ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Structure d'anneau et de corps      » Sous-anneau  | Autres structures     » Diviseurs de zéro, intégrité | Puissances d'un élément  | Anneau ordonné | Divisibilité dans un anneau, idéal d'anneau           Caractéristique d'un anneau |Anneau quotient Z/nZ | Anneau produit | Anneau à division (corps gauche)           Corps | Sous-corps | Corps premier | Extension de corps | Corps des fractions d'un anneau intègre | Corps de nombres algébriques

Le terme d'anneau est dû à Hilbert. On appelle ainsi un ensemble A muni de deux lois de composition interne. La première lui confère la structure de groupe commutatif dont la loi est généralement notée additivement + (addition); la seconde, souvent appelée multiplication, notée ici ∗ ("étoile"), est associative et distributive sur (on dit aussi par rapport à) la loi de groupe (addition) :

1. (A,+) est un groupe commutatif
2. (A,∗) est un magma associatif dont la loi est distributive sur la loi +. autrement dit, pour tout triplet (a, b, c) d'éléments de A :

•  (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)   (associativité)
• a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c  et  (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c  (distributivité)

Avec ces notations, l'anneau A est plus précisément noté (A,+,∗).

 ➔  Si seule est vérifiée l'égalité a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c, on parle de distributivité à gauche. Si seule est vérifiée l'égalité (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c, on parle de distributivité à droite. Mais pour un anneau, on doit avoir la distributivité à gauche et à droite : on parle d'ailleurs parfois de double distributivité.

Lois de composition dans les ensembles, vocabulaire : »

L'anneau A est dit unitaire si sa multiplication admet un élément neutre. C'est l'élément unité de A. L'anneau est dit commutatif, si sa multiplication est commutative. L'élément neutre du groupe est dit nul et souvent appelé zéro par analogie avec l'anneau (Z,+,×).

Proposition 1 :  

L'élément unité d'un anneau unitaire (A,+,∗) est inversible et égal à son inverse.
L'élément nul, élément neutre de son groupe additif, est absorbant, donc non inversible.

Preuve : C'est bien évident. On pourra se reporter à élément absorbant.

Corollaire :  

Un anneau unitaire contient au moins deux éléments.

• Un singleton {x} muni de x + x = x et x ∗ x = x est un anneau dit anneau trivial ou anneau nul car il se confond avec l'élément neutre de son groupe additif communément appelé zéro. Il est aussi unitaire d'élément unité x !

• L'ensemble des entiers relatifs (Z,+, ×) est l'exemple le plus simple d'anneau non trivial, commutatif , d'élément nul 0, d'élément unité 1.

• Z(i) = {a + bi, a et b entiers relatifs} ⊂ C, est un anneau unitaire pour l'addition et la multiplication usuelles des nombres complexes. Il contient 0 (a = b = 0) et 1, élément unité obtenu pour a = 1, b = 0. Ses éléments sont les entiers de Gauss.

• Z(√5) = {a + b√5, a et b entiers relatifs} est un anneau unitaire (il contient 1).

• L'anneau unitaire commutatif des fonctions numériques d'une variable réelle munies de l'addition et de la multiplication des fonctions définies par
  (f + g)(x) = f(x) + g(x) et fg(x) = f(x) × g(x). Son élément unité est u : x → 1, à distinguer de celui de l'exemple suivant :

• L'anneau unitaire non commutatif des applications numériques d'une variable réelle munies de l'addition et de la composition des applications définies par
  (f + g)(x) = f(x) + g(x) et (f o g)(x) = f(g(x)). Son élément nul est θ : x → 0. Son élément unité est id : x → x ( id pour application identique).

• L'anneau commutatif et unitaire Z/nZ des classes résiduelles modulo n : » groupes finis.

• L'anneau unitaire non commutatif des matrices carrées n × n à termes réels ou complexes dont le cas réel 2 × 2 est explicité au § suivant.

• L'anneau L(E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E.

