ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

POINCARÉ Jules Henri, français, 1854-1912

Raymond Poincaré. On ne le confondra pas avec, à droite, son cousin Raymond (1860-1934), avocat, qui fut Président de la IIIè République (1913-1920).

Né à Nancy, Poincaré entre à Polytechnique, classé premier de sa promotion(1873). Ingénieur des Mines de Nancy, docteur ès sciences mathématiques (1879), sa thèse dirigée par Hermite était intitulée Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles (dérivées partielles). Le jury était composé d'éminents mathématiciens : Bonnet, Bouquet et Darboux.

Poincaré professa aux universités de Caen (1879-1881) puis à Paris durant toute sa carrière. Récipiendaire du prix Poncelet (1885), ll sera élu à l'Académie des sciences en 1887, succédant à Laguerre.

Savant universel, Henri Poincaré fut aussi un philosophe de renom et se plaça dans le courant mathématique constructiviste. Il est être considéré, avec Hilbert en Allemagne, comme un des plus grands mathématiciens à la charnière du 20è siècle.

Ses travaux et résultats couvrent d'immenses domaines :

  • La topologie, qu'il va développer comme une branche autonome des mathématiques (Analysis situs, Journal de l'École Polytechnique, 1895 : extrait et liens) dans le cadre de ce qui deviendra la topologie combinatoire issue des premiers travaux de Leibniz, Euler et Listing avant de devenir la topologie algébrique avec l'intervention de la théorie des groupes due à Sophie Germain et Hopf.
    Analysis situs : issu du grec et du latin savant analysis = analyse, étude et situs = situation au sens des cas et configurations à envisager : aspects combinatoires.

  • La topologie différentielle, étude de propriétés topologiques de certaines variétés différentielles au sujet desquelles il émet une conjecture célèbre.

Notion de topologie combinatoire :                          Topologie générale et métrique :

  • L'analyse, dont l'étude des équations différentielles pour lesquelles il donne, en 1881, une méthode générale de résolution;

  • Les fonctions elliptiques et automorphes suite aux travaux de Fuchs;

  • Les fondements des mathématiques avec l'étude des théories axiomatiques, la notion de continu qui ne doit pas se fonder sur le continu intuitif géométrique. Il se rattache à la pensée constructiviste de Kronecker et Brouwer.

  Fréchet

  • La géométrie non euclidienne (appliquée à la théorie des formes quadratiques);

  • La géométrie différentielle prolongeant la géométrie riemannienne;

  • la mécanique analytique et la mécanique céleste (Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, 1891-1899) avec l'étude du problème des trois corps, où il introduit l'analyse asymptotique consistant en particulier à rechercher un équivalent simple d'une fonction f au voisinage d'un point xo fini ou non.  

Stieltjes , Romberg                 Le "dernier" théorème de Poincaré :

Cette recherche passe alors par celui d'un développement asymptotique de f au voisinage de xo en un nombre fini de termes. Un développement limité obtenu à partir de la formule de Taylor est un développement asymptotique.

  • La physique mathématique; en électricité, on lui doit la résolution de l'équation dite des télégraphistes : description de la propagation électrique dans un câble conducteur;

  • Les débuts de la théorie ergodique prenant sa source dans la découverte du mouvement brownien. Poincaré énonce son hypothèse ergodique (1890) qui sera prouvée par Birkhoff.

 Notion d'ergodicité :

  • La théorie des probabilités.

Géométries non euclidienne, géométrie et topologie différentielles :

De très nombreux théorèmes ou concepts portent son nom. En particulier :

Demi-plan de Poincaré :       

L'ensemble des complexes z = a + ib tels que b > 0 est appelé demi-plan de Poincaré. Il y construisit un modèle de géométrie plane hyperbolique (dite de Lobatchevski) où les droites sont des demi-cercles centrés sur l'axe des abscisses (non inclus dans ce demi-plan).

Modèle de Poincaré :         

Autre représentation plane de géométrie hyperbolique, également dite de Lobatchevski.

Notions sur les géométries non euclidiennes :

Conjecture de Poincaré (1904) :      

Toute variété fermée et simplement connexe de dimension n de l'espace Rn+1
est homéomorphe à la sphère unité Sn ?

Notons ici que c'est à Poincaré que l'on doit le terme d'homéomorphisme dans son Analysis situs de 1895 :

Analysis situs, extraits et liens :

Les cas n = 0, 1 sont triviaux. Le cas n = 2, relativement simple : cas d'une surface de l'espace usuel, fut formulé différemment et résolu par Riemann dans son étude générale des surfaces.

L'ellipsoïde, le cube (en tant que surface : pas le pavé), par exemple, sont homéomorphes à la sphère de notre espace usuel 3D. Ce n'est pas le cas du tore ou d'une patate trouée...

La figure de droite représente un cube inscrit dans une sphère. L'application qui à tout point S de la sphère, associe l'intersection C du cube avec le rayon [OS], est bijective et continue ainsi que sa réciproque (à deux points du cube infiniment proches correspondent deux points infiniment proches de la sphère) : la sphère et le cube sont homéomorphes.

