ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Résistance d'une poutre Poutre        niveau 1ère

Dans la construction d'ouvrages devant supporter des charges élevées, il est nécessaire de calculer les dimensions adéquates à donner aux poutres de soutien.

Dans le cas d'une poutre de soutien rectiligne de section rectangulaire de largeur x, d'épaisseur h, encastrée à ses extrémités, la résistance W à la flexion est proportionnelle à x et au carré de h (figure 1). C'est dire que :

W = kxh2

où k désigne une constante ne dépendant que de la nature du matériau.

  Ainsi, pour une longueur donnée, une poutre dont on double les dimensions de la section devient huit fois plus résistante ! En effet, W = kxh2 devient k2x(2h)2 = k2x4h2 = 8W.

Question :   

On désire équarrir un tronc de chêne assimilé à un cylindre droit de 40 cm de diamètre. Quelles doivent être les dimensions souhaitables pour une résistance maximale ?

Indication :   

On pourra admettre ou justifier Les sommets de la section rectangulaire recherchée sont sur la circonférence de la section circulaire du tronc (figure 2). Expliquez...

Quant au reste, si vous séchez après avoir bien cherché :


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Indications pour la solution :

  Montrer que l'on a W(x) = k.(16x - x3) avec 0 < x < 4 où le décimètre est l'unité de mesure.

  Etudier la fonction W sur un intervalle convenable.
 
  Réponse :     

x = 4/3 dm , h = x2 = 46 dm


 


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