Autres "unités" éventuelles d'un anneau : »

∗∗∗
1. Montrer que l'ensemble Aff(R) des fonctions affines bijectives de R sur R de la forme x → ax + b avec a non nul, muni de l'addition des fonctions numériques et de la o (loi de composition des applications) est un anneau unitaire. Cet anneau n'est pas commutatif; par exemple
si f : x → 2x - 1 et si g : x → 3x , on a : f o g : x → 6x - 1 et  g o f : x → 6x - 3. Aff(R) est aussi un corps.

2. Soit P(E) l'ensemble des parties d'un ensemble E muni de la différence symétrique (Δ) comme 1ère loi et de l'intersection (∩) comme seconde loi.
Vérifier que (P(E),Δ,∩) est un anneau commutatif unitaire d'élément unité E.

3. Soit (A,+, × ) un anneau et h un homomorphisme de A vers un ensemble muni de deux lois de composition internes (E,⊕,⊗).
Prouver que l'image homomorphe (h(A),⊕,⊗) est un anneau.

4. Développer, réduire : exercices niveau collège

         Lois distributives (niveau SUP) : »            Règle des signes : »

♦ L'anneau des matrices carrées réelles :      

On note (M_n(K), +, ×) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à termes réels ou complexes (K = R ou C). Muni de l'addition et de la multiplication usuelles M_n(K) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre. Prenons le cas réel et n = 2 :

           » Sylvester

Anneau de Boole : »             Divisibilité dans un anneau : »

♦ Sous-anneau :    

Une partie de B de A est dit être un sous-anneau de (A,+,∗) si, muni des lois d'anneau de A, B est lui-même un anneau. Pour qu'il en soit ainsi il faut et il suffit que :

1. B soit un sous-groupe additif de A :
    a/ le composé x + y de deux éléments de B est élément de B (stabilité de B pour l'addition de A)
    b/  le symétrique dans (A,+), de tout élément de B est aussi élément de B.
2. Pour tous x et y de B, x ∗ y est élément de B (stabilité de B pour la loi ∗)

• (Z,+,×), anneau des entiers relatifs, est un sous-anneau de (Q,+,×), anneau des nombres rationnels.

 !  Lorsqu'un anneau A est unitaire, un anneau B inclus dans A, stable pour les opérations de A, peut admettre un élément unité distinct de celui de A ! Voici, en exercice, une illustration de ce résultat susceptible d'étonner... :

∗∗∗
 E désigne un plan vectoriel réel, rapporté à une base B. On note (L(E),+,o) l'anneau des endomorphismes de E d'élément unité id_E, application identique de E.
On appelle F l'ensemble des f_k de L(E), k∈R, dont l'expression analytique relativement à B est x' = kx, y' = 0. F contient-il id_E ?
Montrer que (F,+,o) est un anneau unitaire de L(E) d'élément unité l'endomorphisme p (projecteur) d'expression analytique x' = x, y' =0.

 ➔   Cet exemple montre qu'il y a lieu de préciser la notion de sous-anneau dans le cas d'un anneau unitaire avec une 3ème condition s'ajoutant aux deux précédentes :

3. Si l'anneau A est unitaire d'élément unité u, alors B contient u.

• Avec les notations de l'exercice ci-dessus, l'anneau (L(E),+,o) étant unitaire, d'élément unité id_E, (F,+,o) n'est pas un sous-anneau de L(E) car F ne contient pas cet élément.
• Les sous-groupes de (Z,+) sont de la forme nZ, ensemble des multiples de n∈N. Tout sous-groupe de Z contenant 1 est Z lui-même. On en déduit que le seul sous-anneau de l'anneau unitaire (Z,+,×) est Z lui-même.

♦ Anneau intègre, diviseur de zéro, domaine d'intégrité :    

Un anneau est dit intègre si un produit nul nécessite que l'un des facteurs soit nul (égal à l'élément neutre pour l'addition). Lorsqu'un produit ab est nul alors que ni a, ni b ne le sont, on dit que a et b sont des diviseurs de zéro. Un anneau commutatif, intègre et unitaire est parfois appelé domaine d'intégrité (locution aujourd'hui tombée en désuétude).

• L'anneau (Z,+,×) des entiers relatifs est intègre : il ne possède aucun diviseur de zéro.

• L'anneau Z/6Z des classes résiduelles modulo 6 n'est pas intègre puisque 2 × 3 = 6, donc 2 × 3 = 0.  De même Z/4Z : » groupes finis.

