ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WARING Edward, anglais, 1736-1798

Waring étudia au Magdalene College de Cambridge et obtint (1760) la chaire de professeur lucasien pour l'enseignement des mathématiques.

Cette chaire, encore très prisée de nos jours, fut créée (entre autres fondations caritatives) par volonté testamentaire du Révérend Henry Lucas (1610-1663), membre du Parlement de l'université de Cambridge. L'actuel titulaire (2007) est le célèbre astrophysicien Stephen William Hawking.

Les travaux de Waring portèrent sur  les équations algébriques dans l'étude des fonctions symétriques des solutions, l'arithmétique et les séries numériques. Waring fut élu à la Royal Society en 1763.

On lui doit en particulier, en latin, langue véhiculaire des sciences toujours en usage au 18è siècle :

Conjecture de Waring :

C'est dans ses Meditationes algebraicæ (1770) que Waring énonce sa fameuse conjecture selon laquelle :

Tout entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés parfaits, d'au plus neuf cubes parfaits, etc. (certains entiers de la décomposition étant éventuellement égaux)

Lagrange démontra la conjecture relative aux quatre carrés ( réf.2), laquelle avait été énoncée avant Waring par Bachet de Méziriac. Il fallut attendre Hilbert (1909) pour une démonstration complète de l'existence d'une telle décomposition mais n'en précise pas les conditions. Littlewood, Hardy et Vinogradov apporteront des solutions partielles à ce difficile sujet ( réf.3&4).

Programmation de la conjecture des 4 carrés :

Ce type de problème fait partie de ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie additive des nombres. On peut citer en particulier :

Le problème de la partition d'un entier naturel :   

Étant donné un entier naturel n non nul autre que 1, combien existe-t-il de décompositions (à l'ordre près) de cet entier en somme d'entiers non nuls qui lui sont inférieurs ?   Partition d'un entier

La conjecture de Goldbach :   

Tout entier pair autre que 2 est la somme de deux nombres premiers    Goldbach

Somme de deux carrés :   

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 se décompose de façon unique en somme de deux carrés   Gauss

Somme de trois carrés :   

Tout nombre entier qui n'est pas de la forme 4n(8m + 7) est somme de trois carrés   Gauss

De grands mathématiciens comme Cauchy, Hardy et Ramanujan, Littlewood et le russe Vinogradov se sont tout particulièrement penchés sur ces questions dont l'initiateur fut Diophante d'Alexandrie. Élémentaires dans leurs énoncés, ces types de conjectures et problèmes sont en fait très complexes. L'exemple typique étant bien sûr, le grand théorème de Fermat, résolu récemment par Wiles.

Autres conjectures évoquées dans ChronoMath :

Pour en savoir plus :

  1. Les Miscellanea et Meditationes sont en ligne (en latin) sur Google books :
    http://books.google.fr/books?id=GpwAAAAAMAAJ&hl=fr&redir_esc=y
  2. Preuve de la conjecture de Waring dans le cas de 4 carrés : on pourra se référer à l'ouvrage de Émile Borel :
    Les nombres premiers
    , Ch. 5, Coll. Que sais-je ? n°571, P.U.F - Paris, 1953.
  3. Dictionnaire des mathematiques :algèbre, analyse, géométrie, pages 670 à 675
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, Éd. Albin Michel, Paris, 1997/98
  4. Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Coll. Que sais-je ? n°1093, P.U.F - Paris, 1963.


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