ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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STURM Charles Jacques François, français, 1803-1855

Source portrait : http://www.nndb.com/

Physicien et mathématicien d'origine suisse. Né à Genève, il s'établit à Paris où, terminant ses études, il fut précepteur auprès des ducs de Broglie, célèbre et famille française d'origine lombarde (politiciens, historiens, économistes, physiciens).

Sturm enseigna à l'École polytechnique et à la faculté des sciences de Paris où il succéda à Poisson (1840).

Ses travaux portent principalement sur l'étude de la compressibilité des liquides et sur la vitesse du son dans l'eau, ce qui le conduit, en collaboration avec Liouville, à l’étude de solutions d’équations différentielles à valeurs complexes. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1836.

Théorème de Sturm (1829) :

Ce théorème, aboutissement de travaux initiés par Descartes, indique le nombre de zéros réels d'un polynôme dans un intervalle donné (problème de la séparation des racines) et complète celui de Budan de Boislaurent énoncé une vingtaine d'années auparavant. Sturm l'enseigna à l'École Polytechnique (1829) et ne le publia qu'en 1835.

Si P désigne un polynôme de degré n, notons P' sa dérivée. Dans la division euclidienne du polynôme P par le polynôme Q, on note P mod. Q le reste de la division euclidienne de P par Q. Posons maintenant (suite de Sturm ou chaîne de Sturm) :

R0 = P, R1 = P', R2 = - R0 mod. R1, ..., Rk+1 = - Rk-1 mod. Rk (chaque reste est changé de signe)

Soit V(x) le nombre de changements de signe dans la séquence [R0(x), R1(x), R2(x), ..., Rn(x)]. Avec cette notation, si  a et b désignent deux réels tels que a < b et P(a) et P(b) soient non nuls, alors :

Si P n'admet pas de racines multiples, le nombre de racines réelles
dans l'intervalle ]a;b[ est égal à V(a) - V(b)

Si une racine α est multiple de multiplicité k, le polynôme P', dérivé de P, s'annule en α et la multiplicité de α est k - 1. On se ramènera alors des racines simples en divisant le polynôme P par le PGCD de P et P'.  

Division euclidienne de polynômes :

Exemple : considérons P(x) = 360x4 - 342x3 + 119x2 - 18x + 1. On s'intéresse aux intervalles [0;1], [0;0,3] et [0,3;1]. On a :

  en 0 en 1 en 0,3
P + + -
P' - + -
R2 + + +
R3 - + +
R4 + + +
V V(0) = 4 V(1) = 0 V(0,3) = 1

On déduit du tableau qu'il y a 4 racines réelles entre 0 et 1; 3 racines entre 0 et 0,3; 1 racine entre 0,3 et 1. En effet, P a été fabriqué comme étant :

P(x) = 360x4 - 342x3 + 119x2 - 18x + 1 = 360(x - 1/6)(x - 1/5)(x - 1/4)(x - 1/3)

Le théorème de Fourier :

Problème de Sturm-Liouville, théorie spectrale :

Il s'agit d'un très difficile problème de résolution, sur un intervalle [a,b], d'une équation différentielle linéaire d'ordre n :

ao(x).f (n)(x) + a1(x).f (n-1)(x) + ... + an(x).f(x) = b(x)

vérifiant certaines conditions aux limites s'exprimant comme un système d'au plus 2n formes linéaires de variables f(a), f '(a), ...f(n)(a), f(b), f '(b), ...f(n)(b).

La résolution d'une telle équation trouve sa solution grâce à la théorie de l'intégration dans des espaces fonctionnels (espaces de Hilbert, espaces de Banach) et fait donc également appel à l'algèbre linéaire en rejoignant l'étude des équations intégrales.

Fredholm, Volterra, Du Bois-Reymond, Riesz

Le problème de Sturm-Liouville est à l'origine de ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie spectrale (algébrique) qui étudie, en particulier, les valeurs propres d'un endomorphisme compact dans des espaces vectoriels topologiques. L'analyse spectrale, est l'application de la théorie spectrale aux espaces fonctionnels.

Lorsque E et F sont des espaces vectoriels topologiques sépaés et localement convexes, une application linéaire de E vers F est dite compacte s'il existe un voisinage V de 0 tel que f(V) soit relativement compact dans F.  Une telle application est continue.

Espace vectoriel topologique :                Compacité :

Le corps de scalaires étant C, le spectre d'un endomorphisme f de E (application linéaire de E dans lui-même) est l'ensemble S des complexes λ (valeurs spectrales) tels que f - λidE ne soit pas inversible (idE désigne l'endomorphisme identique de E). Une valeur propre de f est une valeur spectrale. Dans le cas où E est de dimension finie, toute valeur spectrale est une valeur propre de f.

Théorème :     

Pour tout endomorphisme compact d'un espace vectoriel topologique séparé (de dimension finie ou non), toute valeur spectrale de f est une valeur propre de f et le sous-espace propre associé est de dimension finie.

    Valeurs propres d'un endomorphisme (dimension finie) :


Pour en savoir plus  :


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