ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Tétraèdre
maximal TD
niveau 1èeS/Ter
» Triangle
d'aire maximale |
Placer quatre points sur une sphère afin que le volume du tétraèdre obtenu soit maximal.
➔
Trois points déterminent un plan. On utilisera alors que trois quelconques des
4 points sont nécessairement coplanaires
et appartiennent
donc à un cercle tracé sur la sphère...
Indications :
Considérons une face ABC du tétraèdre : elle est située sur un cercle (c) de la sphère de rayon R.
On sait que le volume de la pyramide est le tiers de B × h où B désigne l'aire de base et h sa hauteur.
On doit savoir que le
triangle
d'aire maximale inscrit dans un
cercle est le triangle
équilatéral inscrit.
Donc ABC doit être
équilatéral.
La hauteur h sera maximale si elle est portée par l'axe de (c) dont nous notons O le centre. Notons alors N le 4è sommet du tétraèdre cherché.
Soit S le point de la sphère diamétralement opposé à N. Quelle est la nature du triangle NCS ? Que représente le rayon r de (c) pour ce triangle ?
Justifier que r2 = CO2 = ON × OS = h(2R - h) » relations métriques dans le triangle rectangle
Le volume sera alors maximum si
f(h) = h2(2R - h) l'est.
Montrer que cette fonction de variable h passe par un maximum pour h = 4R/3.
Vérifier que l'on a alors r = 2R√2/3, puis BC = CA = AB = 2R√6/3.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle NCO, vérifier que l'on a NC = NB = NA = 2R√6/3.
La solution du problème est donc le tétraèdre régulier inscrit dans la sphère. On s'en doutait...