En fait, en 1904, Poincaré posait le problème dans le cadre de la géométrie euclidienne de dimension inférieure ou égale à 3. Ce dernier cas correspondant à une surface "usuelle" compacte et sans "trous" est très difficile et ne fut résolu qu'en 2003 ( ci-après.

En 1934, la conjecture fut généralisée à n entier naturel quelconque et proposée à la sagacité des mathématiciens du monde entier. On peut aussi l'énoncer ainsi :

Le cas n 5 a été prouvé par Smale (1961).

Le cas n = 4 a été prouvé par Freedman (1982), ce qui lui valut, avec Simon K. Donaldson la médaille Fields 1986.

Au début du 21è siècle, seul le cas n = 3 restait donc un problème ouvert : surfaces de dimension 3 plongées dans un espace à 4 dimensions (première conjecture, pour les autres valeurs de n, on parlait de conjecture généralisée).

  En 2003, le mathématicien russe Gregory L. Perelman (1966-) de l'Institut Steklov de Saint-Petersbourg, annonça à boston, lors d'un séminaire du MIT, avoir prouvé la célèbre et très difficile conjecture (7 ans de travail acharné) qui lui valut en 2006 la médaille Fields (qu'il refusa évoquant des différends avec la communauté scientifique) mais aussi 1 million de dollars de l'Institut Clay qu'il refusa également !!!

Ce type de réaction, à la Grothendieck, est contestable, pour ne pas dire imbécile et nombriliste, dans une conjoncture sociale mondiale difficile où ces types de prix pourraient être reversé à des branches de la recherche, médicale par exemple (sida, cancérologie, maladies infantiles) ou des associations caritatives dans des pays où des enfants meurent chaque jour victimes de malnutrition.

Millennium Prize Problems :  

Mécanique céleste, le problème des 3 corps :

Dans un traité intitulé Mémoire sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, il solutionne partiellement (1889) le célèbre problème (détermination des trajectoires de trois corps célestes en interactions dans l'espace) et reçoit à Stockholm le grand prix du roi de Suède. Le finlandais Sundman et l’astronome français Chazy résoudront définitivement ce problème, considéré jusqu'aujourd'hui comme un des plus difficiles des mathématiques.

Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste marquent en effet une nouvelle approche de cette mécanique (introduction de la topologie et du calcul des probabilités). Poincaré est ainsi à la source de ce qu'on appellera les systèmes dynamiques que développeront en particulier Birkhoff et, plus récemment Yoccoz. A noter que le problème de n corps, conduisant à un système de 3n équations aux dérivées partielles du second ordre (rempli à profusion de fonctions trigonométriques de plusieurs variables...) n'est pas encore complètement résolu.

Théorème de Poincaré-Birkhoff :

Le concept de développement asymptotique selon Poincaré :

Afin de résoudre les difficiles équations différentielles de mécanique céleste, dont le fameux sus cité, Poincaré élargit le concept de développement en série en définissant celui de développement asymptotique, série divergente susceptible cependant d'approcher des fonctions au voisinage de l'infini (un sujet initié par Cauchy en 1843 : Sur l'emploi légitime des séries divergentes, également traité par Stieltjes parlant de séries semi-convergentes) et montre notamment qu'une série asymptotique peut fort bien approcher une fonction si on se limite à un nombre fini et convenable de termes. On parle aujourd'hui d'analyse asymptotique.

On dit que deux fonctions f et g sont asymptotiquement équivalentes au voisinage de l'infini (et on note f ~ g) pour exprimer que le rapport f(x)/g(x) tend vers 1 pour x infini (par exemple, f : xx et g : xx+x).

Fonctions équivalentes :

Soit (hn) une suite de fonctions réelles ou complexes vérifiant dans un voisinage V d'un point a fini ou non hk+1(x) = o(hk(x)) pour tout x distinct de a : c'est dire, avec cette notation de Landau, que hk+1 est négligeable devant hk au voisinage de a.

Définition :     

Si au voisinage de a, il existe un entier k telle que :

f(x) = a1h1(x) + a2h2(x) + ... akhk(x) + o(hk(x)),

on dira que f admet un développement asymptotique au voisinage de a.

Les fonctions hk constituent une échelle de comparaison. et on dit aussi que f admet un développement asymptotique au voisinage de a pour l'échelle (hn).

La fonction x a1h1(x) est la partie principale de f.  Au voisinage de a, Les fonctions x1/(x - a)k tendent vers l'infini. On retrouve là la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.

  • Un cas important de développement asymptotique est celui de la fonction G (fonction gamma) de Euler définie par l'intégrale :

  • Les formules d'interpolation polynomiale sont des cas particuliers fondamentaux de développement asymptotique : lorsque x tend vers a, x - a tend vers 0 et les cas classiques sont ceux où les hk(x) sont les fonctions puissances x(x - a)k tendant vers 0. On parle alors de développement limité.

Polynômes d'interpolation de :
 Bernoulli , Lagrange , Hermite , Legendre , Tchebychev , ...

Formule de Taylor et développement limité :                      Cas des fractions rationnelles :

 Pour en savoir plus :

Groupes d'homotopie :

Groupe de Poincaré :

 Pour en savoir plus sur Poincaré et ses travaux : 

  Chèvre de Poincaré

Riquier Véronèse
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