• L'anneau des matrices carrées à termes réels ou complexes n'est pas intègre : le produit de deux matrices non nulles peut être nul :

Le problème provient du fait qu'aucune des matrices A et B du membre de gauche ci-dessus ne peut être inversible, car si l'une l'était, par exemple A d'inverse A^-1, on aurait A^-1 × A = I, matrice unité et en multipliant l'égalité A × B = 0 à gauche par A^-1, on obtiendrait A^-1 × A × B = A^-1 × 0 = 0, donc B = 0. Ce qui n'est pas le cas.

Endomorphismes et anneau des matrices carrées, matrice inverse  : »

Théorème :   

Dans un anneau intègre (A,+,∗), tout élément non nul est simplifiable pour la multiplication (régulier) :
si a∗b = a∗c, alors b = c.

Preuve : la loi de groupe est noté additivement pour simplifier les écritures (élément nul 0, symétrique d'un  élément x noté -x). Soit a non nul dans A et supposons a∗b = a∗c. Si b est nul, alors a∗c = 0 et puisque A est intègre, on a c = 0, donc b = c. Si b est non nul, on peut écrire a(b - c) = 0 et puisque a est non nul et A intègre, on a b - c = 0, donc b = c : l'élément a est régulier.

∗∗∗
Montrer que si A est un anneau intègre et unitaire, alors tout élément admettant un inverse à gauche (ou à droite) est inversible. ☼

Groupe et anneau d'entiers modulo n : »          Divisibilité dans les anneaux, anneaux euclidiens : »

Anneau produit :    

À partir de deux anneaux A et B on peut construire un anneau à partir du produit cartésien A × B. Par souci de simplification, on utilise la même notation (+ et  × ) les additions et multiplications des structures en jeu :

• la somme est définie par (a,b) + (a',b') = (a + a', b + b') et le produit par (a,b) x (a',b') = (a x a',b x b')

On vérifiera facilement que l'on définit ainsi une structure d'anneau sur A × B. Un exemple d'usage d'un anneau produit se présente dans l'étude des anneaux de classes résiduelles modulo n :

Lorsque n et m sont premiers entre eux, les anneaux de classes résiduelles
Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ sont isomorphes

Preuve : m et n étant premiers entre eux, selon le théorème chinois, à toute classe z de Z/mnZ, on peut associer le couple de classes (r₁,r₂) de Z/mZ × Z/nZ défini par r1 ≡ z [m] et r2 ≡ z [n]. L'application φ : z → (r₁,r₂) est définie sans ambiguïté puisque le couple image (r₁,r₂) ne dépend pas du représentant choisi dans chaque classe. Montrons que φ un isomorphisme d'anneaux.

• Respect des additions : si  r1 ≡ z [m] et r'1 ≡ z' [m], alors r1 + r'1 ≡ z + z' [m]; de même pour les modules n, d'où :
  φ (z + z') = (r1 + r'1, r2 + r'2) = (r1, r2) + (r'₁, r'₂) =  φ(z) + φ(z').

• Respect de la multiplication : si  r1 ≡ z [m] et r'1 ≡ z' [m], alors r1 x r'1 ≡ z x z' [m]; de même pour les modules n, d'où :
  φ [z x z'] = (r₁ x r'₁, r₂ x r'₂) = (r₁,r₂) x (r'₁,r'₂)= φ(z) x φ(z')

φ est donc un homomorphisme d'anneaux Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ ont même cardinal fini mn. φ est alors injective, donc bijective dès lors que son noyau est réduit à {0} car dans ce cas φ (a) = φ (b) implique φ(a - b) = 0, donc a = b si le noyau est nul. Supposons donc φ (z) = 0, on a alors (r1, r2) = (0,0) dans Z/mZ × Z/nZ, donc z ≡ 0 [m] et z ≡ 0 [n]. C'est dire que z est multiple de m et de n et vu que m et n sont premiers entre eux, z est multiple de mn, donc z = 0 dans Z/mnZ.

