ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Structure d'anneau et de corps      Autres structures
   
Sous-anneau | Diviseurs de zéro, intégrité | Puissances d'un élément  | Anneau ordonné | Divisibilité dans un anneau, idéal d'anneau
           Corps | Sous-corps ,
extension de corps | Corps des fractions d'un anneau intègre | Corps de nombres algébriques

Le terme d'anneau est dû à Hilbert. On appelle ainsi un ensemble A muni de deux lois de composition interne. La première lui confère la structure de groupe commutatif dont la loi est généralement notée additivement + (addition); la seconde, souvent appelée multiplication, notée ici , est associative et distributive sur (on dit aussi par rapport à) la loi de groupe (addition) :

1. (A,+) est un groupe commutatif
2. (A,) est un magma associatif dont la loi est distributive sur la loi +. autrement dit, pour tout triplet (a, b, c) d'éléments de A :

(a b) c = a (b c)   (associativité)
a (b + c) = a b + a c  et  (a + b) c = a c + b c  (distributivité)

Avec ces notations, l'anneau A est plus précisément noté (A,+,).

 Si seule était vérifiée l'égalité a (b + c) = a b + a c, on parlerait de distributivité à gauche. Si seule était vérifiée l'égalité (a + b) c = a c + b c, on parle de distributivité à droite. Mais pour un anneau, on doit avoir la distributivité à gauche et à droite : on parle d'ailleurs parfois de double distributivité.

Lois de composition dans les ensembles, vocabulaire :

L'anneau A est dit unitaire si sa multiplication admet un élément neutre. C'est l'élément unité de A. L'anneau est dit commutatif, si sa multiplication est commutative. L'élément neutre du groupe est dit nul et souvent appelé zéro par analogie avec l'anneau (Z,+,).

Proposition 1 :  

L'élément unité d'un anneau unitaire (A,+,) est inversible et égal à son inverse.
L'élément nul, élément neutre de son groupe additif, est absorbant, donc non inversible
.

Preuve : C'est bien évident. On pourra se reporter à élément absorbant.

Corollaire :  

Un anneau unitaire contient au moins deux éléments.


1. Montrer que (R), ensemble des des fonctions affines bijectives de R sur R de la forme x ax + b avec a non nul, muni de l'addition des fonctions numériques et de la o (lloi de composition des applications). Si f désigne x 2x - 1 et si g désigne x 3x , on a : f o g : x 6x - 1  et  g o f : x 6x - 3.

2. Soit (E) l'ensemble des parties d'un ensemble E muni de la différence symétrique (Δ) comme 1ère loi et de l'intersection (∩) comme seconde loi.
Vérifier que ( (E),Δ,∩) est un anneau commutatif unitaire d'élément unité E.

3. Soit (A,+, x) un anneau et h un homomorphisme de A vers un ensemble muni de deux lois de composition internes (E,,).
Prouver que l'image homomorphe (h(A),,) est un anneau.

Développement et distributivité : En termes élémentaires, au collège, la distributivité se rencontre dès la classe de 5ème lorsque l'on cherche à développer des expressions élémentaires de la forme a(b + c) où a, b et c sont des entiers relatifs. 

   exercices niveau collège             Lois distributives (niveau SUP) :          Règle des signes :

L'anneau des matrices carrées réelles :      

On note (n(K), +, ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à termes réels ou complexes (K = R ou C). Muni de l'addition et de la multiplication usuelles n(K) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre. Prenons le cas réel et n = 2 :

          

            Sylvester

             
Anneau de Boole :             Divisibilité dans un anneau :

Sous-anneau :

Une partie de B de A est dit être un sous-anneau de (A,+,) si, muni des lois d'anneau de A, B est lui-même un anneau. Pour qu'il en soit ainsi il faut et il suffit que :

1. B soit un sous-groupe additif de A :
    a/ le composé x + y de deux éléments de B est élément de B (stabilité de B pour l'addition de A)
    b/  le symétrique dans (A,+), de tout élément de B est aussi élément de B.
2. Pour tous x et y de B, x y est élément de B (stabilité de B pour la loi )

Lorsqu'un anneau A est unitaire, un anneau B inclus dans A, stable pour les opérations de A, peut admettre un élément unité distinct de celui de A ! Voici, en exercice, une illustration de ce résultat susceptible d'étonner... :


 E désigne un plan vectoriel réel, rapporté à une base B. On note ((E),+,o) l'anneau des endomorphismes de E d'élément unité idE, application identique de E.
On appelle l'ensemble des fk de (E), kR, dont l'expression analytique relativement à B est x' = kx, y' = 0.
contient-il idE ?
Montrer que (,+,o) est un anneau unitaire de (E) d'élément unité l'endomorphisme p (projecteur) d'expression analytique x' = x, y' =0.

