ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PENROSE Roger, anglais, 1931-            représentations paradoxales de l'espace

Éminent physicien et mathématicien, Roger Penrose est diplômé de l'université de Cambridge. Sa thèse (1958) porte sur les méthodes tensorielles en géométrie algébrique.

Entre 1964 et 1973, il enseigne les mathématiques au Birkbeck College de Londres et rencontre le célèbre physicien Stephen W. Hawking, son compatriote, à qui l'on doit un célèbre ouvrage : Une brève histoire du temps, Trous noirs et bébés univers. Ils reçurent le prix Adams 1966 de l'université de Cambridge.

Ils travaillèrent ensemble sur une théorie de l'origine de l'univers. C'est ainsi que Penrose apporta sa contribution mathématique à la théorie de la relativité générale appliquée à la cosmologie et à l'étude des trous noirs. Professeur à Oxford, il reçut, avec Hawking, le prix Wolf 1988 pour la physique et fut anobli par la reine d'Angleterre en 1994.

  Ci-dessus, photo de R. Penrose, lors d'une conférence.
Source :
http://plus.maths.org/issue18/features/penrose/index.html Université de Cambridge

Certaines grosses étoiles peuvent, en fin de vie (réduction de l'énergie nucléaire due à la transformation de l'hydrogène en hélium) et en vertu de leur masse énorme, imploser (s'écrouler sur elle-même) plutôt qu'exploser. Sa densité devient fantastique ainsi que le champ de gravitation qu'elle engendre : capable de retenir les photons lumineux, elle devient invisible.

C'est un énorme piège à matière que l'on conçoit souvent comme une sorte d'entonnoir aspirant tout ce qui est à sa portée... La découverte de tels phénomènes date des années 1960 avec celle des quasars (QUAsi Stellar Astronomical Radiosources), noyaux de galaxies très éloignées (environ 15 milliards d'années-lumière) dont on soupçonne la présence en leur sein d'amas de matière de masse considérable non visible : des trous noirs.

Pavages de Penrose :

On sait, depuis le 19è siècle, que les milieux cristallins naturels possèdent de remarquables propriétés de symétrie. Ces symétries sont d'ordre 2, 3, 4 ou 6 (correspondant à 180°, 120°, 90° et 60°) mais jamais 5 : un tel ordre correspond, dans le plan, au pentagone régulier effectivement globalement invariant par rotation de 72° = 2π/5.

On constate ainsi que les ordres de symétrie cristalline de la nature conduisent à des angles remarquables "simples" conduisant à un pavage périodique de l'espace (tout pavage partiel possède un recouvrement par translation). Il n'en est pas de même avec 72° dont le cosinus vérifie :

F désigne le célèbre et irrationnel nombre d'or.

Il n'est pas dit ici que dame Nature n'aime pas l'ordre 5:
il suffit d'admirer une
étoile de mer ou de s'intéresser aux oursins...
 
lien externes de l'UFR de Biologie, Université Pierre et Marie Curie (Paris VI)

Dans le pentagone régulier, il existe deux triangles isocèles remarquables : type (A) : aigu et type (O) : obtus.

Prenons le côté du pentagone comme unité. En abaissant, dans chaque cas, la hauteur issue de A, on a, sachant que Φ = 2cos36° et vérifie l'équation Φ2 = Φ + 1  ou encore Φ - 1 = 1/Φ :

type (O) : BC = 2AB x cos 36°, donc BC = Φ ;

type (A) : 1/2 = AB x cos 72° = AB x (2cos2 36° - 1); ainsi : 1 = AB x (4cos236° - 2)
                    = AB
x (F2 - 2) = AB x (F - 1) = AB/F, donc AB = AC =  Φ.

Ces deux types de triangles, ou leurs semblables de côtés proportionnels à 1, 1, Φ ou Φ, Φ, 1, sont souvent appelés triangles d'or :

Triangles d'or (exercice) :

  Le triangle rectangle de côtés 3, 4, 5 est parfois triangle d'or pour sa qualité de triangle rectangle de mesures entières consécutives : 32 + 42 = 52. On le rencontre plus souvent sous l'appellation triangle égyptien.

Fabriquons maintenant deux losanges de côté Φ à partir des types (A) et (O). On remarquera que tout comme le losange jaune constitué de deux triangles d'or de type (A), le losange bleu est constitué de deux triangles d'or de type (O) : si 1 est le côté du pentagone générateur, les côtés de ces triangles mesurent Φ, Φ, Φ2  proportionnels à 1, 1, Φ :

Contrairement à une conjecture que l'on croyait bien assise, à savoir que tout pavage du plan peut se ramener à un pavage périodique, Penrose montra (1974) que l'on peut obtenir un pavage non périodique en faisant usage de ces deux seuls types de "tommettes" judicieusement  placées, faisant d'ailleurs apparaître deux types de décagones, éventuellement imbriqués, comportant chacun 5 pavés de type (A) et 5 pavés de type (O) :

Pavage de Penrose : l'illustration ci-dessous est issue de l'Encyclopedia Britannica, requête = quasicrystal :


© Encyclopedia Britannica - 1994

On peut également obtenir un pavage non périodique du plan avec les tommettes obtenues comme indiquées ci-dessous :


pavage (très) partiel obtenu pas à pas grâce à l'applet aujourd'hui disparue,
anciennement à l'adresse :
http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/1684/Penrose.html

 Pavages plans :

Les quasi-cristaux :

C'est en 1984 que le physicien israélien Dany Shechtman troubla l'ordre tranquille des symétries cristallines en réussissant un alliage d'aluminium et manganèse dont la structure, comparable aux cristaux naturels, présentait une symétrie d'ordre 5 avec la caractéristique d'être non périodique : un pavage de l'espace, comparable à celui de Penrose pour le plan était ainsi exhibé. On qualifia cet alliage de quasiperiodic crystal que l'on contracte généralement en quasicrystal (en anglais) et quasi-cristal (en français).

Structures cristallines :                Le concept de cristal aujourd'hui (lien externe, en anglais) :

Penrose, Escher et les représentations paradoxales de l'espace :

On doit aussi à Penrose, en 1958, avec la complicité de son père, quelques représentations paradoxales planes d'objets 3D qui inspirèrent le graveur hollandais Maurits Cornelis Escher (1898-1972) avec lequel il devint ami :

Pas convaincant ? Alors contemplez ce moellon... :

ou cet escalier de 8 marches qui monte, à moins qu'il ne descende, toujours... :

M.C. Escher 1961) : mouvement perpétuel
inspiré de l'escalier de Penrose

Agrandir :

 

M. C. Escher : Les oiseaux
pavage périodique du plan - 1942

Agrandir :

Pour en savoir plus :

  1. R. Penrose, Stephen Hawking, M. C. Escher (Université de Cambridge) : http://plus.maths.org/issue18/features/penrose/index.html

  2. Site de David Eppstein, professeur à l'université de Californie : http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/penrose.html

  3. Un livre superbe, à lire dans le calme... :Gödel, Escher, Bach, les Brins d'une Guirlande Eternelle :
    Gödel, escher, Bach, les brins d'une guirlande éternelle
    par Douglas Hofstadter, Ed. InterEditions - Paris (1ère édition 1979)

  4. M. C. Escher et pavages du plan, par Xavier Hubaut (professeur émérite, ULB) : http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/pavages.htm


Milnor  Audin
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