On conçoit aisément que ce résultat se généralise à un nombre fini de congruences :

Si p₁, p₂, ..., p_k sont premiers entre eux et si n = p₁p₂... p_k alors les anneaux
Z/nZ et Z/p₁Z × Z/p₂Z × ... × Z/p_kZ sont isomorphes.

On qualifie de corps (appellation due à Weber, de l'allemand Körper = corps ) un anneau unitaire dans lequel tout élément non nul admet un symétrique pour la multiplication. Un tel symétrique est appelé inverse et on parle d'élément inversible. En particulier, un corps est un anneau intègre. Si la multiplication (seconde loi) est commutative, le corps est dit commutatif. Certains mathématiciens sous-entendent cette commutativité.

 ➔  La définition sous-entend qu'un corps, comme tout anneau unitaire, possède au moins deux éléments car l'élément nul de l'anneau n'est pas inversible (» proposition 1).

• Q (ensembles des nombres rationnels), R  (ensembles des nombres réels) et C (ensembles des nombres complexes) munis de leurs additions et multiplications usuelles sont des corps commutatifs.

• L'ensemble Aff(R) des fonctions affines bijectives de R sur R de la forme x → ax + b avec a non nul, muni de l'addition des fonctions numériques et de la o (loi de composition des applications) est un corps non commutatif. Si on considère le sous-ensemble L(R) des fonctions linéaires de la forme x → ax, alors (L(R),+,o) est un corps commutatif, isomorphe à (R,+,×).

• Si p est premier l'anneau Z/pZ des entiers modulo p est un corps fini (ayant un nombre fini d'éléments).

 i  Un corps fini est aussi appelé champ de Galois. Rappelons que tout corps fini est commutatif

» Galois , Wedderburn.

• (Z, +, ×) est un anneau commutatif intègre mais ce n'est pas un corps : les seuls éléments inversibles (ayant un inverse) sont 1 et - 1.

• (M₂(R), +, ×) n'est pas un corps : voir ci-dessus. La division, on le sait dans le calcul élémentaire, n'est autre que la multiplication par l'inverse : dans le cas des matrices, on ne parle pas de diviser mais d'inverser. L'inverse (s'il existe) d'une matrice carrée A est une matrice notée A^-1 × A = I, où I est la matrice unité égale à . Pour qu'une matrice (carrée) soit inversible, il faut et il suffit que son fit que son déterminant soit non nul.

• Soit D l'ensemble des nombres décimaux : ensemble des nombres admettant un représentant de la forme a × 10ⁿ avec (a,n)∈Z². (D,+,×) est un anneau unitaire intègre, sous anneau du corps (Q, +, ×) des nombres rationnels. Ce n'est pas un corps : 3 est décimal mais non pas son inverse 1/3.

• Le corps H de quaternions n'est pas commutatif (corps gauche). 

» Viète , Stifel           Construction de Q en tant que corps des quotients de Z : »

 ∗∗∗
Soit E = {θ,u} un ensemble de deux éléments. Construire dans E une addition (+) d'élément neutre θ (qui sera qualifié d'élément nul) et une multiplication (×) d'élément neutre u qui sera qualifié d'élément unité. Montrer que (E,+,×) est un corps commutatif isomorphe à Z/2Z.

∗∗∗
Montrer que tout anneau A fini, intègre et unitaire est un corps. ☼

Le corps des classes résiduelles modulo n pour n premier : »

♦  Corps gauche ou anneau à division :     

On parle parfois de corps gauche ou d'anneau à division pour désigner un corps non commutatif. Un corps pouvant être considéré comme une algèbre sur lui-même, on peut aussi parler d'algèbre associative à division.

Théorèmes :    

• Tout anneau intègre fini est un corps.  ☼

• Tout corps fini est commutatif  (résultat dû à Wedderburn en 1905).

• Tout anneau unitaire intègre contenant R et de dimension 2 en tant qu'espace vectoriel sur R, est un corps isomorphe à C.