Cet exemple montre qu'il y a lieu de préciser la notion de sous-anneau dans le cas d'un anneau unitaire avec une 3ème condition s'ajoutant aux deux précédentes :

3. Si l'anneau A est unitaire d'élément unité u, alors B contient u.


Anneau intègre, diviseur de zéro, domaine d'intégrité :

Un anneau est dit intègre si un produit nul nécessite que l'un des facteurs soit nul (égal à l'élément neutre pour l'addition). Lorsqu'un produit ab est nul alors que ni a, ni b ne le sont, on dit que a et b sont des diviseurs de zéro. Un anneau commutatif, intègre et unitaire est parfois appelé domaine d'intégrité (locution aujourd'hui tombée en désuétude).

 

Le problème provient du fait qu'aucune des matrices A et B du membre de gauche ci-dessus ne peut être inversible, car si l'une l'était, par exemple A d'inverse A-1, on aurait A-1A = I, matrice unité et en multipliant l'égalité AB = 0 à gauche par A-1, on obtiendrait A-1AB = A-10 = 0, donc B = 0. Ce qui n'est pas le cas.

Endomorphismes et anneau des matrices carrées, matrice inverse  :

Théorème :   

Dans un anneau intègre (A,+,), tout élément non nul est simplifiable pour la multiplication (régulier) :
si ab = ac, alors b = c.

Preuve : la loi de groupe est noté additivement pour simplifier les écritures (élément nul 0, symétrique d'un  élément x noté -x). Soit a non nul dans A et supposons ab = ac. Si b est nul, alors ac = 0 et puisque A est intègre, on a c = 0, donc b = c. Si b est non nul, on peut écrire a(b - c) = 0 et puisque a est non nul et A intègre, on a b - c = 0, donc b = c : l'élément a est régulier.


Montrer que si A est un anneau intègre et unitaire, alors tout élément admettant un inverse à gauche (ou à droite) est inversible.

Groupe et anneau d'entiers modulo n :          Divisibilité dans les anneaux, anneaux euclidiens :


Montrer que tout anneau A fini intègre et unitaire est un corps

Structure de corps :

On qualifie de corps (appellation due à Weber, de l'allemand Körper = corps ) un anneau dans lequel tout élément non nul admet un symétrique pour la multiplication, généralement appelé inverse.

Cela sous-entend qu'un corps, comme tout anneau unitaire, possède au moins deux éléments car l'élément nul de l'anneau n'est pas inversible ( proposition 1).

 
Soit E = {θ,u} un ensemble de deux éléments. Construire dans E une addition (+) d'élément neutre θ (qui sera qualifié d'élément nul) et une multiplication () d'élément neutre u qui sera qualifié d'élément unité. Montrer que (E,+, ) est un corps commutatif isomorphe à Z/2Z.

Le corps des classes résiduelles modulo n pour n premier :

Un tel symétrique est appelé inverse et on parle d'élément inversible. En particulier, un corps est un anneau intègre. Si la multiplication (seconde loi) est commutative, le corps est dit commutatif. Certains mathématiciens sous-entendent cette commutativité.

  Viète , Stifel         Construction de Q en tant que corps des quotients de Z :

On parle parfois de corps gauche ou d'anneau à division pour désigner corps non commutatif. Un corps pouvant être considéré comme une algèbre sur lui-même, on peut aussi parler d'algèbre associative à division.

Théorèmes :    

   Galois , Artin , B. Peirce , Wedderburn , Steinitz , Dedekind  

Sous-corps, corps premier :

  On qualifie de sous-corps d'un corps (K, +,) un sous-anneau A de K tel que l'inverse de tout x non nul de A soit élément de A. Pour qu'il en soit ainsi il faut et il suffit que :

1. A soit un sous-groupe additif de K :
    a/ le composé x + y de deux éléments de A est élément de A (stabilité de A pour l'addition de K)
    b/  le symétrique de tout élément de A dans dans (K,+) est élément de A.
2. Pour tous x et y de A, x y est élément de A (stabilité de A pour la loi )
3. A contient l'élément unité de K et l'inverse de tout x de A dans (K,) est élément de A.

