ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PELL John, anglais, 1611-1685                       
     
Henri IV, roi de France et de Navarre (1553-1610) a été assassiné un an auparavant

Source éléments biographiques : CDSB , The Galileo Project

Diplômé du Trinity College de Cambridge (1630), Pell se fait connaître auprès de Briggs par ses prodigieuses capacités en calcul. Professeur de mathématiques à Londres, aucun poste universitaire lui convenant n'étant vacant en Angleterre, Pell s'établit en Hollande et enseigne à Amsterdam (1643) puis à Breda (1646).

De retour à Londres, à l'époque de la République de Cromwell, il se tourne vers la diplomatie et sera représentant du Commonwealth à Zürich (1654) avant d'accepter un emploi de diacre au sein de l'Église protestante lors du retour à la royauté avec l'avènement de Charles II en 1660.

Élu à la Royal Society en 1663, Pell tombe peu à peu dans l'oubli et meurt dans la misère.

L'équation de Pell-Fermat (1659) :

Pell nous est surtout connu par l'équation, portant son nom, dont la paternité lui fut faussement attribuée par Euler. A l'époque de Pell, Wallis, Brouncker et Fermat s'intéressaient au sujet. Il s'agit de résoudre en nombres entiers l'équation d'inconnues x et y ( réf.2) :

x2 - Ay2 = 1   où A est un entier naturel non carré   (e)

Il s'agit d'une équation diophantienne dont la résolution générale est souvent difficile. Dans la plupart de ses problèmes arithmétiques, Diophante se contentait de trouver au moins une solution. L'équation, déjà très difficile, peut se généraliser à x2 - Ay2 = k, avec k entier, -1 en particulier.

Fermat (à qui on attribue plus souvent en France qu'en Angleterre la paternité de l'équation pourtant bien connue depuis Brahmagupta...) l'aurait proposé Wallis et à Frénicle de Bessy comme un défi sous cette forme :

Tout nombre non carré est de telle nature qu'il y a infinis carrés qui multipliant
ledit nombre font un carré moins 1
  (x2 - 1 = Ay2)

Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675), français, conseiller à la Cour des monnaies, fut un mathématicien amateur très en vue dans le petit monde fermé des salons et savants parisiens du 17è siècle. Tout comme Mersenne, il correspondit avec les plus illustres de son époque comme Descartes, Huygens et Fermat dont il résolut de nombreux. On lui doit l'appellation sécante pour la fonction inverse du cosinus sec(x) = 1/cos(x), fonction dont fit usage Abu al-Wafa au 10è siècle. Dans sa Méthode pour trouver la solution des problèmes par les exclusions1 (par épuisement et élimination des cas),  il résout de nombreux problèmes d'arithmétique, traite de l'analyse combinatoire et étudie des méthodes de construction de carrés magiques. Il entra comme géomètre à l'Académie royale des sciences dès sa création en 1666.

Euler puis Legendre s'emparèrent du sujet que l'on rencontre sous une forme apparentée dans l'étude de cas particuliers du célèbre grand théorème de Fermat. Mais ce sera Lagrange qui en donnera la résolution complète en décomposant A en fraction continue (on dit aussi continuée) sur une idée de Brouncker.

Notons toutefois que des mathématiciens indiens, comme Brahmagupta et Bhaskara, férus d'arithmétique, étudièrent ce type d'équation (sur des cas particuliers) respectivement 1000 ans et 500 ans auparavant !

Équation de Pell dans la théorie des nombres de Legendre, Table de solutions :  

Étude de l'équation x2 - Ay2 = 1 :     

On peut évidemment supposer y non nul. En écrivant l'équation sous la forme x2/y2 = (A)2 + 1/y2, on obtient une forme factorisée :

(x/y - A)(x/y + A) = 1/y2

En remarquant maintenant que x2/y2 = (A)2 + 1/y2  implique x/y > A, donc x/y + A > 2A, on peut écrire :

Cette majoration caractéristique montre que x/y figure parmi les réduites du développement en fraction continue de A.

Dans sa théorie des nombres ( réf. 4, pages 24-26), Legendre montre plus généralement que cette conclusion s'applique à toute équation de la forme :

x2 - Ay2 = ± D , avec D entier, D < A

admettant au moins une solution. En particulier, avec D = 1, on résoudra par développement en fraction continue de A l'équation x2 - Ay2 = -1.

Choisissons par exemple le cas A = 5 :     

 La décomposition en fraction continue de 5  est [2 , 4 , 4 , 4 , 4 ...].

        

On pourra vérifier ce résultat en utilisant le programme en ligne relatif aux fractions continues. Deux solutions de l'équation x2 - 5y2 = 1 sont alors (9,4) puis 161,72). La réduite 38/17 conduit à x2 - 5y2 = -1 confirmant la remarque ci-dessus.

L'entier A étant entier, non carré, sa racine carrée est irrationnelle et algébrique de degré 2. Par suite, son développement en fraction continue est périodique; notons p sa période. Selon un résultat de Lagrange :

Si ak/bk désigne les réduites de A, les couples (x,y) d'entiers naturels solutions de l'équation sont de la forme figurent parmi les couples (ak,bk) de la façon suivante :

  • x = akp - 1 , y = bkp - 1 , k = 1, 2, ...       si la période p est pair

  • x = a2kp - 1 , y = b2kp - 1 , k = 1, 2, ...    si la période p est impair

Dans le cas de 5, on a p = 1, impair.

