ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrature :  calcul d'aires          Quadrature et intégrale , Autres cas

Au sens étymologique, une quadrature est un calcul d'aire consistant à construire, à la règle et au compas (outils chers à Euclide...), un carré de même aire que le domaine considéré.

Par définition :

L'aire d'une surface plane quelconque est égale au nombre (généralement non entier)
de carrés "unités" qu'elle contient

Dans le langage courant, on parle de surface pour parler de l'aire. Par exemple, si vous achetez un terrain, vous allez demander quelle est sa surface. Vous auriez-dû dire quelle est son aire ? Ou bien : quelle est sa superficie ? Un terrain est une surface en tant que portion de face extérieure de notre planète ! Tout comme le sous-marin qui refait surface : face extérieure cette fois de l'océan et dont on se demande bien alors ce qu'est le fond de l'océan... Tout cela n'est pas bien grave et très méchant serait le professeur qui pénaliserait un élève pour cet abus de langage consistant à parler de surface au lieu de aire qui en est, on l'a compris, la mesure. Un abus de langage semblable est celui qui consiste à parler d'un angle (objet mathématique) égal à 45° (mesure de cet angle en degrés).

La notion mathématique de surface algébrique :

Un carré unité est un carré dont la mesure du côté est prise comme unité de longueur, son aire est 1 unité d'aire : 1 u.a.

   L'unité étant le cm, l'aire d'un carré de 1 cm de coté est, par définition, 1 centimètre carré et on note 1cm².

   L'aire d'un carré de 3 cm de côté est 9 cm² car il contient 3 lignes de 3 carrés, soit 9 carrés de 1 cm de côté : 3 x 3  = 9. Le petit 2 en exposant dans 9 cm² signifie 1 cm  x  1 cm.

Une erreur très classique au collège (et entendu au journal télévisé...) est la mauvaise interprétation des unités d'aire : que signifie la déforestation atteint 1000 km² par an ? Pour certains, tout se passe comme si on parlait d'un domaine équivalent à un carré de 1000 km sur 1000 km ! Non : il s'agit de 1000 unités égales à 1 km² (équivalentes à un carré de côté 1 km). En termes de carré équivalent, il s'agira d'un carré de côté √1000 ≈ 31,62 km.

En mathématiques, on utilise très souvent des nombres et des variables multipliés par eux-mêmes : par analogie géométrique, le carré d'un nombre n est le nombre n x n, noté n². Par exemple 9² = 81; 10² = 100.

Racine carrée d' un nombre :

Un carré du quadrillage ci-contre étant pris comme unité d'aire (u.a.), évaluer l'aire du domaine colorié en jaune. Les coloriages bleu et rose vous donnent une indication pour la solution : procéder par différences; les flèches veulent vous faire remarquer un passage par certains milieux...
Réponse : 14 - (7 + 3) + 12 - (2 + 1/4) = 13,75. L'aire jaune mesure 13,75 u.a.

D'une façon générale, une quadrature sera un calcul d'aire basé sur la décomposition en carrés ou rectangles de la surface à évaluer :

  sur le plan strictement géométrique, il s'agira de bien distinguer la quadrature géométrique d'une figure donnée concrètement : déjà dessinée, et la quadrature géométrique d'une figure définie abstraitement par sa nature et ses dimensions (non dessinée).

Le célèbre problème de la quadrature du cercle fut la recherche de la construction, au sens euclidien de la règle et du compas, d'un carré de même aire qu'un cercle donné.

Le célèbre problème de la quadrature du cercle :

• La quadrature d'un rectangle donné, et plus généralement d'un polygone donné (déjà dessiné) est toujours possible géométriquement à la règle non graduée (au sens d'Euclide) et au compas.

• Si un rectangle est caractérisé par ses seules dimensions L et ,  la quadrature sera réalisable pour une longueur L et une largeur donnés constructibles. Par exemple, construire la quadrature d'un rectangle de largeur 1, de longueur est impossible : Wantzel.