Rappel : en notant 0 l'élément neutre du groupe additif (K,+), a/ et b/ se résument à 0A et pour tous x et y de A, x - yA.

Corps premier :   

Un corps K d'élément nul 0K et d'élément unité 1K ne contenant aucun sous-corps propre, c'est à dire autre que {0K,1K} et lui-même, est dit premier : c'est le cas du corps Q des nombres rationnels, plus petit corps contenant Z (à un isomorphisme près).

Tout corps premier est isomorphe à Q ou au corps fini des classes résiduelles modulo n Z/nZ pour n premier.

Surcorps, extension d'un corps, corps intermédiaire :

  Inversement, un surcorps de K' de K est un corps contenant K.

  Plus généralement, on appelle extension d'un corps K, un corps L contenant un corps K' isomorphe à K. On note souvent L/K une telle extension et on convient d'écrire L K (en identifiant K' à K). On appelle degré d'une extension L de K la dimension de L en tant qu'espace vectoriel sur K. Si cette dimension est finie, on parle d'extension finie.

  Dans la construction d'une extension L d'un corps K, on s'intéresse souvent à la plus petite au sens de l'inclusion. Raison pour laquelle on définit la notion de corps intermédiaire pour désigner une extension L' telle que L L' K.

Extension par adjonction, extension algébrique, corps de nombres :

Soit L une extension d'un corps K et E une partie quelconque non vide de L. Considérons l'ensemble F des sous-corps de L contenant K et E. Cet ensemble n'est pas vide : elle contient L, et toute intersection d'élément de F est un élément de F car toute intersection de sous-corps est un sous-corps. Donc F est une famille de Moore et, par suite, admet un plus petit élément au sens de l'inclusion, sa fermeture de Moore dans L, à savoir un sous-corps de L noté K(E) vérifiant L K(E) K et appelé sous-corps de L engendré par K et E. C'est un corps intermédiaire entre K et L contenant E obtenu par adjonction de E à K. Lorsque E se réduit à un seul élément, on parle d'extension simple de K

Extension algébrique :   

Une extension d'un corps K peut être obtenue en adjoignant à K des zéros d'un polynôme à coefficients dans K non éléments de K : on parle d'extension algébrique et on démontre que toute extension L de dimension finie sur K est algébrique.

extensions algébriques d'un corps (étude) :        Une extension non algébrique de Q, le corps Qp des nombres p-adiques :

Une extension simple K(u) du corps K, (plus petit corps commutatif contenant K et u, est dite transcendante sur K si u n'annule aucun polynôme non nul à coefficients dans K. L'élément u est alors dit transcendant sur K. C'est, par exemple, le cas de π.

Nombres de Liouville :

Méthode de construction d'une extension par adjonction :   

Avec les notations précédentes, il apparaît que K(E) = K∪E , fermeture de Moore de K∪E dans L. Donc si E = AB, on a :

Cette propriété exprime que l'on peut adjoindre à K des éléments successifs : les extensions obtenues par adjonctions successives égaleront l'extension obtenue globalement. Par exemple :

si E = {a,b}, alors K(a, b) = (K(a))(b)

Corps de nombres :   

On sous-entend parfois par cette appellation ambigüe, car elle exclut R ou C = R(i) toute extension algébrique simple ou finie du corps Q des nombres rationnels.

Construction du corps R des nombres réels :    

Corps des quotients d'un anneau intègre, corps des fractions :

On appelle extension d'un anneau A, un anneau K contenant un sous-anneau isomorphe à A. Voici un théorème fondamental permettant la construction d'un corps fondé sur un anneau commutatif.

Théorème :   

Tout anneau intègre commutatif (domaine d'intégrité) A possède une extension K qui est un corps commutatif,
appelé corps des quotients de A

Lorsque A est un sous-anneau intègre d'un corps commutatif K, on peut construire très simplement un sous-corps de K, dit corps des fractions de A. L'exemple précédent en est un si l'on considère Z plongé dans R.

Corps des quotients et construction d'un corps de fractions :  

Caractéristique d'un anneau (ou d'un corps, en tant qu'anneau) :

La caractéristique d'un anneau unitaire ou d'un corps (K,+,) d'éléments neutres I (multiplication) et 0 (addition) est le plus petit entier naturel non nul, s'il existe, tel que nI = 0. Appellation due à Steinitz.

