ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Pyramide et somme des angles au sommet      TD niveau 4ème/3ème et lycée
        
niveau lycée

Considérons une pyramide de sommet S. Ses faces sont des triangles de sommet S. Sa base est polygonale. Elle est développable dans un plan contenant S : on obtient son patron. Ci-dessous, la base ABCD est un quadrilatère.

Pyramides, patrons et vraie grandeur :

Dans le développement de la pyramide (patron) suivant l'arête [SA], on obtient dans le plan les triangles disjoints SC'D' et SC"B : C'' ne se confond pas avec C' : la somme des mesures des angles de sommet S est (strictement) inférieure à 360°.

  On remarque que plus la pyramide est aplatie, plus la somme des angles est proche de 360°. On pourra se rendre compte du phénomène en "descendant" le sommet S de la pyramide ci-dessous :

Une preuve plus convaincante :

L'explication qui suit est largement inspirée de celles de Louis Benjamin Francœur (1773-1849), qui fut professeur au lycée Charlemagne, à l'École polytechnique et à la faculté des sciences de Paris. On pourra consulter l'ouvrage de référence Cours complet de mathématiques pures dédié à S. M. Alexandre Ier, empereur de Russie (1828) sur Google Books.

Théorème :      

La somme des mesures des angles plans composant l'angle au sommet d'une pyramide est inférieure à 360°.

Préliminaire :     

Étant donné un angle trièdre, chacun des angles plans qui le composent est inférieur (en mesure) à la somme des deux autres.

Soit Sxyz l'angle trièdre. Si les trois angles plans ont même mesure, la propriété est évidemment vérifiée. On peut maintenant supposer que le plus grand angle plan est ^xSy (éventuellement de même mesure qu'un des deux autres angles).

a) Un plan arbitraire coupe l'angle trièdre suivant le triangle ABC. Soit D le point de [AB] tel que ^BSD = ^ySz. Fixant A et B, on peut forcer le point C à vérifier SD = SC.

Considérons les triangles BSD et BSC, ils sont isométriques en vertu du 1er cas d'égalité des triangles. On en déduit BC = BD. Mais dans un triangle la mesure d'un côté est toujours inférieure à la somme des deux autres. Ainsi, BA < BC + CA et vu que BA = BD + DA, on en déduit DA < CA.

Considérons maintenant les triangles ASC et ASD. Ils ont en commun le côté [SA] et SC = SD. CA étant supérieur à DA, il peut paraître évident que ^ASC est supérieur à ^ASD.

Prouvons-le cependant. Examinons la situation en géométrie plane : représentons le triangle ASD et cherchons à représenter le triangle ASC dans le second demi-plan de frontière (SA).

Inégalités dans le triangle

Finalement :

 ^xSy = ^ASD + ^BSD < ^ASC + ^BSD.

d'où : ^xSy < ^xSz + ^zSy.

Notons maintenant A1A2...An la base polygonale d'une pyramide de sommet S et appliquons le résultat ci-dessus à chaque angle polyèdre de sommet Ai, i = 1,2,...n comme A2A1SA3 ci-contre en bleu foncé.

On aura :

A1A2A3 < A1A2S + SA2A3
A
2A3A4 < A2A3S + SA3A4
...
A
nA1A2 < AnA1S + SA1A2

Appelons Σ la somme cherchée des angles au sommet de la pyramide. En sommant membre à membre les inégalités ci-dessus, on obtient à gauche la somme des angles du polygone de base, c'est à dire (n - 2)180°.

Le membre de droite fournit la somme des angles à la base des faces de la pyramide. Par suite, si on note Si chaque angle au sommet, on obtient donc à droite :

(180° - S1) + (180° - S1) + ... + (180° - S1) = n180° - Σ

Ce qui conduit à Σ < 360°, ce qu'il fallait démontrer.

Ce résultat permet à Francœur de prouver qu'il existe au plus 5 polyèdres réguliers convexes. On pourra en lira la preuve aux pages aux pages 299/300 de son cours référencé ci-dessus ou ci-après : géométrie de Legendre (Francoeur y renvoie d'ailleurs le lecteur pour la constructibilité des polyèdres à 4, 6, 8, 12 et 20 faces) ou sur la page des polyèdres réguliers de Chronomath :

Il ne peut exister que 5 polyèdres réguliers :

Platon et les 5 polyèdres réguliers :


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