ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

THALÈS de Milet, grec, -624?/-548?
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Thalès et les mathématiques | Propriété de Thalès | Droite des milieux | Point et nombre constructibles
           Partage d'un segment dans un rapport donné | Ombre et hauteur des pyramides

Astronome, commerçant, ingénieur et philosophe. Bien qu'il n'ait laissé aucun écrit, on peut le considérer, de par sa doxographie, ensemble des récits anciens le concernant, comme le précurseur de la science grecque et le père de la géométrie déductive héritée des Babyloniens et des Égyptiens.

à son retour d'Égypte où il étudia l'astronomie, Thalès fonda l'École ionienne où il enseigna principalement cette science. Il y aurait affirmé (» ci-dessous), mais cela est contesté, la sphéricité de la Terre déduite en particulier de l'observation de l'ombre de la Terre sur la Lune lors des éclipses. Selon le philosophe Aetius d'Antioche (4è siècle), il fut le premier à affirmer que la Lune nous apparaissait car illuminée par le Soleil.

» L'astronomie moderne de R. Tocquet, préface de Louis Leprince-Ringuet (1965) : (...) Thalès étudia l'astronomie chez les Égyptiens et, revenu dans son pays, créa l'École ionienne où il enseigna la cause des éclipses, l'obliquité de l'écliptique et, fait remarquable, l'isolement et la sphéricité de la Terre.  (...) Malheureusement, Anaximandre (-610/-547), son disciple et successeur à la tête de l'École,  introduisit les sphères de cristal sur lesquelles les astres étaient attachés comme des clous à une voûte. Elles devaient s'imposer jusqu'au 16è siècle  dans l'esprit d'un grand nombre d'astronomes. (...).

Quoi qu'il en soit, philosophes et historiens s'accordent pour dire que Thalès mettait l'eau comme principe de l'Univers car :
"Ce qui est chaud a besoin d'humidité pour vivre, et ce qui est mort se dessèche, et tous les germes sont humides, et tout aliment est plein de suc; or, il est naturel que chaque chose se nourrisse de ce dont elle provient; mais l'eau est le principe de la nature humide et ce qui entretient toutes choses; donc il est conclu que l'eau était le principe de tout et déclaré que la Terre repose sur l'eau". Doxographie de Thalès de Milet par Simplicius (philosophe néoplatonicien, vers 500 après J.-C.).

Aetius d'Antioche précise cette belle conception :
"Thalès, Pythagore et son école : la sphère du ciel entier est divisée par cinq cercles; ce sont l'arctique toujours visible, le tropique d'été, l'équateur, le tropique d'hiver, l'antarctique invisible. Le zodiaque est oblique sur les trois cercles du milieu et les touche tous les trois. Le méridien coupe les cinq à angle droit, allant du nord à l'opposé".

Le point de vue de Pythagore : »

On lui doit sans conteste l'observation de l'inclinaison de l'écliptique (du grec ekleipsis = éclipse, ekleiptikos = orbite du soleil, plan où se produisent les éclipses) : l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre est inclinée par rapport au plan de l'équateur terrestre. Plus tard, Euclide, à l'époque d'Aristarque, sans doute influencé par des idées platoniciennes, estimait l'obliquité de l'écliptique à 24° et correspondant donc à l'angle sous lequel on voit le côté du pentadécagone (dit aussi pentédécagone) régulier (15 côtés).

Obliquité de l'écliptique : »

Les éclipses :    

Thalès expliqua le phénomène des éclipses et il est souvent dit que Thalès avait prédit une éclipse totale de Soleil en l'an -585. Aucune preuve n'étaye cette assertion relevant plutôt de la légende. La prévision d'une éclipse (la Lune occulte le Soleil) demande non seulement des moyens géométriques puissants mais aussi des calculs trigonométriques (sphériques de surcroît) éminemment complexes (on parle d'ailleurs de calculs astronomiques...), voire des éphémérides, qui ne seront à la disposition des astronomes que dans quelques siècles grâce, en particulier, à Euclide (vers 300 av. J.-C.) et l'usage de sa géométrie.

