ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cuve à base carrée de parois minimales       TD niveau 2nde/1ère/Ter     
   
Cuve à base rectangulaire , volume maximal ,  cuves cylindriques

On désire fabriquer un réservoir métallique à ciel ouvert, parallélépipède droit de base carrée, de contenance 4 m3.

Pour des raisons d'étanchéité, les surfaces intérieures seront traitées; ce traitement coûte cher. Il s'agit alors de calculer les dimensions optimales afin que le coût du traitement soit minimal.

1°/ Le mètre étant l'unité de mesure, calculer avec les notations de la figure 1 ci-contre, le volume de la cuve en fonction de x et de h; en déduire, par élimination de h, que l'aire totale des surfaces intérieures est :

S(x) = x2 + 16/x

2°/ Étudier les variations de S pour x > 0.
En classe de seconde, on étudiera le signe de S(a) - S(b) sur les intervalles
     ]0,2] et [2,+[ avec a > 0, b > 0 et a < b.

3°/ La représentation graphique de S est donnée ci-dessous (C'est une cubique car l'équation peut se mettre sous la forme x3 - xy + 16 = 0). Déduire de ces calculs que les cotes optimales sont x = 2 et h = 1.

 Prolongements :

a) Sachant que pour une sphère de rayon R, le volume est 4πR3/3 et la surface 4πR2, vérifier que le choix d'un réservoir hémisphérique est nettement plus avantageux : 9,67 m2 environ de surface intérieure contre 12 m2 pour l'option choisie.

b) Dans cet exercice, la base a été choisie carrée. En effet, à volume donné et afin de minimiser l'aire totale des parois intérieures du réservoir, une base carrée est préférable à une base rectangulaire. On prouve cela dans cet exercice.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 

© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution partielle :

  En classe de 1ère (outil dérivation) :

La fonction S est la somme de deux fonctions élémentaires dérivables :

S'(x) est du signe de son numérateur que l'on peut écrire

Or, a < b a3 < b3 (la fonction cube est strictement croissante), donc :

S'(x) < 0    x3 - 23 < 0    x3 < 23    x < 2

S est donc strictement décroissante sur l'intervalle [0,2[, strictement croissante sur l'intervalle ]2,+[ et atteint son minimum en x = 2, de valeur S(2) = 12.

  En classe de seconde :

Donc :

Nous avons : a + b < 4 et 0 < ab < 4, donc 16/ab > 4 : le crochet est donc négatif. Par conséquent, vu que a - b < 0, on a S(a) - S(b) > 0, soit S(a) > S(b) : S décroît strictement.

S(2) = 12 est donc le minimum de la fonction sur l'intervalle ]0,+[.


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