ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Cuve à base carrée de parois
minimales TD
2nde/1ère/Ter
» cas rectangulaire , cas cylindrique | » Recherche d'un volume maximal |
On désire fabriquer un réservoir métallique à ciel ouvert, parallélépipède droit de base carrée, de contenance 4 m3.
Pour des raisons d'étanchéité, les surfaces intérieures seront traitées; ce traitement coûte cher. Il s'agit alors de calculer les dimensions optimales afin que le coût du traitement soit minimal.
1°/ Le mètre étant l'unité de mesure, calculer avec les notations de la figure 1 ci-contre, le volume de la cuve en fonction de x et de h; en déduire, par élimination de h, que l'aire totale des surfaces intérieures est :
S(x) = x2 + 16/x
2°/
Étudier les
variations de S pour x > 0.
En
classe de seconde, on étudiera le signe de S(a) - S(b) sur les
intervalles ]0,2] et [2,+∞[
avec a > 0, b > 0 et a < b.
3°/ La représentation graphique de S est donnée ci-dessous (C'est une cubique car l'équation peut se mettre sous la forme x3 - xy + 16 = 0). Déduire de ces calculs que les cotes optimales sont x = 2 et h = 1.
Prolongements :
a) Sachant que pour une sphère de rayon R, le volume est 4πR3/3 et la surface 4πR2, vérifier que le choix d'un réservoir hémisphérique est nettement plus avantageux : 9,67 m2 environ de surface intérieure contre 12 m2 pour l'option choisie.
b) Dans cet exercice, la base a été choisie carrée. En effet, à volume donné et afin de minimiser l'aire totale des parois intérieures du réservoir, une base carrée est préférable à une base rectangulaire. On prouve cela dans cet exercice.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution partielle : |
♦ En classe de 1ère (outil dérivation) :
La fonction S est la somme de deux fonctions élémentaires dérivables :
S'(x) est du signe de son numérateur que l'on peut écrire
Or, a < b ⇔ a3 < b3 (la fonction cube est strictement croissante), donc :
S'(x) < 0 ⇔ x3 - 23 < 0 ⇔ x3 < 23 ⇔ x < 2
S est donc strictement décroissante sur l'intervalle [0,2[, strictement croissante sur l'intervalle ]2,+∞[ et atteint son minimum en x = 2, de valeur S(2) = 12.
♦ En classe de seconde :
Supposons a < b étudions le signe de S(a) - S(b) sur l'intervalle ]0,2] :
Donc :
Nous avons : a + b < 4 et 0 < ab < 4, donc 16/ab > 4 : le crochet est donc négatif. Par conséquent, vu que a - b < 0, on a S(a) - S(b) > 0, soit S(a) > S(b) : S décroît strictement.
Sur l'intervalle [2,+∞[, a + b > 4 et ab > 4, donc 16/ab < 4 et le crochet est strictement positif. Par conséquent S(a) > S(b) : S croît strictement.
S(2) = 12 est donc le minimum de la fonction sur l'intervalle ]0,+∞[.