ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Relations métriques dans le triangle rectangle      TD  niveau 3ème/2nde

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A. On a tracé la hauteur [AH].

♦ 1. Comparer les angles des triangles ABC et HBA : on dit que que ABC et HBA sont des triangles semblables.

♦ 2. Déduire de 1° que l'on peut reproduire le triangle ABH en un triangle ADE, D étant situé sur [AB] avec AD = BH et E situé sur [AC] avec AE = AH. En justifiant le bon usage de la propriété de Thalès, prouver alors, avec les notations ci-dessus, que :

• Justifier que l'on a de même : CA² = CH × CB.

   ➔  C'est dire que dans un triangle rectangle, le carré d'un côté de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par la mesure de sa projection sur l'hypoténuse. On peut aussi écrire BA² = BH × BC sous la forme BA/BC = BH/BA : un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection (orthogonale) sur l'hypoténuse.
   

• En ajoutant membre à membre les deux égalités ci-dessus, retrouver la relation de Pythagore dans le triangle rectangle ABC :

♦ 3. En calculant de deux façons l'aire du triangle ABC, montrer que : BC × AH = AB × AC.

♦ 4. En élevant au carré l'égalité ci-dessus et en utilisant BC² = AB² + AC², montrer que :

♦ 5. Comparer les angles des triangles ABH et CAH. Par analogie avec la question 2, montrer que :

 ➔  C'est dire que dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse.

♦ 1. Les triangles ABC et HBA sont respectivement rectangles en A et H, l'angle ^ABC est commun aux deux triangles. Par conséquent, ^BAH = ^ACB. Les triangles ABC et HBA ont leurs angles respectivement égaux : ces triangles sont dits semblables.

 ➔  l'égalité ^BAH = ^ACB peut s'expliquer directement par une résultat souvent bien pratique :

♦ 2. La figure animée ci-dessous justifie le parallélisme de (DE) et (BC) car elles déterminent avec la sécante (AC), ou (AB), des angles correspondants de même mesure :

L'utilisation de la propriété de Thalès conduit aux proportions :

soit, puisque AD = BH , AE = AH et DE = AB :

D'où l'égalité cherchée :

♦ 4. Si BC × AH = AB × AC, alors BC² × AH² = AB² × AC².
Or BC² = AB² + AC², donc :

Exprimer alors AH², passer aux inverses, simplifier. C'est gagné.

♦ 5. Pas de difficultés, donc pas d'indications !