ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Un carré et 5 cercles inscrits    niveau 4è/3è         Variantes pyramidales...  :  #1 , #2 , #3

On considère, figure ci-dessous, un carré ABCD de côté a. Les 5 cercles ont même rayon. Les cercles jaunes sont tangents aux côtés du carré. Le cercle rosé est tangent aux quatre cercles jaunes.

On demande d'évaluer le rayon commun des 5 cercles en fonction de a.
 

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Du centre C du cercle considéré ci-dessous, on abaisse la perpendiculaire sur [AB]. On obtient ainsi le point de tangence H. La diagonale [AC] du carré est bissectrice de l'angle ^BAD et puisque (CH) // (AD), on peut affirmer que ^ACH = 45° : le triangle AHC est rectangle isocèle en H.

Soit R le rayon commun cherché. On peut appliquer le théorème de Pythagore dans AHC, ce qui fournit AC = R2.

La diagonale [AC] mesure a2 (on le sait ou on applique le théorème de Pythagore dans ABC).

Finalement, on a 4R + 2R2 = a2, ce qui fournit :

En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur, à savoir 22 - 2, on peut écrire :


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