ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équation & cosinus directeurs d'une droite de l'espace euclidien 3D             Calcul des lignes trigonométriques de l'angle de deux droites de l'espace     A : TD TerS / B : niveau Sup

» Les valeurs en gras italique désignent des vecteurs. On retrouve dans la partie A un résultat connu dans le plan (en supprimant les termes en z et/ou en γ :  » étude des droites du plan.

A - L'espace euclidien usuel de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k). On considère une droite (D) de vecteur directeur V(a,b,c) passant par le point M_o(x_o,y_o,z_o) on note OP le représentant de V d'origine O.

1°) A, B et C sont les projections orthogonales de P sur les plans de coordonnées, A se projetant en E sur (Ox) et en F sur (Oy). B (et C) se projetant en G sur (Oz). Montrer que : OP² = OE² + OF² + OG²

2°) On note α = ^(Ox,D) , β = ^(Oy,D) , γ = ^(Oz,D). Déduire de 1° que :

 La somme des carrés des cosinus des angles formés par une droite avec les axes de coordonnées est égale à l'unité :
cos²α + cos²β + cos²γ = 1

  ➔   cos α, cos β et cos γ sont appelés cosinus directeurs de (D).

3°) On suppose V unitaire (donc OP = 1) et abc ≠ 0 et on note M(x,y,z) un point quelconque de (D). Montrer, en utilisant une équation paramétrique de (D) que l'on a :

et que la valeur absolue commune de ces trois rapports est la distance de M à M_o.

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

B - On suppose toujours OP unitaire et on considère la droite (OQ) en posant ^(OP,OQ) = δ et, respectivement α, β, γ, α', β', γ' les angles que font (OP) et (OQ) avec les axes de coordonnées (Ox), (Oy) et (Oz). On a donc :

OE = cosα, OF = cosβ, OG = cosγ, soit OP(cosα, cosβ, cosγ)

5°) Soit P', E', G' et F' les projections orthogonales respectives de P, E, G et F sur (OQ). En remarquant que OP = OE + OG + OF, montrer par projection orthogonale sur (OQ) que : cosδ = cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ'

6°) En utilisant 2°, vérifier que :

sin²δ = (cos²α + cos²β + cosγ²)(cos²α' + cos²β' + cosγ'²) - (cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ')²

En déduire, au moyen de l'identité de Lagrange que l'on a aussi :

sin²δ = (cosα.cosβ' - cosβ.cosα')² + (cosβ.cosγ' - cosγ.cosβ^')² + (cosγ.cosα' - cosα.cosγ')²

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››           Application au calcul de la courbure d'une courbe gauche : ››››

B -  Cosinus directeur et expression du produit vectoriel :               » Gibbs

Dans le cas où OP et OQ sont non unitaires de normes respectives n = || OP || et n' = || OQ ||, la formule précédente devient :

n²n'² × sin²δ = (n.cosα × n'.cosβ' - n.cosβ × n'.cosα')² + (n.cosβ × n'.cosγ' - n.cosγ × n'.cosβ^')²
                      + (n.cosγ × n'.cosα' - n.cosα × n'.cosγ')²

On avait : OP(cosα, cosβ, cosγ), on a maintenant OP(n.cosα, n.cosβ, n.cosγ) et OQ(n'.cosα', n'.cosβ', n'.cosγ').

Posons alors OP(x,y,z) et OQ(x',y',z'). On obtient :

n²n'² × sin²δ = (xy' - yx')² + (yz' - zy')² + (zx' - xz')² = || OP ∧ OQ ||²          » produit vectoriel

Mais δ= ^(OP,OQ) et par suite, la norme du produit vectoriel de deux vecteurs u et v s'écrit :

|| u ∧ v || = || u || × || v || × |sin(u,v)|

- Partie A -

1°) Le triangle OAP est rectangle en A, par suite : OP² = OA² + AP². Le triangle OAF est rectangle en F : OA² = FA² + OF². On a donc OP² = FA² + OF² + AP². Mais FA = OE et AP = OG. D'où le résultat cherché.

2°) On a (OP) // (D). Donc cos ^(Ox,D) = cos ^EOP et, dans EOP rectangle en E, OE = OP.cos ^EOP = OP.cosα. De même OF = OP.cosβ, OG = OP.cosγ. Il suit que :

OP² = OE² + OF² + OG² = OP².(cos²α + cos²β + cos²γ)

C'est dire que cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

3°) Si V = OP est unitaire, on alors V(cos α, cos β, cos γ) :  on retrouve que || V || ²  = cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

Pour tout point M(x,y,z) de (D) contenant M_o, on a alors M_oM colinéaire à V : une équation paramétrique de (D) passant par M_o est alors :

x - x_o = k.cos α
y - y_o = k.cos β              où k parcourt R.      (r)
z - z_o = k.cos γ

On a supposé V(a,b,c) avec abc ≠ 0 : (D) n'est pas parallèle à l'un des axes de coordonnées; on peut donc écrire :

        (r')

On suppose M distinct de M_o : divisons par  k dans la relation (r) ci-dessus, élevons chaque égalité au carré et faisons la somme; on obtient :

(x - x_o)²/k² + (y - y_o)²/k² + (z - z_o)²/k² = cos²α + cos²β + cos²γ = 1

D'où (x - x_o)² + (y - y_o)² + (z - z_o)² =  M_oM² = k². Le nombre | k | apparaît donc comme la distance M_oM et il est bien égal, eu égard à (r) à chacun des rapports de (r').

5°) On a vectoriellement , OP = OE + EB + BP = OE + OG + OF = OE + OF + OG (c'est la décomposition de OP dans le repère 3D). Par projection sur (OQ), on a OP' = OE' + OF' + OG'. Or, par projection orthogonale :

OP' = OP.cos ^POQ = cos δ , OE' = OE.cos ^EOQ = OE.cos α'.
De même : OF' = OF.cos β' , OG' = OG.cos γ'.

Finalement : cos δ = cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ'.

6°) sin²δ = 1 - cos²δ = 1 × 1 - cos²δ = (cos²α + cos²β + cos²γ)(cos²α' + cos²β' + cos²γ') - cos²δ

L'identité de Lagrange appliquée au produit (cos²α + cos²β + cos²γ )(cos²α' + cos²β' + cos²γ') conduit finalement à : 

sin²δ = (cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ')² + (cosα.cosβ' - cosβ.cosα')²
            + (cosβ.cosγ' - cosγ.cosβ^')² + (cosγ.cosα' - cosα.cosγ')² - cos²δ.

et vu que cos δ = cosα.cosα' + cosβ.cosβ' + cosγ.cosγ', on a bien le résultat cherché :

sin²δ = (cosα.cosβ' - cosβ.cosα')² + (cosβ.cosγ' - cosγ.cosβ^')² + (cosγ.cosα' - cosα.γ')²