ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrature :  calcul d'aires planes (du collège au lycée)            » Aire du rectangle , du triangle & du polygone , d'une boucle paramétrée | Aire & intégrale de Riemann | Autres cas (plan et espace)

Au sens étymologique, une quadrature est un calcul d'aire consistant à construire, à la règle et au compas (outils chers à Euclide...), un carré de même aire que le domaine considéré.

Par définition :    

L'aire d'une surface plane quelconque est égale au nombre (généralement non entier)
de carrés "unités" qu'elle contient

 ➔  Dans le langage courant, on parle de surface pour parler de l'aire. Par exemple, si vous achetez un terrain, vous allez demander quelle est sa surface. Vous auriez-dû dire quelle est son aire ? Ou bien : quelle est sa superficie ? Un terrain est une surface en tant que portion de face extérieure de notre planète ! Tout comme le sous-marin qui refait surface : face extérieure cette fois de l'océan et dont on se demande bien alors ce qu'est le fond de l'océan...

Tout cela n'est pas bien grave, et très méchant serait le professeur qui pénaliserait un élève pour cet abus de langage consistant à parler de surface au lieu de aire qui en est, on l'a compris, la mesure. Un abus de langage semblable est celui qui consiste à parler d'un angle (objet mathématique) égal à 45° (mesure de cet angle en degrés). On pourrait parler plus correctement d'un angle de mesure 45° ou tout simplement un angle de 45°.

La notion mathématique de surface algébrique : »

Unités d'aire :    

Un carré unité est un carré dont la mesure du côté est prise comme unité de longueur, son aire est 1 unité d'aire, notée 1 u.a.

•  L'unité étant le cm, l'aire d'un carré de 1 cm de côté est, par définition, 1 centimètre carré et on note 1cm². Un carré de 3 cm de côté contient 3 lignes de 3 carrés, soit 3 × 3 = 9 carrés de 1 cm de côté; son aire est donc 9 cm².

 !  Une erreur très classique au collège (et entendu au journal télévisé...) est la mauvaise interprétation des unités d'aire : que signifie la déforestation atteint 1000 km² par an ? Pour certains, voire beaucoup, tout se passe comme si on parlait d'un domaine équivalent à un carré de côté 1000 km. Non : il s'agit de 1000 unités de 1 km² (chacune équivalente à un carré de côté 1 km). En termes de carré équivalent, il s'agira d'un carré de côté √1000 ≈ 31,62 km. Il n'est pas interdit de penser que certains journalistes de télévision puissent faire ce même type d'erreur...

En agriculture et d'une façon générale pour les grands terrains, on utilise les unités suivantes :

• L'are (en abrégé a) ou décamètre carré :   
  cette unité correspond à 100 m², donc équivalent à la superficie d'un carré de 10 m de côté.
  Un décamètre mesure 10 m (du grec déca = dix), donc un are est égal à 1 dam carré (en abrégé 1 dam²)

• L'hectare (en abrégé ha) :    
  cette unité correspond à 10 000 m², donc à 100 ares, équivalent à la superficie d'un carré de 100 m de côté.

∗∗∗
Un terrain a une aire de 0,2 ha. Exprime cette aire en m² et calcule son prix de vente sachant que 1 dam² est vendu 2000 €
Rép. : 0,2 ha = 0,2 × 10 000 m² = 2000 m² = 20 dam². Le prix de vente est donc 40 000 €.

 ➔  En mathématiques, on utilise très souvent des nombres et des variables multipliés par eux-mêmes : par analogie géométrique, le carré d'un nombre n est le nombre n × n, noté n². Par exemple 9² = 81; 10² = 100.

Racine carrée d' un nombre : »

∗∗∗
Ci-dessous,  un carré du quadrillage étant pris comme unité d'aire (u.a.), évaluer l'aire du domaine colorié en jaune. Les coloriages bleu et rose vous donnent une indication pour la solution : procéder par différences; les flèches veulent vous faire remarquer un passage par certains milieux...
Réponse : 14 - (7 + 3) + 12 - (2 + 1/4) = 13,75. L'aire jaune mesure 13,75 u.a.

D'une façon générale, une quadrature sera un calcul d'aire basé sur la décomposition en carrés ou rectangles de la surface à évaluer :

 !  Il s'agit de bien distinguer la quadrature géométrique d'une figure donnée concrètement (déjà dessinée) et la quadrature géométrique d'une figure définie abstraitement par sa nature et ses dimensions (non dessinée).

Le célèbre problème de la quadrature du cercle fut la recherche de la construction, au sens euclidien de la règle et du compas, d'un carré de même aire qu'un cercle donné.

Le célèbre problème de la quadrature du cercle : »

• La quadrature d'un rectangle donné, et plus généralement d'un polygone donné (déjà dessiné) est toujours possible géométriquement à la règle non graduée (au sens d'Euclide) et au compas.

