ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Un carré et 5 cercles inscrits
niveau 4è/3è
» Variantes
pyramidales...
: #1 , #2 ,
#3 |
On considère, figure ci-dessous, un carré ABCD de côté a. Les 5 cercles ont même rayon. Les cercles jaunes sont tangents aux côtés du carré. Le cercle rosé est tangent aux quatre cercles jaunes.
On demande d'évaluer le rayon commun des 5
cercles en fonction de a.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
Du centre C du cercle considéré ci-dessous, on abaisse la perpendiculaire sur [AB]. On obtient ainsi le point de tangence H. La diagonale [AC] du carré est bissectrice de l'angle ^BAD et puisque (CH) // (AD), on peut affirmer que ^ACH = 45° : le triangle AHC est rectangle isocèle en H.
Soit R le rayon commun cherché. On peut appliquer le théorème de Pythagore dans AHC, ce qui fournit AC = R√2.
La diagonale [AC] mesure a√2 (on le sait ou on applique le théorème de Pythagore dans ABC).
Finalement, on a 4R + 2R√2 = a√2, ce qui fournit :
En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur, à savoir 2√2 - 2, on peut écrire :
