ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rappelons le célèbre petit problème de Fibonacci : possédant au départ un couple de lapins, combien de couples de lapins obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ?

Notons un le nombre de couples de lapins au mois n. Dès le début du troisième mois, nos lapins ont deux mois et ils enfantent un couple de lapins : u₃ = 2.

Plaçons-nous au n-ème mois (n > 1) et cherchons à exprimer ce qu'il en sera au (n+1)-ème mois : u_n+1 est la somme des couples de lapins au mois n et des couples nouvellement engendrés.

Or,  seuls les couples nés deux mois auparavant engendrent au mois n+1. On a donc : 

u_n+1 = u_n + u_n-1

La suite est manifestement strictement croissante et divergente. L'étude des suites récurrentes à deux termes permet d'écrire ici :

            Formule de Binet pour la suite de Fibonacci :  »

On reconnaît là le trop fameux nombre Φ = (1 + √5)/2 et la section dorée = (√5 - 1)/2, son inverse, inférieure à 1. Pour n tendant vers l'infini, cette seconde parenthèse tend vers 0. On en déduit que la suite (q_n) des rapports u_n/u_n-1 tend donc vers Φ et celle des rapports u_n/u_n-2 tend donc vers Φ².

On peut écrire un petit programme récursif conduisant au calcul des éléments de la suite (u_n) suite mais, tout comme pour la fonction d'Ackermann, l'ordinateur sature rapidement car il doit empiler les résultats partiels successifs tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte :

 Calcul JavaScript récursif des nombres de Fibonacci : »

Au moyen d'un tableur, il est facile d'écrire un programme utilisant la recopie vers le bas, calculant les termes successifs et les rapports u_n/u_n-1 notés q_n :

On obtient :

Ces calculs nous conduisent à autre preuve de convergence de la suite (q_n). On constate une convergence probable des q_n vers 1,618 environ (voir ci-après). Prouvons cela :

Par définition de la suite (u_n), on déduit :

En posant G(x) =1 + 1/x, on a q_n+1 = G(q_n). La fonction G s'étudie facilement : elle applique l'intervalle J = [3/2, 2] dans J et admet, dans cet intervalle un unique point fixe Φ = (1+√5)/2, solution positive de l'équation x = 1 + 1/x se ramenant à x² - x - 1 = 0.

On a q_n+1 = G(q_n) et, sur le voisinage J de Φ, la fonction dérivée G' de G, à savoir G'(x) = -1/x² vérifie la double inégalité :

0 < | G'(x) | < 4/9 < 1

En vertu du critère du point fixe, la suite (q_n) converge et sa limite Φ > 0 vérifie donc G(Φ) = Φ, soit :

Φ = 1 + 1/Φ, ce qui peut s'écrire : Φ² - Φ - 1 = 0 , Φ = 1,618034 à 10^-6 près

On a reconnu le nombre d'or...

L'égalité Φ² - Φ - 1, peut s'écrire :

 ➔   On peut aussi s'intéresser à la fraction continue :

s'écrivant sous forme fractionnaire :

C'est encore le nombre d'or car ce nombre vérifie manifestement : F = 1 + 1/F. On remarquera que les réduites successives ne sont autres que les u_n+1/u_{n :}