ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Notion de géométrie projective

Introduction :     

Très abstraite en dehors de quelques généralités et principes de base exposés ci-dessous, la géométrie projective est relativement difficile à appréhender et requiert, avant de s'y plonger, une bonne connaissance en géométrie élémentaire et une bonne maîtrise de l'espace tridimensionnel, dans le cycle observation-représentation-interprétation, qu'un adolescent ne peut acquérir ou posséder au lycée. C'est pourquoi, en dehors de quelques uns de ses outils, comme l'usage des coordonnées barycentriques, de la division harmonique et des notions de polaires  restreintes à l'espace affine, elle n'a pas été enseignée dans l'enseignement secondaire.

La déferlante axiomatique de la période des mathématiques modernes a éliminé des programmes de mathématiques ces éléments fondamentaux de la géométrie projective, dont les rudiments dans les programmes étaient complétés par ceux de la géométrie descriptive de Monge.

Le retour à la géométrie pure (1985) s'est limité à la géométrie euclidienne et aux transformations affines répondant mieux à l'objectif "faire des mathématiques pour raisonner" en s'affranchissant des excès de la géométrie du triangle à laquelle était soumis l'enseignement des mathématiques depuis la seconde moitié du 19è siècle. Seconde moitié où les premiers besoins technologiques de l'ingénieur (fabrication, construction mécanique, architecture) se sont appuyés sur les géométries projective et descriptive. Leur usage dans ces applications industrielles est aujourd'hui suranné compte tenu de la complexité des objets et du manque de précision obtenue.

Il est fait ci-dessous une approche élémentaire de la géométrie projective basée sur la notion historique de perspective. Le lecteur intéressé trouvera au long de cette page et in fine des références bibliographiques et universitaires nécessaires à une étude approfondie.


Avec sa théorie des transversales, Pappus d'Alexandrie fut, au 3è siècle, le premier à exprimer une vision projective en géométrie, point de vue (sans jeu de mots...), repris par Desargues puis Pascal, mais principalement développée au 19è siècle par Chasles et son élève Poncelet en France, Möbius, Plücker, von Staudt en Allemagne, Véronèse et Cremona en Italie.

Qualifiée de supérieure jusque dans les années 1930, cette géométrie s'opposait à la géométrie euclidienne dite élémentaire et à la géométrie analytique (celle de Descartes faisant usage des coordonnées). On parlait aussi de géométrie synthétique, de géométrie de position ou de situation.

La géométrie projective repose sur la projection centrale (ou perspective, notion développée ci-après) et étudient les figures au point de vue de leurs positions respectives et des propriétés invariantes qui les lient dans une transformation géométrique, homographique tout particulièrement. Elle fait appel à la division harmonique, autrefois étudiée en classe terminale, au rapport anharmonique (birapport), à l'inversionl'involution, la transformation par polaires réciproques, la corrélation, l'homologie, la dualité, les coniques.

Cette géométrie permet d'établir de façon élégante des résultats de la géométrie élémentaire en évitant les discussions sur les cas particuliers de figures liées à l'existence de points d'intersection.

Désireuse de théoriser et compléter avec rigueur la géométrie euclidienne, mettant à mal le 5ème postulat et usant elle-même d'un principe assez flou (principe de continuité), elle n'a pas complètement convaincu malgré les efforts de Felix Klein et son programme d'Erlangen visant à l'intégration des diverses géométries (euclidiennes et non euclidiennes) dans une même théorie unificatrice basée sur les groupes de transformation. Les travaux de Klein marqueront d'ailleurs un point final à son extension au profit de la géométrie algébrique, dont les prémisses apparaissent avec Chasles au 19è siècle, où la géométrie projective, non délaissée, apparait alors comme un outil.

Notion de base de la géométrie projective : la perspective centrale

La perspective centrale de la géométrie projective (du latin perspicere = voir à travers qui a aussi donné perspicace, qui comprend vite), également appelée projection centrale ou projection conique est relative à une droite ou un plan : une telle projection, de centre O (œil de l'observateur), sur un plan (P) est l'application qui à tout point M d'une figure de l'espace associe le point M' de (P) tel que O, M et M' soient alignés.

Les points de (P) sont invariants. Cette perspective ne fournit pas d'image pour un point A du plan (Po)//(P) contenant O. Si (Po) est "pratiquement" parallèle à (P), le point image A' existe mais est "très loin" sur P : la position limite (Po)//(P) correspond à une image A' rejetée à l'infini.      exemple plan

  On peut concevoir une géométrie projective construite dans un monde surréaliste (S) à courbure constante, comme le fit Klein pour caractériser les géométries non euclidiennes. Auquel cas, la projection centrale ne se ferait pas sur une droite ou un plan mais sur un sous-espace de (S), variété algébrique de (S).

