ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

FOURIER  Joseph Jean-Baptiste, français, 1768-1830

Né à Auxerre, orphelin alors qu'il n'avait qu'une dizaine d'années, Fourier fut élevé au monastère de Saint-Benoît sur Loire et s'intéressa très tôt aux mathématiques. En 1789 éclate la Révolution, il obtient un poste d'enseignement dans sa ville natale et renonce à la vie religieuse à laquelle l'orphelinat le destinait.

Fourier s'insurgea contre les exécutions arbitraires de la Terreur et fut arrêté en 1794. Soutenu par la communauté scientifique, dont Monge, il sera rapidement libéré et fut un des premiers professeurs (d'analyse) de l'École Polytechnique créé par ce dernier fin 1794.

Physicien et statisticien bonapartiste, Fourier participa à la campagne d'Égypte (1798) : en tant qu'observateur scientifique, on lui doit les plans des plus célèbres monuments de l'Égypte ancienne. Anobli sous Napoléon, il fut Secrétaire de l'institut d'Égypte et préfet de l'Isère (jusqu'en 1815).

Ses hautes fonctions administratives ne l'empêchent pas de travailler à son œuvre maîtresse sur la théorie de la propagation de la chaleur (dès 1807) le conduisant à établir des résultats novateurs sur le développement en série trigonométrique des fonctions numériques, étudié auparavant par Daniel Benoulli (et Euler) au sujet de la propagation du son (théorie des tuyaux sonores et des cordes vibrantes). Le cadre mathématique de ses recherches, initié par d'Alembert, est ce qu'on appelle aujourd'hui l'analyse harmonique.

Analyse et synthèse harmoniques :               d'Alembert et la notion d'analyse harmonique :               

Sa Théorie analytique de la chaleur, publiée en 1812, réunissant l'ensemble de ses travaux sur le sujet, lui valut le grand prix de mathématiques de l'Académie des sciences de Paris. Malgré ses démêlés avec le roi Louis XVIII, il y fut élu en 1817 (son élection en 1816 avait été rejetée par le roi) avant d'en devenir le secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques et physiques (1822).

Considéré comme l'un des fondateurs de ce que l'on appelle la physique mathématique dont Poisson et le suisse Daniel Bernoulli pérenniseront les travaux, Fourier fut aussi élu à l'Académie française en 1827. Mort d'une chute accidentelle, certains de ses travaux seront publiés à titre posthume en 1831 et encore plus tard par Darboux (Oeuvres de Fourier, 1889-90).

Une notation bien pratique : 

On doit à Fourier la notation actuelle de l'intégrale définie, comme :  

et désignant le calcul de l'intégrale de f sur l'intervalle fermé [a,b], intervalle d'intégration. Privée de a et b, la notation indique une intégrale indéfinie, synonyme de primitive. Utilisées par Cauchy, ces notations furent universellement adoptées. Rappelons que c'est à Leibniz que l'on doit le symbole d'intégration (rappelant un S comme sommation au sens de Riemann).

En savoir plus sur les intégrale définies, indéfinies, généralisées, exercices :             Intégrale de Riemann :

L'équation de la chaleur (1807) :

La théorie de la chaleur consista à étudier la variation de température T transmise par conduction dans une barre homogène par une ou plusieurs sources de chaleur. On obtient une équation du type :

              Maxwell , Laplace

Dans cette équation aux dérivées partielles du second ordre, T(x,y,z,t) est la température à l'instant t d'un point de coordonnées x,y,z. La constante k ne dépend que du conducteur. Le lecteur intéressé par ce sujet pourra consulter les références 6 & 7 in fine.

Séries trigonométriques et séries de Fourier (1807)

Une série trigonométrique est une série de fonctions Σun(x) (à termes réels ou complexes) dont le terme général un(x) est de la forme un(x) = ancos(nx) + bnsin(nx). Les coefficients de Fourier d'une fonction f supposée 2π-périodique sont, pour tout n de N :

On peut bien entendu remplacer l'intervalle d'intégration [0,2π] par [-π,+π] où tout autre intervalle d'amplitude 2π. Les an (resp. bn) sont nuls pour tout n si f est impaire (resp. paire). La série trigonométrique, dite de Fourier, associée à f est alors :

Justification de ces coefficients, exemples, convergence :                  Sommes de Fejér :

  Calcul de ζ(2) , calcul de ζ(4)

Transformation de Fourier, transformée de Fourier : 

Soit f est une fonction définie sur R et à valeurs dans R ou C, la transformée de Fourier de f est la fonction définie par :

L'existence de F est assurée lorsque f est absolument intégrable sur R, c'est à dire lorsque l'intégrale

 R |f(t)| dt

est convergente  ( espaces Lp).