» Galois , Artin , B. Peirce , Wedderburn , Steinitz , Dedekind  

♦  On qualifie de sous-corps d'un corps (K, +,∗) un sous-anneau A de K tel que l'inverse de tout x non nul de A soit élément de A. Pour qu'il en soit ainsi il faut et il suffit que ces trois conditions soient vérifiées :

1. A soit un sous-groupe additif de K :
    a/ le composé x + y de deux éléments de A est élément de A (stabilité de A pour l'addition de K).
    b/  le symétrique de tout élément de A dans dans (K,+) est élément de A.
2. Pour tous x et y de A, x ∗ y est élément de A (stabilité de A pour la loi ∗)
3. A contient l'élément unité de K et l'inverse de tout x de A dans (K,∗) est élément de A.

Rappel : en notant 0 l'élément neutre du groupe additif (K,+), a/ et b/ se résument à 0∈A et pour tous x et y de A, x - y∈A.

• Le corps (Q, +, ×) des nombres rationnels, corps des fractions de Z est un sous-corps de (R, +, ×).

• Les nombres constructibles constituent un sous-corps de R.

 ➔  Inversement, un surcorps de K' de K est un corps contenant K.

♦  Corps premier :   

Un corps K d'élément nul 0_K et d'élément unité 1_K ne contenant aucun sous-corps propre, c'est à dire autre que {0_K,1_K} et lui-même, est dit premier : c'est le cas du corps Q des nombres rationnels, plus petit corps contenant Z (à un isomorphisme près).

Tout corps premier est isomorphe à Q ou au corps fini des classes résiduelles modulo n Z/nZ pour n premier.

• On remarquera que le corps trivial {0_K,1_K} est isomorphe à Z/2Z.

Plus généralement, on appelle extension d'un corps K, un corps L contenant un corps K' isomorphe à K. On note souvent L/K une telle extension et on convient d'écrire L ⊃ K (en identifiant K' à K). On appelle degré d'une extension L de K la dimension de L en tant qu'espace vectoriel sur K. Si cette dimension est finie, on parle d'extension finie.

• Le corps (C, +, ×) des nombres complexes est une extension du corps  de (R, +, ×) des nombres réels. Lorsqu'un nombre complexe a + bi est identifié au couple (a,b) de R², un nombre réel peut être identifié aux couples (a,0), nombres complexes de partie imaginaire nulle et on convient d'écrire R ⊂ C. Le corps des nombres complexes apparait ainsi comme un espace vectoriel sur R de dimension 2. On peut également construire C comme extension algébrique simple de R (» § ci-après et la page consacrée aux corps de nombres algébriques).

♦ Dans la construction d'une extension L d'un corps K, on s'intéresse souvent à la plus petite au sens de l'inclusion. Raison pour laquelle on définit la notion de corps intermédiaire pour désigner une extension L' telle que L ⊃ L'⊃ K.

• Le corps R des nombres réels est un corps intermédiaire entre le corps Q des nombres rationnels et le corps C des nombres complexes.

• On verra ci-après qu'il n'existe pas de corps intermédiaire entre R et C (à un isomorphisme près).

♦  Extension par adjonction :    

Soit L une extension d'un corps K et E une partie quelconque non vide de L. Considérons l'ensemble F des sous-corps de L contenant K et E. Cet ensemble n'est pas vide : elle contient L, et toute intersection d'élément de F est un élément de F car toute intersection de sous-corps est un sous-corps. Donc F est une famille de Moore et, par suite, admet un plus petit élément au sens de l'inclusion, sa fermeture de Moore dans L, à savoir un sous-corps de L noté K(E) vérifiant L ⊃ K(E) ⊃ K et appelé sous-corps de L engendré par K et E. C'est un corps intermédiaire entre K et L contenant E obtenu par adjonction de E à K. Lorsque E se réduit à un seul élément, on parle d'extension simple de K

• L'ensemble C des nombres complexes en tant qu'ensemble des nombres a + bi, avec (a,b)∈R² et i² = -1, est une extension simple de R : on peut en effet écrire C = R(i).

♦  Extension algébrique :   

Une extension d'un corps K peut être obtenue en adjoignant à K des zéros d'un polynôme à coefficients dans K non éléments de K : on parle d'extension algébrique et on démontre que toute extension L de dimension finie sur K est algébrique.

Extensions algébriques d'un corps (étude) : »          Le corps des nombres p-adiques, extension non algébrique de Q : »

 ➔  Une extension simple K(u) du corps K, (plus petit corps commutatif contenant K et u, est dite transcendante sur K si u n'annule aucun polynôme non nul à coefficients dans K. L'élément u est alors dit transcendant sur K. C'est, par exemple, le cas de π.

