ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Minimum, maximum d'une courbe y = f(x)      Inflexion cas y = f(x) | cas f(x,y) = 0 | cas x = f(t), y = g(t)

On se place dans un repère orthogonal (Ox,Oy) du plan. Soit f une fonction numérique de la variable x, dérivable sur un intervalle J, de fonction dérivée f'. On sait que le coefficient directeur (la pente) de la tangente en un point M(x_o,y_o) de la courbe représentative (c) de f n'est autre que f'(x_o).

»  D'Alembert

a) Suivant que le coefficient directeur (la pente) de la tangente est strictement positif (resp. nul ou strictement négatif) sur un sous-intervalle I de J, f est strictement croissante sur I, (resp. constante sur I, strictement décroissante sur I).

b) Lorsque la pente change de signe, f' s'annule en changeant de signe, la fonction passe par un extremum (minimum ou maximum) et la tangente est "horizontale" en ce point : parallèle à l'axe des abscisses.

»  Lagrange              Tangentes en un point d'une courbe :  »       

Sur un même intervalle, une fonction peut admettre plusieurs minimums (minima pour les latinistes) ou maximums (maxima) dits locaux. Ces points constituent les extremums (extrema) de la fonction. Le plus petit (resp. le plus grand) des minimums (resp. maximums) locaux est qualifié d'absolu.

∗∗∗   Quelques exemples élémentaires niveau lycée - » autres cas
 

On parle de point d'inflexion pour signifier que la courbe traverse sa tangente en ce point. Dans le cas cartésien, y = f(x), le phénomène se produit lorsque la dérivée seconde f ", dérivée de la dérivée, s'annule en changeant de signe (changement de concavité), cas bien connu des élèves de Terminale. Dans le cas paramétrique, le point peut être ordinaire ou non.

 ➔  Concrètement, le signe de la dérivée seconde indique le sens de variation de la dérivée première f' et on sait que f'(x) est le coefficient directeur (pente) des tangentes à la courbe.

Si la dérivée seconde est :

• positive, les tangentes ont l'allure en rouge : leurs pentes augmentent. On parle de fonction convexe.

• Si la dérivée seconde est négative, elles ont l'allure en bleu : leurs pentes diminuent : fonction concave.

• L'inflexion (point où la courbe s'infléchit) lorsque f " s'annule en changeant de signe.

La notion générale de convexité :  »

L'exemple élémentaire le plus connu est donné par f(x) = x³ en zéro : il s'agit de la parabole cubique. On a ici f '(x) = 3x² et f "(x) = 6x. En  x = 0, la tangente est horizontale, f' s'annule là sans changer de signe et et f " s'annule en changeant de signe :

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Étudier le cas y = f(x) = 1 + x(x - 1)² (la courbe admet un point d'inflexion en x = 2/3)

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Voici un joli cas d'inflexion à tangente "verticale" à l'origine : considérer f(x) = x^5/3 - 2x^1/3. f'(x) = 5x^2/3/3 - 2x^-2/3/3.
Le changement de x en - x change y en - y. La courbe est symétrique par rapport à O : on peut réduire l'étude à R+. En posant X = x^2/3 = ³√(x²) on constate que le signe de la dérivée est celui de (X√5 + √2)(X√5 - √2), ce qui conduit x = ± ³√(2√2/5√5) ≅ ± 0,503.

» On peut préférer étudier la courbe sous forme paramétrée : en posant t = ³√x, on a x(t) = t³ et y(t) = t⁵ - 2t. En (0,0), on a x'(t) = 0 et y'(t) ≠ 0 : tangente verticale. La courbe traverse sa tangente (symétrie/O). L'origine des coordonnées est un point d'inflexion car y est une fonction impaire de t.
Pas d'asymptote à l'infini mais deux branches paraboliques car y/x devient infini. Retrouvez cette courbe dans le cas de l'étude des
points de rebroussement de 1ère espèce d'ne courbe paramétrée :

Le problème est plus délicat ! La recherche d'un tel point est facilité par le théorème des fonctions implicites :

Soit f(x,y) = 0 l'équation d'une courbe plane Γ, f désignant une fonction de classe C² (deux fois continûment dérivable) dans un ouvert U de R². Soit M_o(x_o,y_o) un point régulier de Γ vérifiant ∂f/∂y non nul en M_o. Dans ces conditions, il existe un voisinage V de M_o et une fonction g de la variable x, de classe C² sur V telle que pour tout M(x,y) de V : f(x,y) = 0 ⇔ y = g(x). De plus, le coefficient directeur de la tangente en M_o est alors :

» Localement, Γ admet une représentation cartésienne de la forme y = g(x). La dérivée de g en x_o s'obtient en considérant la différentielle de f(x,y) en M_o fournissant dy/dx. Si ∂f/∂y est nul en M_o, on échange le rôle de x et de y (le point étant régulier les deux dérivées ne peuvent être nulles toutes deux en M_o).

L'étude du signe de g'' peut permettre la recherche des points d'inflexion de Γ :

En effet, en différenciant de nouveau la forme g'.∂f/∂y + ∂f/dx = 0, nulle pour tout x et y de V, on obtiendra avec des notations évidentes (ou presque...) simplifiant la rédaction :

(g'.f ''_x,y + g"f '_y + f ''_x,x).dx + (g'.f ''_y,y + f ''_x,y).dy = 0 pour tout x et y de V

On divise par dx, et on remplace dy/dx = g' :

g'.f ''_x,y + g"f '_y + f ''_x,x +  g'².f ''_y,y + g'.f ''_x,y = 0

En remarquant que g' = - f '_x/f '_y et que f '_y est non nul, le signe et les zéros de g'' sont donnés par ceux de :

h(x,y) = -f ''_x,x(f '_y)² + 2f '_xf '_yf ''_x,y - f ''_y,y(f '_x)² = 0

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Rechercher les points d'inflexion de la courbe d'équation x³ + y³ = 1  (» courbe de Lamé).
Rép : On est conduit à xy(x³ + y³) = 0. En reportant dans l'équation de la courbe, seul le cas xy = 0 convient et fournit (0,1) et (1,0).

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Rechercher les points d'inflexion de la courbe d'équation x⁵ - (y + x²)³ = 0.
Indic. : on aura tout intérêt à passer au cas explicite y = f(x).  !   piège en 0... Rép. : 2 points d'inflexion, en x = 0 et x = (5/9)³.

» La courbe ci-dessous, cubique d'équation x³ + y³ - 2yx² + xy² - xy - y = 0 admet trois points d'inflexion alignés (» Théorème de Du Gua)

En savoir plus sur les courbes algébriques f(x,y) = 0  :  »