ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Minimum, maximum ou point d'inflexion d'une courbe y = f(x)
     
Cas plus général : Points stationnaires, rebroussement

Soit f une fonction numérique de la variable x, dérivable sur un intervalle J, de fonction dérivée . On sait que le coefficient directeur (la pente) de la tangente en un point M(xo,yo) de la courbe représentative (c) de f n'est autre que (xo).

  D'Alembert

Suivant que le coefficient directeur (la pente) de la tangente est strictement positif (resp. nul ou strictement négatif) sur un sous-intervalle I de J, f est strictement croissante sur I, (resp. constante sur I, strictement décroissante sur I).

  Lagrange

Lorsque la pente change de signe : s'annule en changeant de signe, la fonction passe par un extremum (minimum ou maximum) et la tangente est "horizontale" en ce point : parallèle à l'axe des abscisses.

En savoir plus sur les tangentes en un point d'une courbe :

Sur un même intervalle, une fonction peut admettre plusieurs minimums (minima pour les latinistes) ou maximums (maxima) dits locaux. Ces points constituent les extremums (extrema) de la fonction. Le plus petit (resp. le plus grand) des minimums (resp. maximums) locaux est qualifié d'absolu.

   Quelques exemples élémentaires niveau lycée - autres cas
 

Tente bien ventilée    fonction trinôme à "maximiser"
Un problème bestial...    minimum d'un trinôme du second degré
Le 8 du jardinier    aire maximale d'un parterre, secteurs circulaires et second degré
Resistor et puissance dissipée    fonction rationnelle x/(2x + 1)2
Résistance d'une poutre  étude d'un binôme du 3ème degré
Échelles croisées  fonction irrationnelle

Point d'inflexion : 

Le point d'inflexion apparaît lorsqu'une courbe traverse sa tangente en un point. Dans le cas cartésien, y = f(x), le phénomène se produit lorsque la dérivée seconde ', dérivée de la dérivée, s'annule en changeant de signe (changement de concavité), cas bien connu des élèves de Terminale. Dans le cas paramétrique, le point peut être ordinaire ou non.

Fonctions convexes :

Concrètement, le signe de la dérivée seconde indique le sens de variation de la dérivée première et on sait que (x) est le coefficient directeur (pente) des tangentes à la courbe.

Si la dérivée seconde ' est positive, les tangentes ont l'allure en rouge : leurs pentes augmentent; si la dérivée seconde est négative, elles ont l'allure en bleu : leurs pentes diminuent. L'inflexion (la courbe s'infléchit) a lieu au changement de signe.


 

Inflexion ordinaire, cas cartésien y = f(x) :

L'exemple élémentaire le plus connu est donné par f(x) = x3 en zéro : il s'agit de la parabole cubique. On a ici f '(x) = 3x2 et f "(x) = 6x. En  x = 0, la tangente est horizontale, s'annule là sans changer de signe et et f " s'annule en changeant de signe :

 
Étudier le cas y = f(x)
= 1 + x(x - 1)2 (la courbe admet un point d'inflexion en x = 2/3)

Inflexion ordinaire, cas cartésien implicite f(x,y) = 0, théorème des fonctions implicites :

Le problème est plus délicat ! La recherche d'un tel point est facilité par le théorème des fonctions implicites :

Soit f(x,y) = 0 l'équation d'une courbe plane Γ, f désignant une fonction de classe C2 (deux fois continûment dérivable) dans un ouvert U de R2. Soit Mo(xo,yo) un point régulier de Γ vérifiant f/y non nul en Mo. Dans ces conditions, il existe un voisinage V de Mo et une fonction g de la variable x, de classe C2 sur V telle que pour tout M(x,y) de V : f(x,y) = 0 y = g(x). De plus, le coefficient directeur de la tangente en Mo est alors :

C'est dire que localement, Γ admet une représentation cartésienne de la forme y = g(x). La dérivée de g en xo s'obtient en considérant la différentielle de f(x,y) en Mo fournissant dy/dx. Si f/y non nul en Mo, on échangerait le rôle de x et de y (le point étant régulier les deux dérivées ne peuvent être nulles toutes deux en Mo).

L'étude du signe de g'' peut permettre la recherche des points d'inflexion de Γ :

En effet, en différenciant de nouveau la forme g'.f/y + f/dx = 0, nulle pour tout x et y de V, on obtiendra avec des notations évidentes (ou presque...) simplifiant la rédaction :

(g'.f ''x,y + g"f 'y + f ''x,x).dx +  (g'.f ''y,y + f ''x,y).dy = 0 pour tout x et y de V

On divise par dx, et on remplace dy/dx = g' :

g'.f ''x,y + g"f 'y + f ''x,x +  g'2.f ''y,y + g'.f ''x,y = 0

En remarquant que g' = - f 'x/f 'y et que f 'y est non nul, le signe et les zéros de g'' sont donnés par ceux de :

h(x,y) = -f ''x,x(f 'y)2 + 2f 'xf 'yf ''x,y - f ''y,y(f 'x)2 = 0


Rechercher les points d'inflexion de la courbe d'équation x3 + y3 = 1  ( courbe de Lamé).
Rép : On est conduit à xy(x3 + y3) = 0. En reportant dans l'équation de la courbe, seul le cas xy = 0 convient et fournit (0,1) et (1,0).

Inflexion ordinaire, cas paramétrique :

Ci-dessous le cas x = t3 , y = t5 - 2t. Ici il y a tangente verticale en (0,0) et la courbe traverse sa tangente car x = t3 s'annule en changeant de signe. L'origine des coordonnées est un point d'inflexion car y est une fonction impaire de t.   

Inflexion et rebroussement (niveau Sup) :

 
Étudier la courbe définie par y = 3x5 - 10x3 + 15x et vérifier que la courbe admet 2 points d'inflexion là ou les tangentes sont horizontales.



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