Nombres de Liouville : »

♦  Méthode de construction d'une extension par adjonction :   

Avec les notations précédentes, il apparaît que K(E) = K∪E , fermeture de Moore de K∪E dans L. Donc si E = A∪B, on a :

Cette propriété exprime que l'on peut adjoindre à K des éléments successifs : les extensions obtenues par adjonctions successives égaleront l'extension obtenue globalement. Par exemple :

si E = {a,b}, alors K(a, b) = (K(a))(b)

• C peut être considéré comme est une extension algébrique simple de R issue de l'équation x² + 1 = 0 en convenant de noter i un nombre imaginaire tel que i² = -1. On a alors x² + 1 = (x + i)(x - i). On peut écrire C = R(i). On pourrait aussi écrire C = R(i,-i) mais cela est redondant car -i est déjà un élément du corps C(i).

• Q(√2) = {a + b√2, a et b décrivant Q} est une extension algébrique de Q issue de l'équation x² - 2 = 0, espace vectoriel de dimension 2 sur Q. Sur la page consacrée aux nombres algébriques, on étudiera l'exemple de la construction de Q(√2,√3) = (Q(√2))(√3)

♦  Corps de nombres :   

On sous-entend parfois par cette appellation ambigüe, car elle exclut R ou C = R(i) toute extension algébrique simple ou finie du corps Q des nombres rationnels.

Construction du corps R des nombres réels : »   

On appelle extension d'un anneau A, un anneau K contenant un sous-anneau isomorphe à A. Voici un théorème fondamental permettant la construction d'un corps fondé sur un anneau commutatif.

Théorème :   

Tout anneau intègre commutatif (domaine d'intégrité) A possède une extension K qui est un corps commutatif,
appelé corps des quotients de A

• L'exemple classique est le corps Q des nombres rationnels fondé sur l'anneau Z des entiers relatifs. Si un rationnel a/b est noté (a,b), Z s'identifie aux éléments du type (a,1). On peut également évoquer le corps Q_p des nombres p-adiques construit sur Z_p.

Lorsque A est un sous-anneau intègre d'un corps commutatif K, on peut construire très simplement un sous-corps de K, dit corps des fractions de A. L'exemple précédent en est un si l'on considère Z plongé dans R.

Corps des quotients et construction d'un corps de fractions : »

La caractéristique d'un anneau unitaire ou d'un corps (K,+,×) d'éléments neutres I (multiplication) et 0 (addition) est le plus petit entier naturel non nul, s'il existe, tel que n × I = 0. Appellation due à Steinitz.

Le "produit" nI désignant, dans le groupe (K,+), la somme de n éléments égaux à I. Si n, non nul, n'existe pas, la caractéristique du corps est dite est nulle : c'est le cas de R.

• Si n est premier, le corps Z/nZ des classes résiduelles modulo n, issu de la relation d'équivalence a ≡ b ssi a - b est multiple de n est de caractéristique n.

∗∗∗
Montrer que si un anneau est de caractéristique 2, alors tout élément est son propre opposé. C'est le cas de Z/2Z.

A/  Cas d'un anneau unitaire (en particulier un corps) :              » cas d'un anneau non unitaire

Supposons que l'anneau (A,+, × ) admette un élément unité I (élément neutre de sa multiplication), voire, seulement, au moins un élément simplifiable à droite ou à gauche pour sa seconde loi ×. Si A est commutatif, un tel élément r sera régulier "tout court". En considérant le cas simplifiable à droite, c'est dire que pour tout x de A, x × r = 0 implique x = 0.

Pour tout n de N et tout x de A, on a :

(nx) × r = (x + x + ... + x) × r = x × r + x × r + ... +  x × r = x × ( r + r + ... + r) = x × (nr)

Par conséquent, si nr = 0, alors nx × r = 0 et, vu que r est régulier à droite, on a aussi nx = 0 pour tout x. Supposons alors que le groupe cyclique C(r) engendré par r soit fini de cardinal c_r. On a alors c_rr = 0, et donc  c_rx = 0 pour tout x de A. Par suite, c_x est fini pour tout x et c_r en est un multiple pour chaque x. L'ensemble des c_x est donc fini et A admet une caractéristique non nulle ppmc des c_x et c_r : c'est donc c_r et lorsque r n'est autre que l'élément neutre I de A, on retrouve la définition de la caractéristique donnée pour un corps.

