ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

SMALE Stephen, américain, 1930-      Médaille Fields 1966

Stephen Smale fit ses études secondaires et supérieures dans son Michigan natal (état du nord des États-Unis). Sa thèse de doctorat (Regular curves on riemannian manifolds, 1956) relative aux courbes régulières sur des variétés différentielles orientera sa carrière.

Professeur à l'université Columbia de New-York, ses travaux porteront sur les propriétés topologiques des variétés différentielles de la géométrie riemannienne (on parle aujourd'hui de topologie différentielle) et la classification de ces variétés au moyen de l'étude de leur plongement de l'une dans une autre.

Notion de topologie différentielle :              Whitney

Smale enseigna à Berkeley de 1964 à 1995, année où il partit pour Hong-Kong et enseigna à la City University avant de revenir à Berkeley dont il conserva sa chaire jusqu'à sa retraite. Il reçut la médaille Fields en 1966 pour ses recherches et résultats en topologie et géométrie différentielles et la fondation Wolf lui a décerné son prix 2006/2007 pour l'ensemble de ses travaux en topologie différentielle, théorie des systèmes dynamiques et son application à l'économie.

Smale apporte, en 1961, la preuve de la conjecture de Poincaré (énoncée en 1904) pour tout n 5 :

Les surfaces compactes orientables de dimension n 3 dans l'espace Rn+1 sont homéomorphes à la sphère unité Sn.

Conjectures de Poincaré  :               Veblen

Immersion, plongement, submersion :

Dans le cadre de la géométrie différentielle, lorsque V et W sont deux variétés de classe Cp, on parle d'immersion de classe Cp (p fois continument dérivable) de V dans W pour exprimer une injection de classe Cp de V dans W (dans le cas surjectif, on parle de submersion).

Un plongement est une immersion s'avérant être un difféomorphisme (bijection continûment différentiable ainsi que sa réciproque) de classe Cp sur une sous-variété de W. Ces notions, très précises, demandent un développement très rigoureux dépassant le niveau de cette chronologie (on pourra se référer à réf.1 , réf. 2).


Représentation d'une surface de Boy (MFO, Oberwolfach)

Le retournement de la sphère, surface de Boy :   

Pour la petite, mais très sérieuse histoire, rappelons que, dans le cadre des immersions et plongements de surfaces, Smale est à l'origine du célèbre retournement de la sphère (1958) : étant donné une sphère S, il est théoriquement possible d'obtenir par déformation continue, sans pincement ni déchirure, une sphère S' identique à S mais dont l'intérieur est l'extérieur de S !

L'étape intermédiaire est l'obtention d'une surface de Boy, surface non orientable s'interprétant comme immersion du plan projectif dans R3. On peut aussi considérer le retournement du tore ( réf.8 sur le site Images des mathématiques du CNRS).

Topologie combinatoire et algébrique :              Bouteille de Klein :

Werner Boy (1879-1914), mathématicien et physicien allemand. Officier en 1914, il fut tué au tout début de la première guerre mondiale. Étudiant à Göttingen, il introduisit cette surface dans sa thèse sur les surfaces fermées dirigée par Hilbert en 1901.

Surface de Boy sur le site de Robert Ferréol : http://mathcurve.com/surfaces/boy/boy applet.shtml.
On y visualisera également une animation 3D
.

  En dehors de la géométrie différentielle, dans un contexte ensembliste ou topologique, on parle de plongement de E dans F pour exprimer l'injection canonique permettant d'identifier E à tout ou partie de F. Cela signifie donc que l'on peut admettre EF.

C'est ainsi que l'on peut écrire NZ par  x +x, ZQ par  x x/1, R2R3 par (x,y) x x (x,y,0), etc. Si E est une partie de F, l'injection canonique est la restriction à E de l'application identique de F, à savoir x x.

Lorsque E et F sont munis de lois de composition, le plongement peut alors être un homomorphisme, voire un isomorphisme (homomorphisme bijectif). On peut par exemple identifier (C,+) à (R2,+) par l'isomorphisme canonique u : (x,y)x + iy :

u[(x,y) + (x',y')] = u(x + x', x'+y') = (x +x') + i(y + y') = x + iy + x' + iy' = u(x,y) + u(x',y')


Pour en savoir plus :

  1. Variétés différentielles et analytiques, immersion et plongement :
    N. Bourbaki, Livre VIII, Éd. Masson, Paris 1967/1971
  2. Plongements, immersions et singularités : http://www.jp-petit.org/Extensions/bcuspi/bcuspi.htm
  3. Variétés différentiables in Espaces fibrés & connexions par Robert Coquereaux (univ. Marseille) :
    http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/EspacesFibresCoquereaux.pdf
  4. Retournement de la sphère et impossibilité de celui du cercle (en tant que "sphère" du plan) sur YouTube :
    http://www.youtube.com/watch?v=BVVfs4zKrgk 
    (université du Minnesota).
    aussi : http://www.youtube.com/watch?v=I6cgca4Mmcc&feature=related : ça passe ou ça casse...
  5. Surface de Boy sur YouTube : http://www.youtube.com/watch?v=ZLzEs2UbbPY
  6. Surface de Boy sur le site d'Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/BoySurface.html
  7. Autour du retournement du cube et de la sphère par Jean-Pierre Petit : http://www.jp-petit.org/science/maths_f/cube_central.htm
  8. Plongement, immersion, retournement du tore sur le site images des Maths du CNRS :
    http://images.math.cnrs.fr/Un-retournement-du-tore.html
  9. Problèmes mathématiques pour le 21è siècle : http://www6.cityu.edu.hk/ma/people/smale/pap104.pdf
  10. Wolf Foundation (page des prix récents) : http://www.wolffund.org.il/cat.asp?id=23&cat_title=MATHEMATICS


Shimura Tits
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