ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Pentagramme #2 (ou pentacle, symbole de ralliement de la secte Pythagoricienne)   niveau 1ère S  
      
pentagramme #1 (niveau 6ème)

On considère un pentagone régulier ABCDE. On trace ses diagonales. On obtient le pentagone JFGHI. Il est régulier, c'est bien évident et on l'admet.

On sait, par construction, que dans un pentagone régulier, le rapport de la diagonale au côté est égal au nombre d'or. On pourra admettre ce résultat.

 Le pentagone croisé (étoilé) ACEBD, « étoile » à 5 branches, est le pentagramme cher à Pythagore.

Ta mission : calculer le rapport exact entre les aires de ces pentagones.

 Si tu sèches après avoir bien cherché :

  pentagramme niveau 6ème , pentagone et décagone régulier , pentagone régulier selon Dürer


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Des considérations élémentaires permettent d'établir les résultats codés sur la figure ci-dessous.

Posons c = AF et considérons le triangle isocèle FBG. On a :

FG/2 = ccos72°, donc AG = c + 2ccos72

D'où : AG/FG = (c + 2ccos72)/ (2ccos72).

Soit :

On sait que ( étude du décagone régulier) :

où Φ désigne le célèbre nombre d'or vérifiant Φ - 1 = 1/Φ. Par suite, une belle formule :

AG/FG = 1 + Φ = Φ2

et le rapport des aires est donc finalement :

(Φ2)2 = Φ4

Prolongement : construction d'un angle de mesure π/5 :      

On remarque que (√5 +1)2 =  6 + 2√5 = 2(3 + √5). Un angle de 72° correspond, en radians, à 2π/5. On connait la formule cos2x = 2cos2x - 1, ce qui permet d'établir facilement :

  Notons au passage que le sinus de cet angle remarquable est alors (vérifiez-le) :

Utilisant la valeur exacte de cos(π/5) ci-dessus, justifier la construction suivante :

Dans le quart de repère orthonormé (O,x,y) du plan, soit (c) le quart de cercle trigonométrique (centre O, rayon 1).

L'angle ^AOE mesure π/5 radians (soit 36°). En déduire une construction géométrique du pentagone régulier.

La construction d'Euclide :


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