Le point M' est la perspective de M sur le plan (P). Suivant la position de l'observateur et du plan de projection, la perspective d'un objet peut différer : un cercle est généralement vu comme une ellipse mais il peut être vu comme un cercle; un carré peut devenir rectangle ou trapèze !

Bien que conservant l'alignement et l'intersection, la projection centrale ne conserve en général pas les milieux et par suite ne conserve ni le parallélisme ni les rapports de distance. Ne conservant pas les milieux (et le barycentre d'un système fini de points), la projection centrale n'est donc pas une application affine. C'est une transformation homographique non affine :

  Étude analytique d'une perspective centrale plane


 Une illustration d'une perspective centrale dont le centre est ici l'auréole du Christ.
Les noces de Cana, P. Véronèse, 1563 (Musée du Louvre), Source illustration : Wikipedia

Perspective cavalière (exercices élémentaires) :

Point projectif, droite projective, coordonnées homogènes, point à l'infini : 

En géométrie plane élémentaire (affine), on parle parfois de coordonnées homogènes d'un point M. Il s'agit en fait des coordonnées barycentriques : le plan étant rapporté à un repère affine, défini par un triplet (I,J,K) de points non alignés. Pour tout point M du plan, il existe trois réels x, y et z tels que :

x.MI + y.MJ + z.MK = avec x + y + z 0

Ces coordonnées sont dites barycentriques car M est le barycentre des points I, J et K affectés respectivement des poids x, y et z et on les qualifie d'homogènes lorsqu'on les assujettit à la condition x + y + z = 1 (normalisation).

Le cas x + y + z = 0 peut s'interpréter comme un point M "rejeté à l'infini". En effet, O désignant un point quelconque, la relation barycentrique peut s'écrire :

OM = 1/(x + y + z) . (x.OI + y.OJ + z.OK)

et si x + y + z tend vers 0, la distance OM devient infinie, d'où cette interprétation d'infinitude.

Les coordonnées barycentriques homogènes sont à distinguer des coordonnées homogènes de la géométrie projective.



Droite projective : 

On considère un plan affine E2 et son espace vectoriel associé 2 de dimension 2. Pour fixer les idées, E2 est le plan euclidien usuel (P) et 2 l'ensemble des vecteurs de ce plan (plan vectoriel).

On note (P*) le plan (P) privé de l'origine O et (2*) le plan vectoriel privé du vecteur nul. Soit (O, Ox, Ot) un repère de (P), (D) la droite d'équation t = 1 et M(x,t), t 0, un point de (P) dans ce repère.

Le vecteur v = OM de 2 définit une direction du plan et tout point de  (P*) situé sur la droite (OM), comme E, F ou G, se projette en un même point m, perspective de ces points sur (D).

La projection centrale n'est donc pas injective : 2 points distincts peuvent avoir même image. Décidons alors que ces points seront équivalents dans la perspective de centre O relative à (D) en écrivant :

A B O, A et B alignés (OA) et (OB) ont même direction v (vecteur de 2)

On définit ainsi manifestement une relation d'équivalence dans (P*). Pour tout point m de (OM) autre que O, les vecteurs OM et Om sont colinéaires : il existe un réel non nul k tel que OM = k.Om. La classe d'équivalence de M(x,t), notée ici M  s'identifie alors à m(x/t,1) sur (D) et est appelé point projectif. On dit que t est la coordonnée projective de M.

L'ensemble des points M constitue la droite projective (D) , notée traditionnellement P(2), P pour projectif.

Coordonnées homogènes :   

  Lorsque t est non nul, tout point M(kx,kt) avec k non nul définit le même point projectif M identifié à sa perspective m(x/t,1). Un tel couple (kx,kt) est un système de coordonnées homogènes du point projectif M.

Supposons maintenant que t soit nul, comme pour le point N(x,0) de la figure ci-dessus. (ON) a alors même direction que (OI). Ce cas pose problème car N n'a pas d'image et n'est l'image d'aucun point de (D) puisque (ON) // (D).

C'est ennuyeux mais, intuitivement, en utilisant le principe de perspective énonçant que deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini, adjoignons un tel point à (D), classe N de tels points N que nous notons
D pour exprimer que c'est le point à l'infini de D.