En conclusion :     

Pour étudier la caractéristique d'un anneau unitaire d'élément unité I, on recherche le plus petit entier naturel non nul tel que k × I = 0. S'il existe, tous les groupes cycliques engendrés par un élément x de A ont le même cardinal k.

Propriété :     

Si A est un anneau unitaire non trivial (Card A ≥ 2) de caractéristique nulle, alors A est de cardinal infini

Preuve en exercice : »

Par contraposition :       

Un anneau unitaire non trivial de cardinal fini est de caractéristique non nulle.

 !   La réciproque de ce résultat est fausse : considérer l'anneau (P(E),Δ,∩) (» exercice) est un anneau commutatif unitaire d'élément unité E; supposons E infini. On a E Δ E = Ø : caractéristique 2 et pourtant P(E) est infini. N.B. Ce contre-exemple est extrait du très remarquable et utile livre de Bertrand Hauchecorne : Les contre-exemples en mathématiques.

La caractéristique d'un anneau intègre non nul (de cardinal au moins égal à 2), est soit nulle soit un nombre premier.

Preuve : En effet, notons (A,+, ×) cet anneau, k sa caractéristique et 0 son élément nul. L'entier k est distinct de 1, sinon A serait réduit à un seul élément (son élément nul). Si k est non premier, alors k = pq avec p et q entiers strictement inférieurs à k. Par définition de k, il existe alors un couple (a,b) d'éléments de A tels que pa et qb soient non nuls. A étant intègre, on a donc pa × qb non nul. Mais ce produit n'est autre que pq(a × b) = k(a × b) = 0 (par définition de k) : contradiction. C'est dire que k est premier.

 !  La réciproque de ce résultat est fausse : voici un anneau non intègre de caractéristique 2, entier naturel premier : soit K = Z/2Z = {0,1} (» c'est un corps) et désignons par P l'espace vectoriel de dimension 2 sur K. P possède 4 éléments (et trois bases). L'anneau L(P) des endomorphismes de P possède 16 = 2⁴ éléments que l'on peut caractériser par leur matrice 2 × 2. Sa caractéristique est 2 (nombre premier) vu que 1 + 1 = 0. Et cet anneau est non intègre, considérer les endomorphismes de matrices respectives :

 ➔   Si R remplace Z/2Z, L(P) est un anneau non intègre de caractéristique nulle.

B/  Caractéristique d'un anneau non unitaire :      

Dans le cas d'un anneau unitaire (anneau est dépourvu d'un élément unité), la définition de la caractéristique doit être modifiée. Considérons alors (A,+, × ) un anneau non réduit à son élément nul, noté 0, élément neutre de son groupe (A,+).

Soit x un élément non nul de A. On note -x le symétrique de A dans (A,+), -2x désigne alors (-x) + (-x), etc. Dans ces conditions C(x) = {..., -nx, ..., -2x, -x, 0, x, 2x, ... nx, ...} est le groupe cyclique engendré par x.

»  Dans l'écriture {..., -nx, ..., -2x, -x, 0, x, 2x, ... nx, ...}, il se peut qu'un élément du type -nx soit égal à un des éléments kx, n et k positifs. Il convient alors de le retirer de la liste. Un exemple simple est le cas Z/3Z.

Supposons qu'il existe un entier naturel p non nul (qui dépend a priori de x) tel que px = 0. L'ensemble P de tels entiers est borné inférieurement dans N. P admet donc un plus petit élément non nul c_x et l'ordre de C(x) est donc fini, car si n > p, la division de euclidienne de n par p fournit n = pq + r, r <p et nx = (pq + r)x = pqx + rx = q(px) + rx = rx. Enfin, si m est un multiple de c_x, on a mx =  (qc_x)x = q(c_xx) = 0.