• Si un rectangle est caractérisé par ses seules dimensions L et l,  la quadrature sera réalisable pour une longueur L et une largeur l donnés constructibles. Construire la quadrature d'un rectangle de largeur 1, de longueur ³√2 = 2^1/3 est donc impossible (le symbole ³√ voulant signifier racine cubique) : » Wantzel.

Une unité de mesure (distance) étant choisie, L'aire du rectangle de longueur L unités et de largeur l unités est donnée par la formule A = L × l, obtenue en décomposant le rectangle en petits carrés de côté unité.

1. Ci-dessous : quelle est, en m², l'aire de la partie jaune dans le rectangle en supposant qu'elles représentent des allées de 80 cm de large dans un jardin rectangulaire de 35 m sur 12 m ?  Rep : 36,96 m²  (0,8 × 47 - 0,8²).

2. A droite : quelle est l'aire de la partie coloriée en bleu dans le carré dont le côté mesure 4 cm ?   Rep : 8 cm² (moitié de l'aire du carré).

Quadrature d'un rectangle donné (TD niveau 2nde) : »

 ➔  Le problème de la quadrature d'un rectangle défini par ses longueur et largeur L et l, revient à construire un carré dont le côté c vérifie c² = L × l. Comme déjà entrevu plus haut, il y a là, en toute rigueur, une difficulté : le choix de l'unité tel que L et l en soient des multiples, ce qui revient à la recherche d'un diviseur commun (on disait autrefois une partie aliquote commune, du latin aliquot = quelques, un certain nombre de fois). Supposons l donné et mesurable (constructible).

Par exemple :    

• Si L = 3l : l'aire est alors A = 3l². Il s'agit de construire un carré de côté c vérifiant c² = 3l², soit c = l√3. Ce côté c apparaît comme moyenne proportionnelle entre l et 3l et on sait construire un tel nombre :
  - on construit un segment AC = AH + HC de longueur l + 3l
  - on trace le demi-cercle de diamètre [AC].
  - La perpendiculaire à [AC] passant par H coupe le demi-cercle en B.
  Selon les relations métriques dans le triangle rectangle, on a BH² = HA × HC = 3l², donc c = BH.
   

• Si l = ¾L : on a 3L = 4l, donc A = 4/3 × l². On procéderait de la même façon que précédemment en construisant un segment AC = AH + HC de longueur 4/3 × l + l  et le procédé se généralise au cas l = a/b × L.
  » Pour construire, à la règle et au compas, un segment mesurant les 4/3 de l, il suffit d'utiliser la propriété de Thalès !

• Plus généralement, L et l étant constructibles, c² = L × l signifie  l/c = c/L et il s'agira là encore de construire une moyenne proportionnelle c entre l et L.

Exemple : pour procéder à la quadrature d'un rectangle dont l'aire est 15 cm², on peut choisir l = 3 cm et L = 5 cm :

L'aire A du triangle, comme le montre la figure ci-dessus, est la moitié de celle du rectangle dans lequel il s'inscrit : demi-produit d'un côté par la hauteur relative à ce côté :

A = ½ b × h.

• Le calcul de l'aire de toute ligne fermée polygonale se ramène à celle du triangle. Ci-dessus, l'aire d'un hexagone se ramène à la somme des aires de quatre triangles en traçant trois diagonales.

• Le cas d'un triangle rectangle ("moitié d'un rectangle") dont les côtés de l'angle droit mesurent a et b est ainsi  ½ a × b.

Quadrature d'un triangle donné (TD niveau 2nde/1ère) : »

 ➔    En désignant par c désignant la mesure du côté AB, la trigonométrie élémentaire dans le triangle rectangle fournit :

h = c × sin^A = a × sin^C

Par suite la formule A = ½b × h de l'aire du triangle s'écrit aussi :

A = ½bc × sin^A =  ½ab × sin^C

et au moyen du produit vectoriel, on a aussi cette belle formule :

A = ½ ||AB∧AC ||

Formule de Héron d'Alexandrie et autres expressions : »

On parle aussi de quadrature pour signifier le calcul d'un intégrale. Pour une fonction positive, l'intégrale de Riemann, reposant sur la notion de fonction en escalier, s'interprète comme une quadrature, somme d'aires de rectangles, et plus généralement, le terme quadrature désigne, en analyse, l'obtention d'un résultat par le calcul d'une intégrale.

l'intégrale de Riemann est une formalisation de la méthode d'Archimède pour le calcul de l'aire sous la parabole qui utilisait la méthode d'exhaustion initiée par Eudoxe et que reprendra Euclide dans ses Éléments.

La théorie des indivisibles de Cavalieri sera le trait d'union entre les "Anciens" et les "Modernes" que seront Newton et Leibniz à qui l'on reconnaît la paternité de ce qu'on appelle aujourd'hui le calcul différentiel et intégral. Les méthodes d'intégration approchée se sont affinées grâce au progrès de l'analyse (accélération de convergence) et l'apport de l'informatique.

Méthodes d'intégration approchée dans ChronoMath : »            Quadrature selon d'Alembert : »