  Noter qu'il est plus correct de poser en fait F(f)(ω) ou F[f](ω) plutôt que F(f)(ω). La littérature mathématique utilise souvent l'écriture cursive : (f) se lit alors transformée de Fourier de f.

Important : Suivant les auteurs, les objectifs et les changements de variables, la transformée de Fourier admet plusieurs définitions susceptibles de changer certains résultats à des constantes multiplicatives près. Par exemple, pour mieux concorder avec le calcul des probabilités (fonction caractéristique d'une variable aléatoire), le coefficient 1/2π peut être absent où être remplacé par 1/ et iωt remplace parfois -iωt.

En remarquant que :

et en utilisant les formules d'Euler, on voit que si f est paire, alors :

et si f est impaire :

D'une façon générale, F(-ω) = F(ω), conjugué de F(ω). Le fait que f soit réelle n'implique nullement que F le soit.

La transformation de Fourier apparaît dans de nombreux phénomènes physiques (électricité, équations des cordes ou des membranes vibrantes, équation de la chaleur, théorie du signal, ...).

On utilise d'ailleurs ici la variable ω (pulsation) car lorsque f correspond à la description d'un signal à l'instant t, sa transformée F s'interprète comme la description de sa fréquence ω/2π dont la représentation graphique est appelée spectre de f.

La transformation de Fourier et ses applications en physique mathématique s'étend aujourd'hui à une catégorie plus large de fonctions : celle des distributions.


1. Vérifier que la transformée de Fourier de x f(kx) est ω 1/| k |F(ω/k). On distinguera k > 0 et k < 0.
2. a/  Calculer la transformée de Fourier de la fonction x e-|x|. En déduire celle de x e-k|x|, k > 0.
b/  Vérifier par un calcul direct.
 
3. Intégrale de Gauss et transformée de Fourier de la fonction x  exp(-x2/2) : cliquez-moi...

En savoir plus sur la transformée de Fourier :          Transformée de Laplace :

Théorème de Fourier sur la séparation des racines d'une équation algébrique :

En 1789, Fourier présente à l'Académie des sciences un mémoire sur la résolution des équations algébriques datant en fait, selon Darboux de 1787 ( ci-après). Ce très beau théorème relatif à la séparation des racines, à savoir la détermination d'intervalles disjoints contenant une racine unique, complète une première approche de Descartes sur le sujet :

Soit P(x) = 0 une équation polynomiale de degré n à coefficients réels, a et b, a < b, deux réels tels que P(a) et P(b) soient non nuls.

P(k) désignant la dérivée k-ème de P, on note V(x) le nombre de changements de signe dans la séquence [P(x), P'(x), P''(x), ..., P(n)(x)]. Dans ces conditions :

  1. V(a) V(b)

  2. Si V(a) = V(b) : il n'y a aucune racine dans l'intervalle [a,b]

  3. Si V(b) - V(a) = 1 : l'équation possède une racine unique dans ]a,b[

  4. Si V(b) - V(a) = 2 : l'équation possède deux racines réelles ou complexes dans ]a,b[

  5. Si V(b) - V(a) = 3 : l'équation possède une racine réelle ou trois racines dont
    deux racines complexes dans ]a,b[

  6. Plus généralement, le nombre de racines réelles dans l'intervalle ]a,b[ est au plus égal à V(b) - V(a).

En savoir plus sur ce théorème :                   Le théorème de Sturm (1829) :

Pour en savoir plus :

  1. Cours de mathématiques, tome 1, Jean Bass, Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.

  2. Cours de Noëlle Pottier (université Paris 7) :
    Séries de Fourier : http://www.msc.univ-paris7.fr/~pottier/page2/files/Chapitre_1.pdf

  3. Espaces de Hilbert et séries de Fourier, cours de Charles Suquet (Univ. de Lille) :
    http://math.univ-lille1.fr/~suquet/ens/IFP/Cours/cours04/Chap7ifp04.pdf

  4. Transformation de Fourier, cours & exercices de Michel Lecomte (École des Mines de Douai) : http://fcd.ema.fr/fourier.pdf

  5. Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, par Laurent Schwartz. Éd. Hermann,1965.
    Résolution des équations des cordes vibrantes, des membranes vibrantes et de la chaleur dans le cadre de la théorie des distributions.

  6. Simulation numérique de la diffusion de la chaleur, pages de Robert Mellet :
    http://pagesperso-orange.fr/robert.mellet/diff/diff_01.htm


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