ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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FORTET Robert, français, 1912-1998      André Blanc-Lapierre , Jacques Neveu

Photo : Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires de Paris-Jussieu.

Après des études secondaires au Prytanée militaire de la flèche (Orne), Fortet entre à l'ENS. Agrégé de mathématiques (1934), il soutiendra, sous la direction de Fréchet, une thèse (1939) sur les processus markoviens dans le cas de chaînes dénombrables (à nombre infini d'états) définies dans des espaces de Banach.

Les travaux de Fortet porteront alors sur la théorie des processus aléatoires et la théorie ergodique dans le cadre de la théorie de la mesure, fondement mathématique de la théorie moderne des probabilités initiée par Kolmogorov.

Fortet fut professeur à la faculté des sciences de Caen et de Paris ainsi qu'à l'ESPCI (École supérieure de Physique et de Chimie Industrielles de la Ville de Paris), créée en 1882. Directeur du laboratoire de probabilités de Paris-Jussieu (plus précisément, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, LPMA) mis en place à son initiative (1960), il fut également directeur de recherches au CNRS et élu membre correspondant de l'Académie des sciences en 1973.

Notion d'ergodicité, théorie ergodique, mécanique statistique et mouvement brownien :

Naïvement, l'ergodicité peut s'énoncer comme la propriété, pour un système mécanique donné, de converger en probabilité vers un état final indépendant de son état initial. En 1868, le physicien autrichien Ludwig Boltzmann (1844-1906) étudie et décrit le mouvement global des molécules dans les milieux gazeux (théorie cinétique des gaz) et crée quelques années plus tard (1877) la mécanique statistique, dont Maxwell, par une approche distincte, est également à la base. Aux États-Unis, ce point de vue sera développé par Gibbs. Par statistique, on veut signifier une étude rendant compte du comportement d'un grand nombre d'atomes ou molécules de même nature.

  Ludwig Boltzmann sur WikipédiA             Pauli

A l'origine de cette mécanique est la découverte (1827) du mouvement brownien (appellation est due à Paul Lévy) par le botaniste écossais Robert Brown (1773-1858) décrivant des trajectoires apparemment désordonnées des particules de pollen dans l'eau et s'interprétant aujourd'hui comme un processus markovien (sans mémoire). Il fut étudié par Wiener qui le décrivit au moyen de fonctions continues dérivables en aucun point et, plus récemment par J.-P. Kahane (réf. 6 & 7) :

Le mouvement brownien et son histoire, une page de J.-P. Kahane sur images des Maths (CNRS) :

La théorie atomiste viendra à s'imposer et impliquer l'impossibilité de décrire un système physique à l'échelle microscopique par un système lagrangien d'équations différentielles en fonction du temps car il y aurait autant d'équations que de particules ! Le physicien est amené à considérer des moyennes d'observations s'interprétant comme des espérances mathématiques au sens mathématique du calcul des probabilités.

L'équation de Boltzmann, décrivant l'évolution d'un gaz raréfié, très complexe car elle contient tout à la fois des éléments d'intégration et de dérivation (équation aux dérivées partielles), est un objet d'études mathématique actuel comme le montrent les deux médaillés Fields Pierre-Louis Lions (1994) et Cédric Villani (2010).

Les médaillés Fields depuis 1936 :               Fields

L'hypothèse ergodique (du grec ergon = énergie, qui a aussi fourni erg) pour un système isolé (conservant son énergie), énoncée par Boltzmann en 1871 dans le cadre de sa théorie cinétique des gaz, consiste à exprimer que ces moyennes devraient converger avec le temps vers les mêmes limites que celles obtenues si on avait pu calculer les moyennes de chaque particule du système.

La notion d'entropie :

En mathématiques, la théorie ergodique, à laquelle s'attela Poincaré dans les années 1890, étudie le comportement limite des systèmes dynamiques en recherchant des propriétés invariantes. Ses outils sont aujourd'hui la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue, qui manqua à Poincaré dans ses premières recherches), le calcul des probabilités, les processus stochastiques, la géométrie différentielle.

