ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
SMALE Stephen (ou
Steve), américain, 1930-
Médaille Fields 1966 |
Stephen Smale fit ses
études secondaires et supérieures dans son Michigan natal (état du nord des
États-Unis). Sa thèse de doctorat (Regular curves on riemannian manifolds, 1956) relative aux
courbes régulières sur des
variétés différentielles orientera sa carrière.
Professeur à l'université Columbia de New-York, ses travaux porteront sur les propriétés topologiques des variétés différentielles de la géométrie riemannienne (on parle aujourd'hui de topologie différentielle) et la classification de ces variétés au moyen de l'étude de leur plongement de l'une dans une autre. Smale intervint également dans la théorie des systèmes dynamiques différentiables où il introduit son fer à cheval à comportement chaotique (» réf.9a-9b).
Notion de système dynamique : » Notion de topologie différentielle : » » Whitney
Smale enseigna à Berkeley de 1964 à 1995, année où il partit pour Hong-Kong et enseigna à la City University avant de revenir à Berkeley dont il conserva sa chaire jusqu'à sa retraite. Il reçut la médaille Fields en 1966 pour ses recherches et résultats en topologie et géométrie différentielles et la fondation Wolf lui a décerné son prix 2006/2007 pour l'ensemble de ses travaux en topologie différentielle, théorie des systèmes dynamiques et son application à l'économie.
Smale apporte, en 1961, la preuve de la conjecture de Poincaré (énoncée en 1904) pour tout n ≥ 5 :
Les surfaces compactes orientables de dimension n ≥ 3 dans l'espace Rn+1 sont homéomorphes à la sphère unité Sn.
Conjectures de Poincaré : » » Veblen
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Les 18 problèmes du 21è siècle selon Smale : |
En 1998, à l'instar de Hilbert en 1900 et à la demande de son ami Vladimir Arnold, Smale publia une liste de 18 problèmes non résolus à l'aube du 21è siècle. On pourra en trouver la liste en fin de page, et en français (» réf. 10), commentée par l'auteur et dont certains sujets ont été repris par En voici une courte sélection parmi les plus simples à évoquer :
1/ L'hypothèse de Riemann (analyse complexe) : » Riemann
2/ La conjecture de Poincaré en dimension 3 (géométrie et topologie différentielles) : » résolu par G. Perelman (2003).
3/ La conjecture P = NP ? (algorithmique, théorie de la complexité) : » problème de Cook
9/ Existe-t-il un algorithme en temps polynomial sur les nombres réels décidant si le système d'inéquations linéaires AX ≥ B admet une solution non triviale ? (algorithmique, théorie de la complexité).
16/ Une fonction polynomiale de Cn dans Cn dont la différentielle est non singulière en tout point est-elle bijective ?
17/ Résolution d'un système de n équations polynomiales à n inconnues (algorithmique, théorie de la complexité).
➔ On constatera (» réf. 10) que les problèmes 3, 4, 5, 7, 9 et 17 portent sur la théorie de la complexité des algorithmes en termes de temps de calcul polynomial ou exponentiel. On voit là l'importance de l'outil informatique dans la résolution des problèmes actuels des mathématiques.
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Immersion, plongement, submersion : |
Dans le cadre de la géométrie différentielle, lorsque V et W sont deux variétés de classe Cp, on parle d'immersion de classe Cp (p fois continument dérivable) de V dans W pour exprimer une injection de classe Cp de V dans W (dans le cas surjectif, on parle de submersion).
Un plongement est une immersion s'avérant être un difféomorphisme (homéomorphisme continûment différentiable ainsi que sa réciproque) de classe Cp sur une sous-variété de W. Ces notions, très précises, demandent un développement très rigoureux dépassant le niveau de cette chronologie (» réf.1 , réf. 2).
La sphère et l'ellipsoïde sont difféomorphes; le cube et la sphère sont seulement homéomorphes.
Représentation d'une surface de Boy
(MFO,
Oberwolfach)
Le retournement de la sphère, surface de Boy :
Pour la petite, mais très sérieuse histoire, rappelons que, dans le cadre des immersions et plongements de surfaces, Smale est à l'origine du célèbre retournement de la sphère (1958) : étant donné une sphère S, il est théoriquement possible d'obtenir par déformation continue, sans pincement ni déchirure, une sphère S' identique à S mais dont l'intérieur est l'extérieur de S !
L'étape intermédiaire est l'obtention d'une surface de Boy, surface non orientable s'interprétant comme immersion du plan projectif dans R3. On peut aussi considérer le retournement du tore (» réf.8 sur le site Images des mathématiques du CNRS).
Topologie combinatoire et algébrique : » Bouteille de Klein : »
i Werner Boy (1879-1914), mathématicien et physicien allemand. Officier en 1914, il fut tué au tout début de la première guerre mondiale. Étudiant à Göttingen, il introduisit cette surface dans sa thèse sur les surfaces fermées dirigée par Hilbert en 1901.
Surface de Boy sur le site de Robert Ferréol :
http://mathcurve.com/surfaces/boy/boy applet.shtml.
On y visualisera également une animation 3D.
♦ En dehors de la géométrie différentielle, dans un contexte ensembliste ou topologique, on parle de plongement de E dans F pour exprimer l'injection canonique permettant d'identifier E à tout ou partie de F. Cela signifie donc que l'on peut admettre E ⊂ F.
C'est ainsi que l'on peut écrire N ⊂ Z par x → +x, Z ⊂ Q par x → x/1, R2 ⊂ R3 par (x,y) x → x (x,y,0), etc. Si E est une partie de F, l'injection canonique est la restriction à E de l'application identique de F, à savoir x →x.
Lorsque E et F sont munis de lois de composition, le plongement peut alors être un homomorphisme, voire un isomorphisme (homomorphisme bijectif). On peut par exemple identifier (C,+) à (R2,+) par l'isomorphisme canonique u : (x,y) →x + iy :
u[(x,y) + (x',y')] = u(x + x', x'+y') = (x +x') + i(y + y') = x + iy + x' + iy' = u(x,y) + u(x',y')
➔ Pour en savoir plus :
Tits