ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WARING Edward, anglais, 1736-1798

Waring étudia au Magdalen College de Cambridge et obtint (1760) la chaire de professeur lucasien pour l'enseignement des mathématiques, chaire encore très prisée de nos jours qui fut créée (entre autres fondations caritatives) par la volonté testamentaire du Révérend Henry Lucas (1610-1663), membre du Parlement de l'université de Cambridge. L'actuel titulaire (2007) est le célèbre astrophysicien Stephen William Hawking.

Les travaux de Waring portèrent sur  les équations algébriques dans l'étude des fonctions symétriques des solutions, l'arithmétique et les séries numériques. Waring fut élu à la Royal Society en 1763. On lui doit en particulier, en latin, langue véhiculaire des sciences toujours en usage au 18è siècle :

•  Meditationes analyticæ (1759);

•  Miscellanea analytica de æquationibus algebraicis et curvarum proprietatibus (1762), soit Analyses diverses sur les équations algébriques et sur les propriétés des courbes;

•  Meditationes algebraicæ (1ère édition en 1770) où il développe d'importants sujets d'arithmétique.

Problème (ou conjecture) de Waring :

C'est dans ses Meditationes algebraicæ (1770, réf.1c) que Waring énonce sa fameuse conjecture arithmétique selon laquelle :

Si vous n'êtes pas latiniste, en voici, sensiblement, la traduction :

5. Tout entier est un carré ou un composé de deux, trois ou quatre carrés.

9. Tout entier est un cube ou bien somme de deux, trois, 4, 5, 6, 7, 8, ou neuf cubes; il est aussi le carré d'un carré ou bien somme de deux, trois, etc., jusqu'au plus dix-neuf, et ainsi de suite (sauf exception).

 i  Par carré d'un carré, ou encore bicarré, on entend puissance 4ème  : le carré du carré (x2)2 = x4. Ce terme n'est pas désuet : au lycée, on parle encore d'équation bicarrée pour exprimer une équation du quatrième degré du type x4 + bx2 + c = 0.

La conjecture peut s'écrire :

Pour tout entier n et tout entier k ≥ 2, il existe p entiers n1 , n2 , ... , np  tels que n = n1k + n2k + ... + npk

Ce type de problème (équation diophantienne) dont se délectait le prussien Christian Goldbach une quarantaine d'années auparavant, s'inscrit dans ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie des partitions à laquelle s'intéressèrent de nombreux mathématiciens depuis l'Antiquité avec, tout particulièrement, Nicomaque de Gérase.

Lagrange démontra la conjecture relative aux quatre carrés (» réf.2) :

Tout entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés

Ce résultat avait été avancé avant Waring par Bachet de Méziriac. En 1909, le mathématicien allemand Arthur J. Wieferich (1884-1954) prouva la conjecture relative aux neuf cubes. La même année, Hilbert apporte une démonstration complète de l'existence d'une telle décomposition mais il n'en précise pas les conditions. Littlewood, Ramanujan, Hardy et Vinogradov apporteront des solutions plus précises mais encore partielles à ce difficile sujet (» réf.5).

Programmation de la conjecture des 4 carrés : »         Les trois types de théorie des nombres : »

On peut citer semblablement ces deux conjectures prouvées par Gauss :

Somme de deux carrés :   

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 se décompose de façon unique en somme de deux carrés

Somme de trois carrés :   

Tout nombre entier qui n'est pas de la forme 4n(8m + 7) est somme de trois carrés

Autres conjectures évoquées dans ChronoMath : »

Somme de deux ou trois cubes :   

Un entier naturel n non nul peut-il s'écrire sous la forme x3 + y3 ou bien x3 + y3 + z3
x, y, z étant eux-mêmes entiers non nuls dans N ou Z ?

Ce type de décomposition, à laquelle s'intéressa en particulier Fermat, Euler et, au 20è siècle, Davenport, Landau, Mordell (On sums of three cubes, 1942) à la recherche de solutions rationnelles, reste aujourd'hui encore un problème ouvert. Réexposé comme un défi grâce à l'outil informatique, le problème s'avère d'une grande complexité. Des stratégies appliquées à certains types d'entiers ont été mis au point mais aucun algorithme général n'a été exhibé.

 i   En 1825, S. Ryley, instituteur à Leeds (Angleterre), publie un article dans le Ladies' Diary, un almanach anglais très en vogue au 19è siècle (» réf.9&10), où il prouve que tout nombre rationnel est somme de trois cubes rationnels (éventuellement négatifs).

Quelques exemples :

En savoir plus sur ces décompositions : »


    Pour en savoir plus :

  1. a) Miscellanea analytica (en latin) sur Google books :
    http://books.google.fr/books?id=GpwAAAAAMAAJ&hl=fr&redir_esc=y
    b) Meditationes algebricae  (en latin) sur Google books :
     https://books.google.fr/books?id=1MNbAAAAQAAJ&hl=fr&source=gbs_similarbooks
    c) Version pdf : https://books.googleusercontent.com/books/content?req=AKW5Qac1r7WapKbIRuDip3AMsEI8A98...
    → aller à la page 410 de la pagination pdf, équivalente à la page 349 du traité
  2. Preuve de la conjecture de Waring dans le cas de 4 carrés : on pourra se référer à l'ouvrage de Émile Borel :
    Les nombres premiers
    , Ch. 5, Coll. Que sais-je ? n°571, P.U.F - Paris, 1953.
  3. Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Coll. Que sais-je ? n°1093, P.U.F - Paris, 1963.
  4. Dictionnaire des mathematiques : algèbre, analyse, géométrie, pages 670 à 675
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, Éd. Albin Michel, Paris, 1997/98
  5. Waring's problem : a survey, par R. C. Vaughan et T. D. Wooley (Pennsylvania State Univ.:
    http://www.personal.psu.edu/rcv4/Waring.pdf
  6. Décomposition en somme de trois cubes :
    a) Le problème des trois cubes enfin résolu, un article de Nathalie Mayer (sept. 2019) sur Futura Sciences :
    https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/mathematiques-mathematiques-probleme-trois-cubes-...
    b) Le site de Gérard Villemin : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/TabMat.htm#Partition
    c) table n < 100 (en acceptant 0) : http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm
    d) table 1 < n < 1000 (antérieures à 2016) avec les solutions distinctes trouvées : http://cr.yp.to/threecubes/19990801
  7. Sur Wikipedia, somme de trois cubes : https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_trois_cubes
  8. Newer sums of three cubes, par Sander G. Huisman (univ. Cornell, USA), avril 2016 : https://arxiv.org/pdf/1604.07746.pdf
  9. Un journal mathématique original : le Ladies'Diary (1704-1840), par Sloane Despeaux (Western Carolina univ.) :
    http://images.math.cnrs.fr/Un-journal-mathematique-original-le-Ladies-Diary-1704-1840.html
  10. On rational solutions of x3 + y3 + z3 = r, par Herbert William Richmond (1930), univ. Cambridge :
    https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge... on_rational_solutions_of_x3_y3_z3_r.pdf
  11. Le problème de Waring pour les bicarrés : g(4) = 19, par François Dress (univ. Bordeaux, 1985) :
    http://www.numdam.org/article/TAN_1985-1986__2__A4_0.pdf


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