   Rails en gare de Paris-Montparnasse

De la sorte, on définit par notre projection une application bijective : 2*(D), f(v) = M et on peut identifier (D) à la droite D complétée par son point à l'infini :

(D) = (D) {∞D} avec M(x,t) = ∞D  ssi t = 0  

Plan projectif, droite de l'infini, coordonnées homogènes dans le plan projectif : 

Afin de définir un plan projectif, nous devons ici ajouter une dimension et nous placer dans l'espace de dimension 3. Le procédé précédent va nous permettre de construire un plan projectif conforme à la représentation concrète ci-dessous illustrant deux visions d'un pavage du plan : la première est euclidienne (vue d'avion), la seconde est projective (perspective centrale) :  

 Vision euclidienne

 Vision projective d'Alberti

Alberti Leone Battista (1404-1472), savant italien, philosophe, docteur en droit canon (règles régissant la foi catholique basées sur la Bible), peintre, sculpteur et architecte. Il s'intéressa à la perspective en édifiant implicitement les bases de la géométrie projective. La majorité de ses travaux sont malheureusement perdus.

Partant d'une configuration classique (O, I, J, K) de l'espace euclidien E3, d'espace vectoriel associé 3 de dimension 3, on étudie la perspective de centre O relativement au plan (P) parallèle à (xOy) passant par  K, d'équation t = 1. Comme précédemment, toute direction (OM) définie par un point M(x,y,t) de l'espace possède son image dans (P) à l'exception de celles pour lesquelles t = 0, comme, ci-dessous par tout point N(x,y,0) du plan (xOy) // (P).

C'est ennuyeux là encore, mais en utilisant le principe de perspective énonçant que deux plans parallèles se coupent en une droite à l'infini, nous allons adjoindre un telle droite à notre plan de projection (P) dont les éléments sont actuellement, comme dans le cas de la droite projective, les classes des points définis par la relation d'équivalence :

A B O, A et B alignés (OA) et (OB) ont même direction v (vecteur de 3)

Considérons un point N(a,b,0) dans le plan (xOy) et un point variable M(x,y,t), la droite (OM) pivotant en direction de (ON) : l'intersection m de (OM) avec (P) s'éloigne à l'infini. Lorsque (OM) = (ON), on a M N, c'est à dire M = N : la perspective de centre O "envoie" tous les points de (xOy) à l'infini.

L'ensemble des ces points à l'infini (également dits points impropres) est la classe, notée d, des points de (xOy). On l'appelle la droite de l'infini (ou la droite à l'infini). Par construction (en identifiant N et ON), cette droite s'interprète comme l'ensemble des directions du plan (P).



Prenez du recul ! : 3 faisceaux de droites parallèles convergent sur la droite de l'infini... (vignes près de Sérignac, Gard)

On peut maintenant le plan projectif (P) = P(3), identifié au plan (P) complété par la droite de l'infini :

(P) = (P) {d}  avec  M(x,y,t)d  ssi  t = 0

Coordonnées homogènes :   

Droite dans un plan projectif, équation d'une droite en coordonnées homogènes :

Soit (Q) un plan de l'espace E3 passant par O et (O,u,v) un repère de (Q). En considérant (Q) comme la réunion de toutes les droites passant par O dans le plan (O,u,v), une droite projective (D) s'obtient comme réunion des points projectifs définis par ces droites dans (P).

(D) est aussi la perspective de (Q) dans (P). On est en droit d'écrire (D) = (D) {D} où (D) est la droite de l'espace E3 intersection de (Q) et (P). L'équation de (Q) est de la forme ax + by + ct = 0, avec a, b et c non tous nuls. Donc, pour tout t non nul :

M(x,y,t)(D) il existe a, b et c non tous nuls tels que ax + by + ct = 0

On voit ainsi qu'une forme comme ax + by + cz = 0, équation d'un plan dans l'espace affine 3D correspond à l'équation d'une droite dans le plan projectif.

Le point à l'infini de (D) vérifie ax + by = 0, (a,b) distinct de (0,0); c'est la classe des points du plan (xOy) dont un représentant est (b,-a,0). Si (a,b) = (0,0), alors c est non nul : il s'agit du cas (Q) = (xOy).

Conservation de l'alignement par perspective centrale :

On se place ici dans l'espace, on considère la perspective de centre O par rapport à un plan (P). Soient A', B' et J' les uniques points d'intersection (ci-dessous) du plan (P) avec les droites respectives (OA), (OB) et (OJ).

Le plan (P) coupe le plan (OAB) suivant une droite (d), c'est donc (A'B'). Mais les plans (OAB) et (OAJ) coïncident. Ainsi (d) est aussi l'intersection de (P) et (OAJ); elle contient donc J' : A', B' et J' sont alignés.

       

Conservation du birapport de quatre points alignés :

Comme dit plus haut, la projection centrale ne conserve pas le rapport des distances : ce n'est pas une application affine. Mais elle conserve le birapport de quatre points alignés introduit par Desargues et que Chasles appela rapport anharmonique :

Avec les notations de la figure ci-dessus, I et J divisent respectivement le segment [AB] dans le rapport IA/IB et -JA/JB (car JA et JB sont de signes contraires). Le birapport des quatre points A, B, I, J, pris dans cet ordre, est le quotient de ces deux rapports (d'où l'appellation birapport) exprimés en mesure algébrique. On écrira :

Mais on peut préférer l'écrire sous la forme :

                                  

  La perspective centrale est celle des peintres et des architectes. Elle correspond à ce que voit l'œil : un œil assimilé à un point où convergeraient les rayons lumineux issus du site observé.

