ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WARING Edward, anglais, 1736-1798

Waring étudia au Magdalene College de Cambridge et obtint (1760) la chaire de professeur lucasien pour l'enseignement des mathématiques, chaire encore très prisée de nos jours qui fut créée (entre autres fondations caritatives) par la volonté testamentaire du Révérend Henry Lucas (1610-1663), membre du Parlement de l'université de Cambridge. L'actuel titulaire (2007) est le célèbre astrophysicien Stephen William Hawking.

Les travaux de Waring portèrent sur  les équations algébriques dans l'étude des fonctions symétriques des solutions, l'arithmétique et les séries numériques. Waring fut élu à la Royal Society en 1763. On lui doit en particulier, en latin, langue véhiculaire des sciences toujours en usage au 18è siècle :

  Meditationes analyticæ (1759);

  Miscellanea analytica de æquationibus algebraicis et curvarum proprietatibus (1762), soit Analyses diverses sur les équations algébriques et sur les propriétés des courbes;

  Meditationes algebraicæ (1ère édition en 1770) où il développe d'importants sujets d'arithmétique.

Conjecture de Waring :

C'est dans ses Meditationes algebraicæ (1770) que Waring énonce sa fameuse conjecture selon laquelle :

Tout entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés parfaits, d'au plus neuf cubes parfaits, etc.
(certains entiers de la décomposition étant éventuellement égaux)

Lagrange démontra la conjecture relative aux quatre carrés ( réf.2), laquelle avait été énoncée avant Waring par Bachet de Méziriac. En 1909, Wieferich prouve la conjecture relative aux neuf cubes. La même année, Hilbert apporte une démonstration complète de l'existence d'une telle décomposition mais il n'en précise pas les conditions. Littlewood, Hardy et Vinogradov apporteront des solutions plus précises mais encore partielles partielles à ce difficile sujet ( réf.3 & 4).

Programmation de la conjecture des 4 carrés :

Ce type de problème fait partie de ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie additive des nombres. On peut citer semblablement ces deux conjectures prouvées par Gauss :

Somme de deux carrés :   

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 se décompose de façon unique en somme de deux carrés

Somme de trois carrés :   

Tout nombre entier qui n'est pas de la forme 4n(8m + 7) est somme de trois carrés

  Landau            Autres conjectures évoquées dans ChronoMath :
 

Pour en savoir plus :

  1. Les Miscellanea et Meditationes sont en ligne (en latin) sur Google books :
    http://books.google.fr/books?id=GpwAAAAAMAAJ&hl=fr&redir_esc=y
  2. Preuve de la conjecture de Waring dans le cas de 4 carrés : on pourra se référer à l'ouvrage de Émile Borel :
    Les nombres premiers
    , Ch. 5, Coll. Que sais-je ? n°571, P.U.F - Paris, 1953.
  3. Dictionnaire des mathematiques :algèbre, analyse, géométrie, pages 670 à 675
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, Éd. Albin Michel, Paris, 1997/98
  4. Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Coll. Que sais-je ? n°1093, P.U.F - Paris, 1963.


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