On retrouve le principe ergodique en théorie des graphes (matrices de transition) et en calcul des probabilités lorsqu'on énonce par exemple la loi forte des grands nombres.

Théorème ergodique de Birkhoff :

  Yoccoz , Hairer , Kolmogorov , Markov , Bachelier


                 

Pour en savoir plus :

  1. Publications de R. Fortet numérisées sur le site Numdam : http://www.numdam.org/search/Fortet-a

  2. Écrits sur les processus aléatoires (plusieurs contributions en hommage à R. Fortet) Éd. Hermès Science, Paris - 2005

  3. Processus stationnaires et de Markov, entropie, publication de R. Fortet in La cybernétique, théorie du signal et de l'information par une équipe de physiciens et mathématiciens, sous la direction de Louis de Broglie
    Éd. de la Revue d'Optique théorique et instrumentale, Paris - 1951

  4. Physique statistique, cours, exercices et problèmes corrigés, par Hung T. Diep, Coll. Ellipses, Paris - 2006

  5. Théorie des fonctions aléatoires, par A. Blanc-Lapierre et R. Fortet. Éd. Masson, Paris - 1953

  André Blanc-Lapierre (1915-2001), physicien et mathématicien français qui contribua à l'introduction en physique d'un usage rigoureux des probabilités et des fonctions aléatoires. Normalien, thèse de doctorat dirigée par Robert Fortet (1945), Sur certaines fonctions aléatoires stationnaires et applications à l'étude des fluctuations dues à la structure électronique de l'électricité. Spécialiste en mécanique statistique, traitement du signal. Professeur à Alger (1950-1961), la direction du laboratoire du tout nouvel accélérateur de particules d'Orsay lui fut confiée. Directeur de l'École Supérieure de l'électricité (SupElec). Élu à l'Académie des sciences en 1970.
Biographie et travaux sur le site de SupElec : http://www.supelec.fr/actu/Blanc-Lapierre.PDF 

  1. Le mouvement brownien et son histoire par J.-P. Kahane :
    http://images.math.cnrs.fr/Le-mouvement-brownien-et-son.html 

  2. Paul Langevin, le mouvement brownien et l'apparition du bruit blanc, vidéo-conférence J.-P. Kahane (source BnF/SMF) :
    http://smf.emath.fr/content/kahane-j-p-paul-langevin-le-mouvement-brownien-et-lapparition-du-bruit-blanc-2014

  3. Notion de théorie ergodique : http://www.univ-rouen.fr/LMRS/Vulgarisation/TE/img0.html

  4. Bases mathématiques du calcul des probabilités (dont théorie ergodique), par Jacques Neveu
    un livre éblouissant par sa rigueur, sa clarté, sa pédagogie.
    Préface de R. Fortet qui fut son directeur de thèse, Éd. Masson & cie - Paris, 1964.

  5. Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires :
    a/
    b/ Le LPMA fête ses 50 ans : https://www.sciencesmaths-paris.fr/fr/le-lpma-fete-ses-50-ans-199.htm

  Jacques Neveu (1932-2016) : mathématicien belge. On peut le considérer comme le fondateur d'une théorie rigoureuse des probabilités basée sur la théorie de la mesure de Lebesgue. Il fit toute sa carrière en France. Thèse de doctorat dirigée par Robert Fortet (1955) intitulée Étude des semi-groupes de Markov. Professeur à Paris (Jussieu) et à l'École polytechnique, ses cours étaient d'une rare limpidité. En 1980, il prit la direction du Labo de probabilités de Jussieu (LPMA). En 1991, il crée le groupe Modélisation Aléatoire et Statistique (MAS), rattaché à la SMAI (Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles. Depuis 2008, un prix Jacques Neveu, mis en place par la SMAI récompense des thèses en probabilités ou statistiques soutenues en France. Jacques Neveu fut avec Meyer et Lévy l'un des fondateurs de l'école française moderne des probabilités.  Hommage à Jacques Neveu sur le site du CNRS : http://www.cnrs.fr/insmi/spip.php?article1748.


Schneider  Lelong
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