ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Équation & cosinus directeurs d'une droite de l'espace euclidien     
      
Calcul des lignes trigonométriques de l'angle de deux droites de l'espace
     A niveau TerS / B niveau Sup

les valeurs en gras (resp. gras italique) désignent des vecteurs (resp. des mesures algébriques). On retrouve dans la partie A un résultat connu dans le plan (en supprimant les termes en z et/ou en γ :  étude des droites du plan.

A - L'espace euclidien usuel de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k). On considère une droite (D) de vecteur directeur V(a,b,c) passant par le point Mo(xo,yo,zo) on note OP le représentant de V d'origine O.

1°) A, B et C sont les projections orthogonales de P sur les plans de coordonnées, A se projetant en E sur (Ox) et en F sur (Oy). B (et C) se projetant en G sur (Oz). Montrer que :

OP2 = OE2 + OF2 + OG2

2°) On note α = ^(Ox,D) , β = ^(Oy,D) , γ = ^(Oz,D). Déduire de 1° que :

 La somme des carrés des cosinus des angles formés par une droite avec les axes de coordonnées est égale à l'unité :
cos2
α + cos2β + cos2γ = 1

  cos α, cos β et cos γ sont appelés cosinus directeurs de (D).

3°) On suppose V unitaire (donc OP = 1) et abc 0 et on note M(x,y,z) un point quelconque de (D). Montrer, en utilisant une équation paramétrique de (D) que l'on a :

et que la valeur absolue commune de ces trois rapports est la distance de M à Mo.

Si vous séchez après avoir bien cherché :

B - On suppose toujours OP unitaire et on considère la droite (OQ) en posant ^(OP,OQ) = δ et, respectivement α, β, γ, α', β', γ' les angles que font (OP) et (OQ) avec les axes de coordonnées (Ox), (Oy) et (Oz). On a donc encore ici : OE = cosα, OF = cosβ, OG = cosγ, soit OP(cosα, cosβ, cosγ).

5°) Soit P', E', G' et F' les projections orthogonales respectives de P, E, G et F sur (OQ). En remarquant que OP = OE + OG + OF, montrer par projection orthogonale sur (OQ) que :

cosδ = cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ'

6°) En utilisant 2°, vérifier que :

sin2δ = (cos2α + cos2β + cosγ2)(cos2α' + cos2β' + cosγ'2) - (cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ')2

En déduire, au moyen de l'identité de Lagrange que l'on a aussi :

sin2δ = (cosα.cosβ' - cosβ.cosα')2 + (cosβ.cosγ' - cosγ.cosβ')2 + (cosγ.cosα' - cosα.γ')2

Si vous séchez après avoir bien cherché :   Application au calcul de la courbure d'une courbe gauche :


Cosinus directeur et expression du produit vectoriel :               Gibbs

Dans le cas OP et OQ non unitaires (voir haut de page) de normes respectives n = || OP || et n' = || OQ ||, la formule donnant pourra s'écrire :

n2n'2sin2δ = (n.cosαn'.cosβ' - n.cosβn'.cosα')2
                               + (n.cos
βn'.cosγ' - n.cosγn'.cosβ')2
                                       + (n.cos
γn'.cosα' - n.cosαn'.cosγ')2

On avait : OP(cosα, cosβ, cosγ), on a maintenant OP(n.cosα, n.cosβ, n.cosγ). De même, on a ici OQ(n'.cosα', n'.cosβ', n'.cosγ'). Posons alors OP(x,y,z) et OQ(x',y',z'). On a :

n2n'2sin2δ = (xy' - yx')2 + (yz' - zy')2 + (zx' - xz')2 = || OP OQ ||2          produit vectoriel

Mais δ= ^(OP,OQ) et par suite, la norme du produit vectoriel de deux vecteurs u et v s'écrit :

|| u v || = || u |||| v |||sin(u,v)|


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

- Partie A -

1°) Le triangle OAP est rectangle en A, par suite : OP2 = OA2 + AP2. Le triangle OAF est rectangle en F : OA2 = FA2 + OF2. On a donc OP2 = FA2 + OF2 + AP2. Mais FA = OE et AP = OG. D'où le résultat cherché.

2°) On a (OP) // (D). Donc cos ^(Ox,D) = cos ^EOP et, dans EOP rectangle en E, OE = OP.cos ^EOP = OP.cosα. De même OF = OP.cosβ, OG = OP.cosγ. Il suit que :

OP2 = OE2 + OF2 + OG2 = OP2.(cos2α + cos2β + cos2γ)

C'est dire que cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

3°) Si V = OP est unitaire, on alors V(cos α, cos β, cos γ) :  on retrouve que || V || = cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

Pour tout point M(x,y,z) de (D) contenant Mo, on a alors MoM colinéaire à V : une équation paramétrique de (D) passant par Mo est alors :

x - xo = k.cos α
y - yo = k.cos β              où k parcourt R.      (r)
z - zo = k.cos γ

On a supposé V(a,b,c) avec abc 0 : (D) n'est pas parallèle à l'un des axes de coordonnées; on peut donc écrire :

        (r')

On suppose M distinct de Mo : divisons par  k dans la relation (r) ci-dessus, élevons chaque égalité au carré et faisons la somme; on obtient :

(x - xo)2/k2 + (y - yo)2/k2 + (z - zo)2/k2 = cos2α + cos2β + cos2γ = 1

D'où (x - xo)2 + (y - yo)2 + (z - zo)2 =  MoM2 = k2. Le nombre | k | apparaît donc comme la distance MoM et il est bien égal, eu égard à (r) à chacun des rapports de (r').

- Partie B -

5°) On a vectoriellement , OP = OE + EB + BP = OE + OG + OF = OE + OF + OG (c'est la décomposition de OP dans le repère 3D). Par projection sur (OQ), on a OP' = OE' + OF' + OG'. Or, par projection orthogonale :

OP' = OP.cos ^POQ = cos δ , OE' = OE.cos ^EOQ = OE.cos α'.
De même :
OF' = OF.cos β' , OG' = OG.cos γ'.

Finalement : cos δ = cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ'.

6°) sin2δ = 1 - cos2δ = 11 - cos2δ = (cos2α + cos2β + cos2γ)(cos2α' + cos2β' + cos2γ') - cos2δ

L'identité de Lagrange appliquée au produit (cos2α + cos2β + cos2γ )(cos2α' + cos2β' + cos2γ') conduit finalement à : 

sin2δ = (cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ')2 + (cosα.cosβ' - cosβ.cosα')2
            + (cosβ.cosγ' - cosγ.cosβ')2 + (cosγ.cosα' - cosα.cosγ')2 - cos2δ.

et vu que cos δ = cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ', on a bien le résultat cherché :

sin2δ = (cosα.cosβ' - cosβ.cosα')2 + (cosβ.cosγ' - cosγ.cosβ')2 + (cosγ.cosα' - cosα.γ')2


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