus :

1. Théorie des corps, la règle et le compas, Jean-Claude Carrega, Hermann, 1989 - 1997

2. a) Les éclipses, par Paul Couderc (1899-1981, astronome, Observatoire de Paris), Que sais-je ? n°940, P.U.F. - Paris, 1961.
   b) La Lune, les éclipses , vidéo YouTube (émission c'est pas sorcier, France3) :
   https://www.youtube.com/watch?v=V60UrRY5L-k

3. L'astronomie moderne, par Robert Tocquet, préface de Louis Leprince-Ringuet, Éd. Les Productions de Paris, 1965
4. Penseurs grecs avant Socrate. De Thalès de Milet à Prodicos, Éd. Flammarion, 1993
5. a) L'astronomie babylonienne : https://fr.wikipedia.org/wiki/Astronomie_mésopotamienne
   b) L'astronomie de l'ancienne Égypte : https://fr.wikipedia.org/wiki/Astronomie_dans_l'Égypte_antique
6. Le Système du Monde, tome 1, La cosmologie hellénique, Ch. III, pages 111-129, par Pierre Duhem (1861-1916) sur Gallica :
   http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97527176

7. Histoire de l'astronomie depuis ses origines jusqu'à nos jours, par Ferdinand Hoefer (1811-1878) :
   a) https://books.google.fr/books?id=X79KAAAAMAAJ

8. Les gnomons, page Wikipédia (très complète sur le sujet) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Gnomon

9. Le gnomon d'Anaximandre sur Jstor (inscription préalable) : https://www.jstor.org/stable/24354713

10. Les cadrans solaires et leurs réglages sur YouTube :
    a) Comment fonctionne un cadran solaire (source FR3, C'est pas sorcier)
    https://www.youtube.com/watch?v=LQav-g_aKuE
    b) Comment construire un cadran solaire horizontal ou vertical :
    https://www.youtube.com/watch?v=9KABr_pcbpo

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Ahmès (Ahmose)   Pythagore

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