»  Conon de Samos , Aristarque , Hipparque , Ptolémée

Les lunaisons :    

Thalès, vers 150 ap. J.-C., ne présenta qu'une théorie approximative du mouvement de la Lune. Il faudra attendre Galilée, puis Newton et Cassini (15 siècles plus tard...) pour une théorie rigoureuse de prévision de ces phénomènes. Les éclipses de Lune, localement plus nombreuses, permirent des prévisions grâce aux observations précoces des Chaldéens et des Égyptiens : les premiers avaient établi une règle empirique selon laquelle une éclipse de Lune ou de Soleil se reproduit sensiblement dans les mêmes conditions après 223 lunaisons, période appelée Saros, soit environ 18 ans et 11 jours puisqu'une lunaison (mois lunaire : intervalle entre deux nouvelles lunes) dure 29 jours, 12 heures et 44 minutes (et 2,8 secondes très précisément). Après tout, Thalès a peut-être eu un peu de chance, en tout cas, à Paris, il n'y eut aucune éclipse totale de Soleil au 19è siècle alors qu'une eut lieu en 1724. Tout comme celle du 11 août 1999, l'éclipse du 17 avril 1912 ne fut pas totale à Paris.

»  Lagrange , Cassini , Méton , Eclipse & distance Terre-Lune , Parallaxe


Thalès et les mathématiques :

Thalès affirma en particulier des résultats susceptibles de faire sourire quelques élèves de collège habitués au "c'est forcé", mais il faut voir là, 300 ans avant Euclide, les premières ébauches d'une pensée universelle, source de la science occidentale et d'une civilisation intellectuelle que l'on appela le miracle grec :

  1. Un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables.

  2. Les angles à la base d'un triangle isocèle (du grec iso = égal et skelos = jambe : ayant deux côtés de même mesure) sont superposables.

  3. Deux angles "opposés par le sommet" (formés par deux droites sécantes) sont superposables (même mesure).

      

    Plus intéressant est ce résultat au programme de la classe de 4ème, qu'un élève de 5ème peut aussi parfaitement prouver à partir du rectangle et de la symétrie centrale :

Tout angle « inscrit » dans un demi-cercle est un angle droit

Autrement dit :

Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle en le sommet opposé à ce diamètre

 

Propriété (ou théorème) de Thalès :

Déjà connu des Babyloniens (et approximativement conservé ad vitam par tous les collégiens de nombreuses décennies...), la redécouverte de ce célèbre résultat géométrique lui servit à calculer la hauteur des pyramides en utilisant la proportionnalité entre leurs hauteurs et celle d'un bâton planté verticalement :

Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :

En d'autres termes :

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels.

En savoir plus sur la proportionnalité : »

 !  Certains pensent ou écrivent que l'on a aussi, dans les conditions ci-dessus, l'égalité des rapports AA'/BB' et BB'/CC' ou autre abomination similaire... Il n'en est rien en général comme on peut le concevoir mentalement en déplaçant (CC') parallèlement : AA'/BB' ne change évidemment pas, ce qui n'est pas le cas de BB'/CC'.

Cette erreur est sans doute due à la configuration particulière du théorème de Thalès enseignée au collège : le cas où les droites (d) et (d') sont sécantes en A = A'. Dans cette configuration "triangulaire" étudiée au collège , la propriété de Thalès exprime que les triangles ABB' et ACC' sont semblables. La notion de triangles semblables fut enseignée au collège jusqu'à l'apparition  des mathématiques dites "modernes" au début des années 1970.

   La même figure que ci-dessus générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer les points et les droites pour constater l'égalité et/ou l'invariance des rapports
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Ces proportions fondamentales permettront dès lors de résoudre de nombreux problèmes de construction, en géométrie bien sûr mais aussi (et surtout) en ses applications : architecture, topographie, mécanique (bielles, agrandissement, réduction), dessin industriel, etc.