Le "produit" nI désignant, dans le groupe (K,+), la somme de n éléments égaux à I. Si n, non nul, n'existe pas, la caractéristique du corps est dite est nulle : c'est le cas de R.


Montrer que si un anneau est de caractéristique 2, alors tout élément est son propre opposé. C'est le cas de Z/2Z.

A/  Cas d'un anneau unitaire (en particulier un corps) :               cas d'un anneau non unitaire

Supposons que l'anneau (A,+,) admette un élément unité I (élément neutre de sa multiplication), voire, seulement, au moins un élément simplifiable à droite ou à gauche pour sa seconde loi. Si A est commutatif, un tel élément r sera régulier "tout court". En considérant le cas simplifiable à droite, c'est dire que pour tout x de A, xr = 0 implique x = 0.

Pour tout n de N et tout x de A, on a :

(nx)r = (x + x + ... + x)r = xr + xr + ... +  xr = x( r + r + ... + r) = x(nr)

Par conséquent, si nr = 0, alors nxr = 0 et, vu que r est régulier à droite, on a aussi nx = 0 pour tout x. Supposons alors que le groupe cyclique C(r) engendré par r soit fini de cardinal cr. On a alors crr = 0, et donc  crx = 0 pour tout x de A. Par suite, cx est fini pour tout x et cr en est un multiple pour chaque x. L'ensemble des cx est donc fini et A admet une caractéristique non nulle ppmc des cx et cr : c'est donc cr et lorsque r n'est autre que l'élément neutre I de A, on retrouve la définition de la caractéristique donnée pour un corps.

En conclusion :     

  Pour étudier la caractéristique d'un anneau unitaire d'élément unité I, on recherche le plus petit entier naturel non nul tel que kI = 0 et, s'il existe, tous les groupes cycliques engendrés par un élément x de A ont le même cardinal k.

Propriété :     

Si A est un anneau unitaire non trivial (Card A 2) de caractéristique nulle, alors A est de cardinal infini

Preuve en exercice :

Par contraposition :       

Un anneau unitaire non trivial de cardinal fini est de caractéristique non nulle.

   La réciproque de ce résultat est fausse : considérer l'anneau ((E),Δ,∩) ( exercice) est un anneau commutatif unitaire d'élément unité E; supposons E infini. On a E Δ E = : caractéristique 2 et pourtant (E) est infini. N.B. Ce contre-exemple extrait du très remarquable et utile livre de Bertrand Hauchecorne : Les contre-exemples en mathématiques.

La caractéristique d'un anneau intègre non nul (de cardinal au moins égal à 2), est soit nulle soit un nombre premier.

Preuve : En effet, notons (A,+,) cet anneau, k sa caractéristique et 0 son élément nul. L'entier k est distinct de 1, sinon A serait réduit à un seul élément (son élément nul). Si k est non premier, alors k = pq avec p et q entiers strictement inférieurs à k. Par définition de k, il existe alors un couple (a,b) d'éléments de A tels que pa et qb soient non nuls. A étant intègre, on a donc paqb non nul. Mais ce produit n'est autre que pq(ab) = k(ab) = 0 (par définition de k) : contradiction. C'est dire que k est premier.

Réciproque fausse :      

Soit K = Z/2Z = {0,1} ( c'est un corps) et P l'espace vectoriel de dimension 2 sur K. P possède 4 éléments (et trois bases). L'anneau (P) des endomorphismes de P possède 16 = 24 éléments que l'on peut caractériser par leur matrice 22. Sa caractéristique est 2 (nombre premier) vu que 1 + 1 = 0. Cet anneau est non intègre, considérer les endomorphismes de matrices respectives :

Si R remplace Z/2Z, (P) est un anneau non intègre de caractéristique nulle.

B/  Caractéristique d'un anneau non unitaire :      

Dans le cas d'un anneau unitaire (anneau est dépourvu d'un élément unité), la définition de la caractéristique doit être modifiée. Considérons alors (A,+,) un anneau non réduit à son élément nul, noté 0, élément neutre de son groupe (A,+).

