ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Gamme & notes de musique de Pythagore à nos jours

On attribue souvent à Pythagore l'origine d'une musique établie rationnellement par l'étude des sons émis par des cordes tendues (lyres, cithares), le son étant d'autant plus aigu que la corde est raccourcie. Rappelons que la fréquence fondamentale du son émis est inversement proportionnelle à la longueur de la corde.

On connaît les 7 notes fondamentales de la musique : do, ré, mi, fa, sol, la, si. Sur le clavier d'un piano, après le si revient le do : cela fait 8 notes; on parle d'octave (du latin octavus = huitième). Pour écouter, cliquer sur le pianiste...

Le 3ème la du clavier est le son émis par un diapason. La frappe de ce la 3 fait vibrer la corde correspondante du piano (en fait 2 cordes) à une fréquence de 440 Hz (elle a varié au cours des âges mais est aujourd'hui normalisée) : c'est le nombre d'oscillations par seconde de la corde. Vous pourrez remarquer que le la 3 est le son émis par la tonalité des téléphones fixes. Pour écouter, cliquer sur le téléphone...

Heinrich Rudolf Hertz (1857 - 1894) fut un physicien allemand spécialiste de la propagation des ondes. La fréquence d'un mouvement vibratoire, comme le son, et plus généralement de tout phénomène périodique de période T (comme les ondes radioélectriques dites hertziennes : émises par les stations de radio et de télévision) est le nombre f = 1/T. L'unité de fréquence est le hertz (Hz) correspondant  à une période de durée 1 seconde.

Plus la fréquence est élevée (plus la corde est tendue), plus le son est aigu. La fréquence du la 2 est la moitié de celle du la 3 (220 Hz), celle du la 4 est 880 Hz. Dans les instruments à vent, le son sera d'autant plus aigu que le tube est plus fin et la vitesse de l'air plus rapide.

La construction des orgues liturgiques, pour la musique d'église, est d'une grande complexité et nécessite de nombreuses interventions pour accorder l'ensemble de leurs tuyaux sonores dont les caractéristiques (hauteur du son) changent en fonction de la température et de l'hygrométrie.

Les gammes :

Du grec gamma (γ), 3ème lettre de l'alphabet grec (bien connue des physiciens et des mathématiciens !) qui fut utilisée initialement au moyen âge par le moine bénédictin Guido d'Arezzo (990?-1050) pour en désigner la première note.

Plus tard, il utilisa l'hymne pour la fête de Saint Jean Baptiste du poète lombard Paul Warnefrid (Paul Diacre, 740-801) que l'on chantait vers par vers en montant d'un ton :

Ut queant laxis  Resonare fibris  Mira gestorum  Famuli tuorum 
Solve pulliti  Labii reatum Sancte Iohannes

Soit, sensiblement,

Pour que puissent résonner sur les cordes détendues de nos lèvres les merveilles de tes actions,
enlève le péché de ton impur serviteur ô Saint Jean"

Le si fut ajouté à la fin du 16è siècle. Son origine n'est pas claire mais souvent attribuée à Anselme de Flandres. Le do apparut en 1673 avec l'Italien Bononcini et il devint synonyme d'ut.

La gamme diatonique procède par tons et demi-tons : c'est celle de la musique occidentale depuis le 17è siècle, musique classique ou de variétés, que nous entendons si nous "chantons" les notes do - ré - mi - fa - sol - la - si do.

Une altération chromatique correspond à ½ en plus (le dièse : #) ou en moins (le bémol b). Au piano, on ne distingue pas entre le ré# et le mib. En fait, en toute précision, il y a un comma de différence : 1/9è de ton, 1 ton correspondant à 9/9.

La gamme chromatique, du grec khrôma = couleur du corps (humain) qui, par déformation du sens devient modulation, variation et prend curieusement sa place dans le vocabulaire de la musique. Cette gamme procède par demi-tons successifs.

Les notes en Allemagne et dans les pays anglo-saxons :   

Les Allemands et les Anglo-saxons utilisent encore les lettres A = la, B/H (Anglo-saxons/Allemands) = si, C (équivalent au γ) = do, D = ré, E = mi, F = fa, G = sol qui étaient en usage au 5ème siècle.

Évolution des fréquences en fonction de la note dans un octave :

Nous partons du do 3 de fréquence 264 Hz. Soit 1 sa fréquence prise comme unité; la fréquence du do 4 sera alors 2.

do mi fa sol la si do
C D E F G A B/H C
1 1 + 1/8 1 + 2/8 1 + 1/3 1 + 4/8 1 + 2/3 1 + 7/8 1 + 8/8
1 9/8 10/8 = 5/4 4/3 3/2 = 1,5 5/3 15/8 2
264 Hz 297 Hz 330 Hz 352 Hz 396 Hz 440 Hz 495 Hz 528 Hz

En fait, si on joue une note, on entend non seulement le son correspondant à la fréquence de cette note mais aussi en plus atténuée (amplitude plus faible) les multiples de cette fréquence : on appelle cet effet les harmoniques, terme dérivé du grec harmonia qui signifiait, en menuiserie et architecture, cheville, assemblage et, par là, ce qui est bien ajusté : harmonieux !

Le son obtenu est donc une superposition de phénomènes vibratoires régis par des fonctions sinusoïdales (on dit aussi harmoniques) de type :

s = asin(ωt + )

le nombre a est l'amplitude, ω est la pulsation définie par ω = 2π/T où T désigne la période, inverse de la fréquence, est la phase.

Concrètement, cette superposition produit le timbre de l'instrument sonore qui dépend des matériaux et de la forme de l'instrument. Raison pour laquelle, par exemple, deux violons apparemment identiques n'ont pas le même timbre : un Stradivarius (du nom du célèbre luthier italien Antonio Stradivari, dit Stradivarius, 1644-1737) peut être imité mais il est, selon les spécialistes, unique !

L'étude des cordes vibrantes sera, jusqu'au 19e siècle, un des grands problèmes des physiciens et des mathématiciens (liées aux équations aux dérivées partielles) : Daniel Bernoulli, Euler, d'Alembert, Lagrange, Laplace, Poisson...

Séries de Fourier et analyse harmonique :


 

 Pour en savoir plus, place aux spécialistes :

  1. Musique et suite harmonique (sur le site de Xavier Hubaut) : http://xavier.hubaut.info/coursmath/app/musique.htm
  2. La théorie de la musique : http://www.theoriedelamusique.com/
  3. Les gammes : http://www.inrp.fr/Acces/JIPSP/phymus/m_techni/gammes/gammes.htm
  4. La tradition arithmétique en musique, l'exemple de Gassendi, par Brigitte van Wymeer :
    http://www.peiresc.org/beta/wp-content/uploads/2014/06/VanWymeersch.pdf.

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