ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Observer, démontrer : somme des angles d'un triangle
#3 niveau 5ème
» rappel de cours » #1 , #2 |
La figure ci-dessous, en forme de fer de lance n'est pas codée. L'objectif est de calculer l'angle au sommet sachant que :
• La figure admet un axe de symétrie ;
• La figure contient 5 segments de même mesure ;
• La figure
contient 3 angles aigus de même mesure ;
• La figure
contient 4 angles obtus de même mesure ;
• La figure n'est pas truquée : des segments ou des angles semblant égaux, le sont vraiment !
Tu peux donner un nom à chaque sommet, par exemple, A, B, C, ...
♦ Mesurer un angle avec un rapporteur fournit toujours une mesure approchée : tu peux mesurer l'angle au sommet de la figure avec ton rapporteur : tu devrais trouver 36°. Et c'est vrai !
♦ Mais si l'angle mesure en réalité 35,9° ou 36,12°, ton rapporteur ne te le dira pas !
♦ N'oublie pas que dans un contexte scientifique il est nécessaire d'être très précis. Par exemple, en astronomie, pour le calcul de la position des astres, les angles ne sont pas calculés au degré près car cela impliquerait dans les calculs de graves accumulations d'erreurs de position !
Et voici la question : en utilisant les propriétés de la figure, calcule la mesure de l'angle au sommet.
| Solution : |
La présence d'un axe de symétrie indique qu'il s'agit de la droite (AD). Les angles ^B et ^C ont donc même mesure. De même ^F = ^E.
Notons x la mesure de l'angle au sommet ^CAB.
• Selon les hypothèses, les trois angles aigus ^CAB, ^DFC et ^DEF ont même mesure.
• Les angles ^CDB et ^FDE étant opposés par le sommet, ils ont même mesure et selon les hypothèses, on peut affirmer que les quatre angles obtus ^ACD, ^ABD, ^CDB et ^FDE ont même mesure.
• Dans le triangle FDE, on a ^FDE = 180° - x - x = 180° - 2x. Pas suite ^CDB = 180 - 2x.
La somme des angles d'un quadrilatère (que l'on peut considérer comme réunion de deux triangles), est égale à 360°. On peut alors écrire une équation simple :
360 = x + 3(180 - 2x)
On a alors successivement :
360 = x + 540 - 6x
360 = 540 - 5x
5x = 540 - 360
5x = 180
x = 180/5 = 36
L'angle au sommet mesure bien 36°.