Maintenant, de deux choses l'une :

♦ 1 - Pour tout x de A, l'existence de c_x est assuré et l'ensemble des c_x est une partie finie de N*.

Dans cette hypothèse, notons k le ppmc (plus petit multiple commun) de ces valeurs. Ce nombre k est ainsi le plus petit entier non nul tel que kx = 0 pour tout x de A. Il est, par définition, la caractéristique de l'anneau A.

Tout entier n tel que nx = 0 pour tout x de A est un multiple de k.

En effet, si nx = 0 pour tout x de A, alors, par définition de k, n > k. Posons n = km + r dans la division euclidienne de n par k. On a r < k. Pour tout x de A, on a alors  (km + r)x = 0 = m(kx) + rx. Mais kx = 0 pour tout x, donc rx = 0 pour tout x avec r < k; ce n'est possible que si r = 0, donc n multiple de k.

♦  2 - L'existence de c_x n'est pas assuré pour chaque x.

Par exemple, il existe au moins un x tel que px = 0 n'a pas lieu à moins que p = 0 ou encore c_x prend une infinité de valeurs dans N*. On dira alors que la la caractéristique de l'anneau A est nulle.

Dans un anneau, noté ici (A,+, ♦ ), on peut définir la notion de puissance d'un élément a, obtenu par multiplications répétées de a par lui-même : on remarque tout d'abord que la multiplication étant associative : a ♦ (a ♦ a) = (a ♦ a) ♦ a pour tout a de A. On peut donc écrire ces deux produits plus simplement : a ♦ (a ♦ a) = (a ♦ a) ♦ a = a ♦ a ♦ a  et plus simplement encore a ♦ a ♦ a = a³. On dit que 3 est écrit en exposant et on lit a exposant 3 ou a puissance 3. En posant a ♦ a = a², on peut maintenant écrire :

a³ = a ♦ a ♦ a = a ♦ (a ♦ a) = (a ♦ a) ♦ a = a² ♦ a = a ♦ a²

• De même, a⁴ = a ♦ a ♦ a ♦ a  = a³ ♦ a.

D'une façon générale, si n est un entier naturel au moins égal à 2, la puissance n-ième de l'élément a est aⁿ = a ♦ a ♦ a ♦ ... ♦ a, produit de n éléments égaux à a. On lit a exposant n ou a puissance n. L'associativité de la multiplication (loi  ♦ ) dispense de parenthèses.

Lorsque l'anneau A est unitaire, d'élément neutre noté 1_A, on prolonge la définition aux cas n = 0 et n =1 :

• Pour tout n au moins égal à 2, on est tenté d'écrire aⁿ = a^{n -1} ♦ a, ce qui produit a² = a¹ ♦ a et amène à poser a¹ = a.

• si n = 1, la formule aⁿ = a^{n -1} ♦ a devient a¹ = a⁰ ♦ a : selon la convention précédente, on est amené à poser a⁰ = 1_A.

Ces deux conventions permettent d'écrire pour tout n et tout p de N :

a^{n + p} =  aⁿ ♦ a^p

Lorsque l'élément a inversible dans A, en particulier lorsque cet anneau est un corps, on peut donner un sens à une puissance entière négative : si a' est l'inverse de a, on a : a ♦ a' = a' ♦ a = 1_A.

Posons alors a' = a^-1. La formule précédente se prolonge alors à tout n et p de Z.

La notion élémentaire de puissance, exposant rationnels ou non dans le cas de R et C : »

 ➔  Pour en savoir plus :

1. Leçons d'algèbre moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin, Éd. Dunod, Paris -1961
2. Éléments de mathématique, Livre II, Ch. 1, Structures algébriques - N. Bourbaki, Éd. Hermann, Paris, 1964
3. Cours de mathématiques - Classes préparatoires - tome 1 - Algèbre par J.M. Arnaudiès, H. Fraysse, Dunod Université, Paris, 1989.
4. Les contre-exemples en mathématiques par Bertrand Hauchecorne - Collection ellipses - 1988/1995
5. Corps finis (préparation à l'agrégation) par Romain Basson (Ens Rennes), 2014 :
   https://perso.univ-rennes1.fr/romain.basson/pdf/CorpsFinis.pdf