ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Relations métriques dans le triangle rectangle      niveau 3ème/2nde         

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A. On a tracé la hauteur [AH].

1. Comparer les angles des triangles ABC et HBA : on dit que que ABC et HBA sont des triangles semblables.

2. Déduire de 1° que l'on peut reproduire le triangle ABH en un triangle ADE, D étant situé sur [AB] avec AD = BH et E situé sur [AC] avec AE = AH. En justifiant le bon usage de la propriété de Thalès, prouver alors, avec les notations ci-dessus, que :

BA2 = BH x BC
BC2 = AB2 + AC2

3. En calculant de deux façons l'aire du triangle ABC, montrer que : BC x AH = AB x AC.

4. En élevant au carré l'égalité ci-dessus et en utilisant BC2 = AB2 + AC2, montrer que :

5. Comparer les angles des triangles ABH et CAH. Par analogie avec la question 2, montrer que :

AH2 = HB x HC

 C'est dire que dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse.

Si vous séchez après avoir bien cherché :      Triangles semblables (cas général) :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1. Les triangles ABC et HBA sont respectivement rectangles en A et H, l'angle ^ABC est commun aux deux triangles. Par conséquent, ^BAH = ^ACB. Les triangles ABC et HBA ont leurs angles respectivement égaux : ces triangles sont dits semblables.

 l'égalité ^BAH = ^ACB peut s'expliquer directement par une résultat souvent bien pratique :

deux angles dont les côtés sont respectivement perpendiculaires ont même mesure.

2. La figure animée justifie le parallélisme de (DE) et (BC) car elles déterminent avec la sécante (AC), ou (AB), des angles correspondants de même mesure.

             

L'utilisation de la propriété de Thalès conduit aux proportions :

AD / AB = AE / AC = DE / BC

soit, puisque AD = BH , AE = AH et DE = AB :

BH / AB = AH / AC = AB / BC

D'où l'égalité cherchée :

BA2 = BH x BC


 

3. Trop facile, pas d'indications !

4. Si BC x AH = AB x AC, alors BC2 x AH2 = AB2 x AC2.
Or BC2 = AB2 + AC2, donc :

(AB2 + AC2) x AH2 = AB2 x AC2

Exprimer alors AH2, passer aux inverses, simplifier. C'est gagné.

5. Pas de difficultés, donc pas d'indications !


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