Al Khwarizmi, algébriste

Al-Khwarizmi Muhammad ibn Moussa est originaire de Khiva (Ouzbékistan) dans l'ancienne province du Kharezm, également transcrit Khwarizm (Ouzbékistan actuel) et ancien nom de Khiva, d'où son nom (

Al-Biruni).

Il fut astronome sous le règne du Calife Abd Allah al Mahmoun (786-833) qui encouragea la philosophie et les sciences en ordonnant la traduction (827) des textes de la Grèce antique. C'est ainsi, par exemple, que fut connue l'œuvre de Ptolémée, dite Al majisti (la très grande) : l'Almageste.

La notoriété d'Al-Khwarizmi nous est parvenue à travers les siècles moins par ses talents d'astronome que par son intervention dans l'art du calcul algébrique : il est l'auteur du célèbre ouvrage Kitab Al jabr w'al mouqabala, translittération latine du titre arabe, soit : Livre sur la science de la transposition et de la réduction.

Ce traité, écrit à la demande du Calife Al Mamoun de Bagdad (813-833), place Al-Khwarizmi comme un des premiers algébristes, mais ces travaux auraient été inspirés de ceux de l'indien Brahmagupta. L'influence indienne se retrouve dans l'usage du système décimal positionnel pour lequel il développe les règles de multiplication, de division et d'extraction de racine carrée.

En trigonométrie, il est coutume d'attribuer à Al-Khwarizmi, dans un traité écrit à Bagdad, la volonté d'asseoir l'utilisation systématique de la demi-corde, équivalente à notre sinus dans un cercle de rayon 1, en remplacement des cordes de Ptolémée. Selon P. Youschkevitch, son ouvrage ne fut connu que vers l'an 1000 et sans doute complété par Abu Al Qasim Maslama, un astronome installé à Cordoue (Espagne).

Algèbre (14è siècle) vient de l'arabe al jabr utilisé par Al-Khwarizmi pour signifier la transposition (mot à mot reboutement, soit : remise en place, réparation) d'un terme d'un membre à l'autre d'une équation. Cette transposition se traduit essentiellement par l'ajout d'une même quantité dans les deux membres de l'équation afin d'éliminer les termes apparaissant en soustraction.

La mouqabala (mouqabal = opposé, face à face) est l'action consistant à supprimer les termes identiques dans les deux membres et à diviser éventuellement afin d'obtenir soit la solution (1er degré) soit une équation normée (dont le coefficient en x² est 1) dans le cas du second degré.

Les termes arabes désignant l'équation (muadala), l'inconnue (gezr = racine, ou cheï = chose) et le carré de l'inconnue (mahal) apparaissent. Al-Khwarizmi fait allusion aux nombres négatifs des mathématiciens Indiens mais ne les accepte pas comme solutions de ses équations. Elles ne seront pris en compte en occident qu'après Girard et Descartes et définitivement adoptés seulement après les travaux de Gauss !

Le terme racine est utilisé pour signifier "quelque chose de caché" qu'il s'agit de déterminer. Le même terme est utilisé pour désigner les nombres solutions d'équations comme x² = a, x³ = a correspondant aux racines carrée et cubique.

Afin de justifier le bien-fondé de ses calculs algébriques, Al-Khwarizmi prouva au préalable, comme le fit Euclide auparavant, certaines identités remarquables usuelles étudiées dès la classe de 3ème en utilisant le support géométrique des aires. En effet, on prouve en effet facilement par ce moyen aisément les deux formules ci-dessous :

car on constate, pour la première par exemple, que l'aire du carré de côté a + b est obtenue en ajoutant les aires des carrés grisés et deux fois celle des rectangles de dimensions a et b, d'aire ab. Avec Al-Khwarizmi et les autres algébristes arabes, comme Abu Kamil, on s'affranchit peu à peu du support géométrique au profit d'algorithmes algébriques déduits des observations géométriques.

Montrer que la figure ci-dessous illustre la formule détestée des élèves de 3ème... : a² - b² = (a + b) x (a - b)

Al-Khwarizmi énonça des règles algébriques de résolution d'équations du second degré qu'il ramène à la forme :

x² = a	les carrés égalent les nombres
x² = ax	les carrés égalent les racines
x² + ax = b	les carrés et les racines égalent les nombres
x² = ax + b	les carrés égalent les racines et les nombres
x² + a = bx	les carrés et les nombres égalent les racines

Les mathématiciens Arabes, encore très influencés par les Grecs, n'utilisent pas, contrairement aux mathématiciens Indiens, les nombres négatifs, ce qui explique les différents cas étudiés. On recherche une solution positive; un écriture comme x² + ax + b = 0 n'a pas encore de sens. Si un terme est en soustraction, on rétablit par transposition (al jabr). Le troisième degré sera traité principalement par Al-Khayyam, 300 ans plus tard.

Les résolutions d'Al-Khwarizmi sont semblables à la mise sous la forme canonique enseignée aujourd'hui :

Cette formule revient à écrire que l'aire jaune ci-contre est égale à l'aire du grand carré de côté x + 2 x a/4 = x + a/2, privée de l'aire des 4 carrés bleus de côté a/4.

Par exemple, l'équation x² + 12x = 133 peut s'écrire (x + 12÷2)² - 12²/4 = 133, soit (x + 6)² - 36 = 133. D'où par al jabr (ajout de 36 dans les deux membres) : (x + 6)² = 169. Par jizr (extraction de la racine carrée), une solution positive est alors obtenue par la simple équation du 1er degré : x + 6 = 13, soit x = 7.

La démarche méthodique et la puissance de ses calculs, par l'usage des chiffres arabes, valut à Al-Khwarizmi de voir son nom utilisé dès le 12è siècle en Occident : algorismo en espagnol, algorisme en français), mot formé sur son nom et sur le mot grec arithmos , signifiant nombre et qui a donné arithmétique = science du calcul. Les algorithmistes ou algoristes, calculant avec les chiffres arabes, s'opposèrent alors aux abacistes : ceux qui utilisaient les abaques (bouliers qu'utilisaient les grecs de l'Antiquité).

En mathématique et en informatique, l'algorithme peut se définir comme étant :

L'ensemble des règles et d'instructions à suivre, effectivement exécutables, permettant d'obtenir
un résultat clairement défini en un nombre fini d'étapes

L'algorithme est ainsi conséquence directe d'une bonne analyse (du grec analusis = décomposition) du problème.

AL-KHWARIZMI Muhammad, persan, vers 780-850 algorithme