ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résistance d'une poutre Poutre        niveau 1ère

Dans la construction d'ouvrages devant supporter des charges élevées, il est nécessaire de calculer les dimensions adéquates à donner aux poutres de soutien.

Dans le cas d'une poutre de soutien rectiligne de section rectangulaire de largeur x, d'épaisseur h, encastrée à ses extrémités, la résistance W à la flexion est proportionnelle à x et au carré de h (figure 1). C'est dire qu'il existe une constante k ne dépendant que de la nature du matériau telle que :

W = k × xh²

Ainsi, pour une longueur donnée, une poutre dont on double les dimensions de la section devient huit fois plus résistante ! En effet :

W = k × xh²   devient   k × 2x × (2h)² = k × 2x × 4h² = 8W

Question :   

On désire équarrir un tronc de chêne assimilé à un cylindre droit de 40 cm de diamètre. Quelles doivent être les dimensions souhaitables pour une résistance maximale ?

Indication :   

On pourra admettre ou justifier Les sommets de la section rectangulaire recherchée sont sur la circonférence de la section circulaire du tronc (figure 2). Expliquez...

♦  Montrer que l'on a W(x) = k(16x - x³) avec 0 < x < 4 où le décimètre est l'unité de mesure.

x = 4/√3 dm , h = x√2 = 4√6 dm