(x,y) = (a1,b1) = (9,4) avec k = 1 ; (x,y) = (161,72) = (a3,b3) avec k = 3

  programme JavaScript de développement en fraction continue et recherche de solutions dans les équations de Pell

Cette résolution, obligeant à connaître le développement de A peut ne pas paraître très pratique. A condition de connaître la solution minimale (par la première réduite de A, Lagrange a obtenu la solution générale de l'équation de Pell ( réf. 2) dont une partie du raisonnement peut être transcrit en langage matriciel :

Si (xo,yo) est le couple solution minimal de l'équation x2 - Ay2 = 1, posons :

On constate que detM = 1 et par suite, pour tout n de N, detMn = 1n = 1. Calculons M2 en notant que xo2 + Ayo2 = 2xo2 - 1 :

Ce qui signifie que (x1,y1) = (2xo2 - 1, 2xoyo) est solution.

Notons Un le vecteur colonne de coordonnées (xn,yn). On a :

Une autre solution (x2,y2) = (xox1  + Ayoy1, xoy1 + x1yo) sera obtenue en calculant M3 :

Finalement, par récurrence, on peut écrire :

Si l'on veut programmer cette récurrence, on écrira :


172 - 2122 = 1                              992 - 2702 = 1

On peut aussi, comme le fit Lagrange ( réf. 2, §15, page 693 et suivantes de la pagination ) donner la solution générale sous cette forme explicite :

Si (xo,yo) désigne la solution minimale, alors les autres solutions sont données par :

Usant de la formule du binôme, la preuve de Lagrange est simple, claire et limpide, on pourra s'y référer.

 à la page Legendre, on pourra consulter la table qu'il exposa dans sa théorie des nombres, contenant les plus petites valeurs de x et y satisfaisant à x2 - Ay2 = ± 1 pour A variant de 2 à 139.

 
A l'aide de l'ordinateur :

Ce programme donne des solutions de l'équation x2 - Ay2 = 1, a entier non carré, en lui fournissant la première réduite p/q du développement de A en fraction continue telle que p2 - Aq2 = 1 . Pour calculer cette réduite, rendez-vous sur la page d'étude des fractions continues.

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function pell()
{
n=0;ao="";xo="";yo="";
ao=eval(prompt("Entrez A : ",ao))
xo=eval(prompt("Donnez-moi une solution initiale : xo = ",xo))
yo=eval(prompt("Donnez maintenant : yo = ",yo));a=ao*yo;x=xo;y=yo;
while (1)
{
n++;
xn=xo*x+a*y;yn=yo*x+xo*y;p=xn*xn-ao*yn*yn;
if (!confirm("Xn = "+xn+" , Yn = "+yn+"\n"+"Xn^2 - 2Yn^2 = "+p))return
x=xn;y=yn;
}}
</SCRIPT>

Une autre manière pour la recherche d'une solution initiale dans le cas x2 - 5y2 = 1  :

  Théon de Smyrne
 


 Pour en savoir plus : 

  1. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, Jean Dieudonné et une équipe de mathématiciens
    Approximations diophantiennes, chapitre développé par W.J. & F. Ellison, Éd. Hermann - 1978 ,1992
  2. Équation de Pell : Solution d'un problème d'arithmétique , Œuvres de Lagrange (Gauthier-Villars, 1867), univ. Göttingen :
    http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN308899644&DMDID=DMDLOG_0024&...
  3. Histoire d'algorithmes : Du caillou à la puce, par une équipe d'enseignants (IREM, IUFM, CNRS)
    Éd. Belin - Collection Regards sur la science - 1993 - Ch. 8, Equation de Pell-Fermat.
  4. Résolution de l'équation de Pell (x2 - Ay2 = ±D, D < A) dans la théorie des nombres de Legendre (1830)
    page 25 et 56 sur Gallica : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k426107/
  5. Méthode pour trouver la solution des problèmes par les exclusions, par B. de Frénicle sur Google Livres :
    http://books.google.fr/books?id=xyAOAAAAQAAJ&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_ge_summary_...
  6. Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Que Sais-je n°1093, Ch. VI, Ed. P.U.F., Paris.
  7. ENCYCLOPEDIC DICTIONARY of MATHEMATICS (EDM) - Tome 1 - 83 (V.3),
    Continued fractions and application to Pell's Equation. MIT Press - Cambridge (Massachusetts) - 1993.
  8. Fraction continues et unités dans les corps quadratiques, par Julien Huoriet (École Polytechnique de Lausanne) :
    http://cqfd.epfl.ch/files/content/sites/cqfd/files/shared/projets/imb/Fractions%20continues%20et%20unit%....pdf
    J. Houriet traite en particulier des entiers d'un corps quadratique et de l'équation de Pell-Fermat.


Torricelli  Wallis
© Serge Mehl - www.chronomath.com