Inversement (propriété réciproque) :    

l'égalité des deux premiers rapports, à savoir : , assure le parallélisme des droites (AA') et (BB')

Propriété de Thalès, version collège :

Le théorème de Thalès se prolonge aux configurations triangulaires suivantes étudiées au collège, où les droites (d) et (d') concourent en un point (correspondant au cas où les points A et A' sont confondus) :

Étant donné un triangle ABC, si une droite parallèle au côté [BC] coupe (AB) en M et (AC) en N, alors les triangles ABC et AMN ont leurs côtés proportionnels :

            

Il y a ici deux configurations, la seconde, ci-dessus à droite, souvent appelée configuration de Thalès croisée (ou papillon) se produit lorsque la droite (MN) coupe le prolongement des côtés du triangle ABC au-delà de A.

Inversement (propriété réciproque) de ce cas particulier :  

L'égalité des rapports AM/AB = AN/AC assure le parallélisme des droites (MN) et (BC)

 !  Nombreux sont les élèves qui, en présence de rapports inégaux concluent au non parallélisme en invoquant la réciproque de la propriété de Thalès : Faux, ce qui est en défaut ici c'est la propriété de Thalès elle-même.

En effet, si les droites sont parallèles, alors les rapports AM/AB et  AN/AC sont égaux. Par conséquent si ces rapports ne sont pas égaux, les droites ne peuvent pas être parallèles : car si elles l'étaient, les rapports seraient égaux... :  » raisonnement par l'absurde.

 
Un exercice faisant usage de la propriété réciproque


On a dessiné ci-dessous un rectangle, une de ses diagonales et une droite parallèle au plus grand côté (sa longueur) de mesure 10. On demande de calculer la mesure du segment coloré en rouge en considérant les autres mesures indiquées. Rép : 3√5.


On a dessiné ci-dessous un rectangle de longueur AB = 7 et largeur AD = 5 (mesures non respectées sur le dessin). On suppose de plus que AI = 3 et AJ = 5,16. On ne demande PAS de refaire la figure en vraie grandeur. Niveau 4ème :
Quelle est la mesure exacte de la diagonale [AC] ? Les droites (IJ) et (DC) sont-elles parallèles ?
Niveau 1ère S : peut-on calculer IJ ?

Indications : AC = √74. Si les droites (IJ) et (DC) sont parallèles, alors AI/AD = AJ/AC, donc 3/5 = 5,16/√74. Faux car le 1er membre est exactement 0,6 alors que le second vaut approximativement 0,5998. On peut calculer IJ au moyen du théorème d'Al-Kashi en commençant par calculer l'angle ^IAJ...

 La droite "des milieux" :    

En particulier, si M est le milieu de [AB] et (MN) parallèle à (BC), alors N est le milieu de [AC] et la mesure de [BC] est double de celle de [MN]. Inversement, si M est le milieu de [BC] et N celui de [AC], alors (MN) // (BC) et MN/BC = 1/2 : la mesure de [BC] est double de celle de [MN].


Partage d'un segment dans un rapport donné : »          Ombre et hauteur des pyramides : »          Point constructible : »

 

J'apprends à rédiger configuration de Thalès dans le triangle   niveau 4ème
J'apprends à rédiger configuration croisée de Thalès   niveau 3ème
Propriété de Thalès configuration "croisée"     niveau 3ème
Construction du point M de (AB) tel que MA/MB = a/b     niveau 4ème/3ème
Construction de la racine carrée d'un nombre
Spirale de Théodore de Cyrène pour la construction de √n (n entier)
Trisection d'un segment      niveau 3ème/2nde
Propriété de Thalès ou barycentre   au choix !
Pythagore, Thalès, une pincée d'algèbre et une pincée de trigonométrie...   construction géométrique

Un peu de tout !..   niveau 3ème

Relations métriques dans le triangle rectangle

Échelles croisées   propriété de Thalès ou équations de droites

Problème de construction     niveau 3ème/2nde

»  voir aussi...


    Pour en savoir plus :


Ahmès (Ahmose)   Pythagore
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