Une perspective de Rome : vue du pont Saint Angelo      

Mais la réalité est plus complexe car notre vision binoculaire (deux yeux), aidée par notre cerveau (interpréteur), "voit" le monde en relief. La conservation du birapport s'interprète concrètement comme notre capacité visuelle et cérébrale à évaluer les distances relatives entre les objets et par rapport à nous-mêmes, en tant qu'observateurs.

Preuve de l'invariance du birapport par projection centrale :               Birapport et inversion géométrique :

Attention à l'ordre des points, on ne peut pas écrire n'importe quel birapport ! Dans notre configuration, on remarquera, en passant par la forme produit ci-dessus, que le birapport [A, B, I, J] peut aussi s'écrire IA/JAIB/JB, soit AI/AJ : BI/BJ, c'est dire que : [A, B, I, J] = [I, J, A, B].

 

Lorsque le birapport vaut -1 (rapport harmonique), donc lorsque IA/IB = -JA/JB, les points sont dits en division harmonique. On dit aussi que I et J divisent harmoniquement le segment [AB] ou encore que I et J sont conjugués harmoniques par rapport à A et B.

  En savoir plus sur les divisions harmoniques... :

La dualité :

Poncelet définira la notion d'homologie et développera celles d'inversion, de polaires d'un point par rapport à un cercle ou à deux droites, de transformation par polaires réciproques et tout particulièrement le principe de dualité (qui fut principalement développé par Gergonne). Ce principe permet d'établir, quasiment sans démonstration, des théorèmes nouveaux en usant les correspondances ci-dessous :

Il en est ainsi par exemple de la droite de Pascal et du théorème de Brianchon, du théorème de Ménélaus et du théorème de Ceva.

  En savoir un peu plus sur les polaires... :

Interprétation projective et interprétation affine d'un énoncé (théorème de Pappus) :      

L'interprétation projective d'une configuration affine (et vice versa) peut, dans certains cas, permettre d'établir facilement un résultat a priori peu évident. Rappelons la configuration de Pappus d'Alexandrie :

Si deux triplets de points alignés (A, B, C) et (A', B', C') sont situés sur deux droites distinctes, alors les trois points d'intersection de (AB') avec (A'B) , (AC') avec (A'C) et (BC') avec (B'C) sont alignés.

Démontrons ce résultat en le considérant comme une configuration d'un plan projectif où la droite (αβ) est la droite à l'infini (ce qui, en projective, ne restreint pas la généralité) :

                 

La représentation affine équivalente exprime alors le parallélisme des droites (AB') et (A'B) d'une part, (AC') et (A'C) d'autre part.

Il nous faut démontrer que les droites (BC') et (CB') sont parallèles, ce qui impliquera l'appartenance de γ à (αβ). Deux cas se présentent : les droites (AB) et (A'B') sont concourantes ou parallèles. Le second cas est trivial, considérons le premier. Utilisant la propriété de Thalès, on a les égalités :

En vertu de la réciproque de la propriété de Thalès , Les droites (BC') et (CB') sont parallèles et le théorème de Pappus est ainsi démontré.

  Carnot , von Staudt , Plücker

Pour en savoir plus :

  1. Géométrie projective, cours et exercices corrigés par Jean-Claude Sidler. Éd. Dunod 1993 - 2è cycle universitaire
  2. La géométrie projective, par André Delachet - Éd. P.U.F., Que-sais-je n °1103 - Paris, 1964
  3. Géométries affine, projective et euclidienne, par Claude Tisseron
    Collection formation des enseignants et formation continue -Ed. Hermann - Paris, 1983.
  4. Géométrie projective, un TIPE de Donatien Bénéat dirigé par Philippe Caldero (univ. Lyon1) :
    http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/Beneat.geom.pdf

  5. Géométrie, par Michèle Audin (niveau L3/M1) - Ed. EDP Sciences (2006)

  6. Géométrie, classe de Terminale C-E, par Marcel Condamine
    Collection P. Vissio, Éd. Delagrave - Paris, 1971
  7. Traité de Mathématiques, tome 3, ch. 44 et suivants, par M. Chazel, H. Blanchard, Ch. Forest
    Éd. Hachette - Paris, 1969.
  8. L'infini est une droite comme les autres, par J. Marché et E. Brugallé sur le site images des Mathématiques du CNRS :
    http://images.math.cnrs.fr/L-infini-est-une-droite-comme-les-autres


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