Une unité de mesure (distance) étant choisie, L'aire du rectangle de longueur L unités et de largeur unités est donnée par la formule A =  L x , obtenue en décomposant le rectangle en petits carrés de côté unité.

1. A gauche : quelle est, en m², l'aire de la partie jaune dans le rectangle en supposant qu'elles représentent des allées de 80 cm de large dans un jardin rectangulaire
de 35 m sur 12 m ?  Rep : 36,96 m²  (0,8 x 47 - 0,8²).

2. A droite : quelle est l'aire de la partie coloriée en bleu dans le carré dont le côté mesure 4 cm ?   Rep : 8 cm² (moitié de l'aire du carré).

  Quadrature d'un rectangle donné (préalablement dessiné) :

Le problème de la quadrature d'un rectangle défini par ses dimensions L et , revient à construire un carré de côté c vérifiant c² = x L.

Comme déjà entrevu plus haut, il y a là, en toute rigueur, une difficulté : le choix de l'unité tel que L et en soient des multiples, ce qui revient à la recherche d'un diviseur commun (on disait autrefois une partie aliquote commune, du latin aliquot = quelques, un certain nombre de fois). Supposons donné et mesurable (constructible). Si, par exemple :

• L = 3 : on a alors A = 3². Il s'agit de construire un carré de côté c vérifiant c² = 3² (c = 3). Ce côté c apparaît comme moyenne proportionnelle entre et 3 et on sait construire un tel nombre : on construit un segment AC = AH + HC de longueur + 3; on trace le demi-cercle de diamètre [AC] : c = BH où B est obtenu en coupant le demi-cercle par la perpendiculaire à [AC] passant par H  relation métrique dans le triangle rectangle.

• = ¾L : on a 3L = 4, donc A = 4/3 x ². On procéderait de la même façon que précédemment en construisant un segment AC = AH + HC de longueur 4/3 x + et le procédé se généralise au cas = a/b x L mais comment construire,

• à la règle et au compas un segment mesurant les 4/3 de   ? il suffit d'utiliser la propriété de Thalès !

• Plus généralement, L et étant constructibles, c² = x L signifie  /c = c/L et il s'agira là encore de construire une moyenne proportionnelle c entre et L.

Exemple : procéder à la quadrature d'un rectangle dont l'aire est 15 cm². On peut choisir = 3 cm et L = 5 cm (construction figure de droite).

Le calcul de l'aire de toute ligne fermée polygonale se ramène à celle du triangle, laquelle, comme le montre la figure de gauche, est la moitié de celle du rectangle dans lequel il s'inscrit.

A = ½ b x h

Le cas d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent a et b est ainsi ½ a x b.

   Quadrature d'un triangle donné (préalablement dessiné) :

 c désignant le côté AB, l'application de la trigonométrie élémentaire montre que la formule ½b x h s'écrit aussi :

½bc x sin Â

 Au moyen du produit vectoriel, on a aussi cette belle formule :

½ ||AB AC ||

Formule de Héron et autres expressions :

On parle aussi de quadrature pour signifier le calcul d'un intégrale. Pour une fonction positive, l'intégrale de Riemann, reposant sur la notion de fonction en escalier, s'interprète comme une quadrature, somme d'aires de rectangles, et plus généralement, le terme quadrature désigne, en analyse, l'obtention d'un résultat par le calcul d'une intégrale.

l'intégrale de Riemann est une formalisation de la méthode d'Archimède pour le calcul de l'aire sous la parabole qui utilisait la méthode d'exhaustion initiée par Eudoxe et que reprendra Euclide dans ses Éléments.

La théorie des indivisibles de Cavalieri sera le trait d'union entre les "Anciens" et les "Modernes" que seront Newton et Leibniz à qui l'on reconnaît la paternité de ce qu'on appelle aujourd'hui le calcul différentiel et intégral. Les méthodes d'intégration approchée se sont affinées grâce au progrès de l'analyse (accélération de convergence) et l'apport de l'informatique.

Méthodes d'intégration approchée dans ChronoMath :             Quadrature selon d'Alembert :