Soit x un élément non nul de A. On note -x le symétrique de A dans (A,+), -2x désigne alors (-x) + (-x), etc. Dans ces conditions C(x) = {..., -nx, ..., -2x, -x, 0, x, 2x, ... nx, ...} est le groupe cyclique engendré par x.

  Dans l'écriture {..., -nx, ..., -2x, -x, 0, x, 2x, ... nx, ...}, il se peut qu'un élément du type -nx soit égal à un des éléments kx, n et k positifs. Il convient alors de le retirer de la liste. Un exemple simple est le cas Z/3Z.

Supposons qu'il existe un entier naturel p non nul (qui dépend a priori de x) tel que px = 0. L'ensemble P de tels entiers est borné inférieurement dans N. P admet donc un plus petit élément non nul cx et l'ordre de C(x) est donc fini, car si n > p, la division de euclidienne de n par p fournit n = pq + r, r <p et nx = (pq + r)x = pqx + rx = q(px) + rx = rx. Enfin, si m est un multiple de cx, on a mx =  (qcx)x = q(cxx) = 0.

Maintenant, de deux choses l'une :

 1 - Pour tout x de A, l'existence de cx est assuré et l'ensemble des cx est une partie finie de N*.

Dans cette hypothèse, notons k le ppmc (plus petit multiple commun) de ces valeurs. Ce nombre k est ainsi le plus petit entier non nul tel que kx = 0 pour tout x de A. Il est, par définition, la caractéristique de l'anneau A.

Tout entier n tel que nx = 0 pour tout x de A est un multiple de k.

En effet, si nx = 0 pour tout x de A, alors, par définition de k, n > k. Posons n = km + r dans la division euclidienne de n par k. On a r < k. Pour tout x de A, on a alors  (km + r)x = 0 = m(kx) + rx. Mais kx = 0 pour tout x, donc rx = 0 pour tout x avec r < k; ce n'est possible que si r = 0, donc n multiple de k.

  2 - L'existence de cx n'est pas assuré pour chaque x.

Par exemple, il existe au moins un x tel que px = 0 n'a pas lieu à moins que p = 0 ou encore cx prend une infinité de valeurs dans N*. On dira alors que la la caractéristique de l'anneau A est nulle.

Anneau Z(k) :              Anneau et corps Z/nZ :             Anneaux et corps topologiques :

Puissances d'un élément :

Dans un anneau, noté ici (A,+, ), on peut définir la notion de puissance d'un élément a, obtenu par multiplications répétées de a par lui-même : on remarque tout d'abord que la multiplication étant associative : a (a a) = (a a) a pour tout a de A. On peut donc écrire ces deux produits plus simplement : a (a a) = (a a) a = a a a  et plus simplement encore a a a = a3. On dit que 3 est écrit en exposant et on lit a exposant 3 ou a puissance 3. En posant a a = a2, on peut maintenant écrire :

a3 = a a a = a (a a) = (a a) a = a2 a = a a2

D'une façon générale, si n est un entier naturel au moins égal à 2, la puissance n-ième de l'élément a est an = a a a ... a, produit de n éléments égaux à a. On lit a exposant n ou a puissance n. L'associativité de la multiplication (loi  ) dispense de parenthèses.

Lorsque l'anneau A est unitaire, d'élément neutre noté 1A, on prolonge la définition aux cas n = 0 et n =1 :

Ces deux conventions permettent d'écrire pour tout n et tout p de N :

an + p =  an ap

Lorsque l'élément a inversible dans A, en particulier lorsque cet anneau est un corps, on peut donner un sens à une puissance entière négative : si a' est l'inverse de a, on a : a a' = a' a = 1A.

Posons alors a' = a-1. La formule précédente se prolonge alors à tout n et p de Z.

La notion élémentaire de puissance, exposant rationnels ou non dans le cas de R et C :


 Pour en savoir plus :

  1. Leçons d'algèbre moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin, Éd. Dunod, Paris -1961
  2. Éléments de mathématique, Livre II, Ch. 1, Structures algébriques - N. Bourbaki, Éd. Hermann, Paris, 1964
  3. Cours de mathématiques - Classes préparatoires - tome 1 - Algèbre par J.M. Arnaudiès, H. Fraysse, Dunod Université, Paris, 1989.
  4. Corps finis (préparation à l'agrégation) par Romain Basson (Ens Rennes), 2014 :
    https://perso.univ-rennes1.fr/romain.basson/pdf/CorpsFinis.pdf


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