ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Relations métriques dans le triangle rectangle      niveau 3ème/2nde         

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A. On a tracé la hauteur [AH].

1. Comparer les angles des triangles ABC et HBA : on dit que que ABC et HBA sont des triangles semblables.

2. Déduire de 1° que l'on peut reproduire le triangle ABH en un triangle ADE, D étant situé sur [AB] avec AD = BH et E situé sur [AC] avec AE = AH. En justifiant le bon usage de la propriété de Thalès, prouver alors, avec les notations ci-dessus, que :

BA2 = BH x BC
BC2 = AB2 + AC2

3. En calculant de deux façons l'aire du triangle ABC, montrer que : BC x AH = AB x AC.

4. En élevant au carré l'égalité ci-dessus et en utilisant BC2 = AB2 + AC2, montrer que :

5. Comparer les angles des triangles ABH et CAH. Par analogie avec la question 2, montrer que :

AH2 = HB x HC

 C'est dire que dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse.

Si vous séchez après avoir bien cherché :      Triangles semblables (cas général) :
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1. Les triangles ABC et HBA sont respectivement rectangles en A et H, l'angle ^ABC est commun aux deux triangles. Par conséquent, ^BAH = ^ACB. Les triangles ABC et HBA ont leurs angles respectivement égaux : ces triangles sont dits semblables.

 l'égalité ^BAH = ^ACB peut s'expliquer directement par une résultat souvent bien pratique :

deux angles dont les côtés sont respectivement perpendiculaires ont même mesure.

2. La figure animée ci-dessous justifie le parallélisme de (DE) et (BC) car elles déterminent avec la sécante (AC), ou (AB), des angles correspondants de même mesure :

 

L'utilisation de la propriété de Thalès conduit aux proportions :

AD / AB = AE / AC = DE / BC

soit, puisque AD = BH , AE = AH et DE = AB :

BH / AB = AH / AC = AB / BC

D'où l'égalité cherchée :

BA2 = BH x BC


 

3. Trop facile, pas d'indications !

4. Si BC x AH = AB x AC, alors BC2 x AH2 = AB2 x AC2.
Or BC2 = AB2 + AC2, donc :

(AB2 + AC2) x AH2 = AB2 x AC2

Exprimer alors AH2, passer aux inverses, simplifier. C'est gagné.

5. Pas de difficultés, donc pas d'indications !


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