ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BERNSTEIN Felix, allemand, 1878-1956

 On ne le confondra pas avec le mathématicien russe Sergueï Natanovitch Bernstein.

Cet élève de Cantor (à Halle) et de HilbertGöttingen) se spécialisa naturellement en théorie des ensembles et les nombres transfinis dans le cadre du fondement des mathématiques.

Professeur à Halle dès 1901, cet ami d'Albert Einstein sera nommé à Göttingen en 1911. Déchu de ses droits civiques par le pouvoir nazi, il quittera l'Allemagne en 1934 pour les États-Unis afin échapper à la déportation.

Félix Bernstein enseignera dans diverses universités américaines comme celle de New York (Columbia university) et de Syracuse (État de New York, proche du lac Ontario). Il revint et reprit son poste à Göttingen en 1948.

Théorème de Bernstein (conjecturé par Cantor), également attribué à Schröder :

S'il existe une injection de E vers F et une injection de F vers E, alors il existe une bijection de E sur F
(et les ensembles E et F sont donc
équipotents).

Injection, surjection, bijection :                Cantor et la notion d'équipotence  :

On peut également énoncer :

Deux ensembles E et F sont équipotents dès que chacun d'eux est équipotent à une partie de l'autre

Ce puissant théorème, évidemment trivial pour les ensembles finis, présente un intérêt capital pour les ensembles infinis car il est souvent difficile d'exhiber une bijection entre deux tels ensembles que l'on pense être équipotents, c'est à dire naïvement, ayant "autant" (existence d'une bijection) d'éléments.

Rappelons qu'en admettant l'axiome du choix, on a le résultat suivant :

Théorème :     

S'il existe une surjection (resp. une injection ) de E vers F, alors il existe une injection
(resp. une surjection ) de F vers E.

Lorsque E et F sont finis, il est clair que si f est une surjection de E sur F, alors il existe une injection de F sur E. En effet, dans ce cas, E a plus d'éléments que F : Car(E) est au moins égal à Card(F). Donc, à tout élément de F on peut associer un élément de E en choisissant correctement les images : distinctes deux à deux.

Mais lorsque E et F sont infinis, si f est une surjection de E sur F, E contient certes intuitivement plus d'éléments que F ( théorème de Cantor) mais en réfutant l'axiome du choix, toute tentative de preuve de la construction d'une injection de F vers E est vouée à l'échec.

Preuve du théorème énoncé ci-dessus :       

Faisons le choix d'admettre l'axiome du choix... exprimé sous cette forme : dans toute classe d'ensembles non vides et disjoints, on peut extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble non vide.

Soit s une surjection de E sur F. Pour tout y de F il existe donc (au moins) un x de E tel que y = s(x). Par suite, pour tout y de F, l'ensemble s-1(y), image réciproque de y par s, est une partie non vide de E. L'ensemble de ces parties constituent une partition de E : si y et y' sont distincts, s-1(y)s-1(y') est vide et la réunion des s-1(y) est E.

Selon l'axiome du choix, on peut constituer un ensemble de E en choisissant un seul élément xy dans chacun des ensembles s-1(y). On construit ainsi une application f de F vers E qui à tout y de F associe xy et cette application est injective par construction : si y y', alors s-1(y)s-1(y') est vide et par conséquent x x'.

Application :     

On peut trouver une application de ces résultats dans une preuve de la non dénombrabilité de l'ensemble triadique de Cantor : dans l'étude de cet ensemble, on a défini la fonction qui à tout x de T, x = 0,t1t2t3....ti.... en base 3, avec ti = 0 ou 2, associe le nombre f(x) = 0,d1d2d3....di.... en base 2 avec di = 0 si ti = 0 et di = 1 si ti = 2.

Cette fonction est surjective de T sur [0,1]. Mais elle n'est pas injective : 0,2/base 3 (valant 2/3) a pour image 0,1/base 2 (valant 1/2) et 0,022222222... a pour image 0,011111111... Or ce nombre n'est autre 0 x 20 + 0 x 2-1 +  (2-2 + 2-3 +2-4 +...) = 2-2 x (1 + 2--1 +2--2+ 2--3...) = ¼ x [1/(1-½)] = 1/2 : c'est encore 0,1/base 2 !

Appliquons le théorème ci-dessus : f étant surjective de T sur [0,1], il existe donc une injection g de [0,1] sur T. Or T est inclus dans [0,1], par conséquent l'application h qui à tout x de T associe ce même x dans [0,1] est une injection triviale de T dans [0,1].

On conclut, par le théorème de Bernstein que T et [0,1] sont équipotents : c'est dire que T a la puissance du continu : "autant" de points que (au sens de l'équipotence : existence d'une bijection) R !

Nombres cardinaux :


Landau  Dehn
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